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\chapter{Auflösung von Gleichungen durch Radikale}
\label{chap:23}

\sideremark{Vorlesung 24}Ich möchte in dieser Vorlesung die Frage aus
Kapitel~\ref{sec:4} beantworten: gegeben ein Körper $K$ ein Körper und ein
Polynom $f ∈ K[x]$.  Gibt es dann eine Möglichkeit, wenigstens eine der
Nullstellen von $f$ in der Form
\begin{equation*}
  \sqrt[n_1]{\sqrt[n_2]{…}+\sqrt[n_3]{…}}+\sqrt[n_4]{…}
\end{equation*}
schreiben?  In der Sprache von Kapitel~\ref{sec:4}: ist die Gleichung $f(x)=0$
durch Radikale auflösbar?  Gibt es eine Radikalerweiterung $L/K$, sodass $f$ in
$L$ eine Nullstelle hat?  Die Antwort hängt natürlich mit der Galoisgruppe von
$f$ zusammen, der Zusammenhang soll in dieser Vorlesung beschrieben werden.

\begin{satz}\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins}
  Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom.
  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
  \begin{enumerate}
  \item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} Das Polynom $f$ ist
    über $K$ durch Radikale lösbar.
    
  \item\label{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} Die Galoisgruppe
    $\Gal{f}$ ist auflösbar.
  \end{enumerate}
\end{satz}

Wir werden Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} am Ende dieses
Kapitels im Abschnitt~\ref{sec:almostlast} beweisen.  Zuerst möchte ich aber
noch zwei Korollare vorstellen.

\begin{kor}
  Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ vom Grad
  $\deg f ≤ 4$.  Dann ist $f$ durch Radikale lösbar.
\end{kor}
\begin{proof}
  Jede Untergruppe von $S_4$ ist auflösbar.
\end{proof}

\begin{kor}[Korollar von Galois]
  Das Polynom $f = x⁵-4·x+2 ∈ ℚ[x]$ ist \emph{nicht} durch Radikale auflösbar.
  Insbesondere gibt es keine Lösungsformel für Polynome vom Grad $≥ 5$.
\end{kor}
\begin{proof}
  Das Polynom $f$ ist ein Eisenstein-Polynom, also irreduzibel.  Analytische
  Überlegungen zeigen, dass $f$ genau drei reelle Nullstellen $n_1$, $n_2$ und
  $n_3$ sowie zwei komplexe Nullstellen $n_4$, $n_5$ hat.  Wir fassen die
  Galoisgruppe als Untergruppe der Permutationsgruppe
  \[
    S_5 = \text{Permutationen von } \{ n_1, …, n_5 \}
  \]
  auf.  Folgendes können wir sofort sagen.
  \begin{itemize}
  \item Die Gruppenordnung ist ein Vielfaches der Zahl 5.  Also existiert nach
    dem Satz von Cauchy, Satz~\vref{Satz_von_Cauchy}, ein Element $σ_5$ von
    Ordnung 5, also ein 5-Zykel.
    
  \item Die komplexen Nullstellen sind zueinander konjugiert.  Die komplexe
    Konjugation liefert deshalb einen Automorphismus des Zerfällungskörpers, der
    die drei reellen Nullstellen fixiert und die beiden komplexen Nullstellen
    vertauscht.  Dies ist ein Element $σ_2$ der Ordnung 2, also eine
    Transposition.
  \end{itemize}
  Zeigen Sie jetzt als Hausaufgabe, dass die von $σ_5$ und $σ_2$ erzeugte
  Untergruppe der Permutationsgruppe $S_5$ bereits ganz $S_5$ ist.  Mit anderen
  Worten: jede Permutation aus $S_5$ kann durch die Transposition $σ_2$ und den
  Zykel $σ_5$ dargestellt werden.  Also ist die $\Gal f = S_5$, aber diese
  Gruppe ist nicht auflösbar.
\end{proof}


\section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen}

Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den
Fragen: „Ist $f$ durch Radikale auflösbar?“, und „Wie sieht die Galoisgruppe von
$f$ aus?“ zuerst im besonders einfachen Fall von „reinen“ Polynomen, bei denen
die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.

\begin{defn}[Reines Polynom]
  Es sei $K$ ein Körper.  Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines
    Polynom}\index{Polynom!reines}, wenn es $n ∈ ℕ$ und $a ∈ K$ gibt, sodass
  $f(x) = x^n-a$ ist.
\end{defn}

\begin{bemerkung}[Separabilität von reinen Polynomen]
  Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl.  Wenn
  $\operatorname{char}K = 0$ ist oder wenn $\operatorname{char}K \nmid n$ ist,
  dann sind alle reinen Polynomen der Form $x^n-a$ separabel.
\end{bemerkung}

\begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins}
  Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl.  Falls
  $\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist.
  Wenn $K$ alle $n$.ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
  \begin{enumerate}
  \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die
    Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch.
    
  \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2} Wenn $L/K$ eine
    Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gal(L/K) ≅ ℤ/(n)$ ist, dann gibt es ein
    $a ∈ L$ mit $L = K(a)$ und $a^n ∈ K$.
  \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1}]
  \video{24-1}.  (Verbesserte Version vom 03Feb21).
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von \vref{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_2}]
  \video{24-2}
\end{proof}


\section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen}

Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von
„Radikalerweiterung“, Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{Das ging auch gar nicht, weil
Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}.  Der
folgende Satz behebt diesen Mangel.

\begin{satz}\label{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}\label{satz:23.2.1}
  Sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und $L/K$ eine Radikalerweiterung.
  Dann existiert eine Körpererweiterung $L'/L$, sodass
  \begin{enumerate}
  \item $L'/K$ Galoisch ist.
    
  \item $L'/K$ eine Radikalerweiterung ist,
  \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{24-3}
\end{proof}

\begin{bemerkung}[Noch einmal: was bedeutet ``Auflösbarkeit durch Radikale'']
  Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik 0 und es sei $f ∈ K[x]$ ein
  irreduzibles Polynom.  Angenommen, $f$ sei durch Radikale auflösbar.  Nach
  Definition~\vref{def:gidra} bedeutet das, dass es eine Radikalerweiterung
  $L/K$ gibt, in der $f$ \emph{eine} Nullstelle hat.  Satz~\ref{satz:23.2.1}
  sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in
  Linearfaktoren zerfällt.  Also gibt es eine Radikalerweiterung, die
  \emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält.  Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible
  ist und \emph{eine} Nullstelle als „Wurzelausdruck“ geschrieben werden kann,
  dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden.
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}[Noch einmal: das Konstruktionsproblem]\label{bem:nedkp}
  Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ eine Menge und es sei $z ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl,
  die aus $M$ mit Zirkel uns Lineal konstruierbar ist\footnote{Mit anderen
    Worten: es sei $z ∈ \Kons(M)$.}.  Betrachten Sie den Körper
  $K := ℚ(M∪\overline{M})$ und erinnern Sie sich noch einmal an die Hausaufgabe,
  die wir in Satz~\vref{Satz_von_Seite_69} zusammengefasst haben: Der Körper
  $L := K(z)$ entsteht als Folge von quadratischen Erweiterungen,
  \[
    L = L_m ⊃ L_{m-1}⊃ ⋯ ⊃ L_1⊃ L_0 = K.
  \]
  Schauen Sie sich den Beweis von Satz~\ref{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}
  noch einmal scharf an und erkennen Sie, dass dann auch $L'/K$ eine Folge von
  quadratischen Erweiterungen ist, denn
  \begin{equation*}
    g=\prod_{\varphi∈ G} \bigl(x²-\varphi(b²) \bigr)
  \end{equation*}
  ist ein Produkt von quadratischen Polynomen.  Der Erweiterungsgrad $[L':K]$
  ist also eine Zweierpotenz.  Als Nächstes sei $N$ der Zerfällungskörper des
  Minimalpolynoms von $z$ über $K$.  Anders gesagt: $N$ sei die normale Hülle
  der Körpererweiterung $L/K$.  Dann ist $N$ ein Unterkörper von $L'$ und hat
  deshalb nach der Gradformel, Satz~\vref{satz:3-6-1}, ebenfalls eine
  Zweierpotenz als Grad.  Erkennen Sie, dass wir damit
  Bemerkung~\ref{rem:svs197} bewiesen haben: Das Kriterium für die
  Konstruierbarkeit von Punkten aus Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist notwendig
  \emph{und} hinreichend!
\end{bemerkung}

\begin{proof}[Beweisidee]
  Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie (\vref{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie})
  entsprechen Ketten von Unterkörpern von $L/K$ (wobei $L$ der Zerfällungskörper
  von $f$ ist) Ketten von Untergruppen von $\Gal(L/K) = \Gal f$.  Zyklische
  Gruppen entsprechen dabei der Adjunktion einer Wurzel $\sqrt[n]{a}$ --
  zumindest dann, wenn es genügend viele Einheitswurzeln gibt.
\end{proof}


\section{Beweis von Satz~\ref*{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins}}
\label{sec:almostlast}

Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei
Vorüberlegungen.

\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}%
  Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive
  $n$.te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch.  Denn
  wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynoms $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
  ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynoms $g·(x^n-1) ∈ K[x]$.  Also ist
  $L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls.
\end{claim-de}

\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}%
  Wenn $ξ$ eine primitive $n$.te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
  ist $ξ^l$ eine primitive $m$.te Einheitswurzel.  Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
  …, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden.
\end{claim-de}

\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2}$]
  \video{24-4}
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis der Implikation $\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_2} ⇒ \ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins_1}$]
  \video{24-5}
\end{proof}


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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
%%% End: