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\chapter{Konstruktionen mit Zirkel und Lineal}

\begin{quote}
  Bei der Darstellung des Materials versuchte der Autor, den
  axiomatisch-deduk\-tiven Stil zu vermeiden, dessen charakteristisches
  Kennzeichen unmotivierte Definitionen sind, die die fundamentalen Ideen und
  Methoden verschleiern und die, Gleichnissen ähnlich, den Schülern nur unter
  vier Augen erläutert werden.

  --- Vladimir Arnol'd, Einleitung zu „Geometrische Methoden in der Theorie der
  gewöhnlichen Differenzialgleichungen“
\end{quote}

\bigskip

\sideremark{Vorlesung 1}Es gibt mehrere Arten, sich dem Stoff der Vorlesung
„Algebra“ zu nähern.  Viele Bücher und Vorlesungen führen der Reihe nach die
Begriffe
\begin{quote}
  Gruppe -- Ringe -- Körper -- Körpererweiterungen
\end{quote}
ein, beweisen ganz viele komplizierte Sätze und überraschen dann gegen Ende mit
einigen unerwarteten Anwendungen.  Mögen Sie solche Vorlesungen?  Ich nicht.  Ich
habe langwierigen Lernstoff nie gemocht und konnte mich als Student nur schwer
motivieren, Definitionen auswendig zu lernen die nicht gut motiviert waren.  Das
ist doch langweilig!

Ich möchte deshalb anders herum anfangen und gleich mit einem klassischen
Problem beginnen: Welche geometrischen Figuren kann ich mit Zirkel und Lineal
konstruieren?  Und bei welchen geht das nicht?  Und wenn es nicht geht, woran
liegt das?  Wir werden sofort sehen, dass dieses Problem mit der Frage nach
Körpern und Körpererweiterungen zu tun hat, und dann Kapitel für Kapitel die
notwendige Theorie entwickeln, um diese Fragen zu beantworten.  Wir springen
also gleich ins tiefe Wasser.  Besorgen Sie sich noch ein paar Bücher und
Skripte, die Ihnen beim Lernen helfen … und auf geht's!


\section{Das Konstruktionsproblem}

Wir befinden uns am Beginn der hellenistischen Antike.  Alexander der Große hat
ein Weltreich errichtet.  Wissenschaft und Technik erreichen ein Niveau, das in
den darauf folgenden Jahrhunderten in nie wieder erreicht werden
wird\footnote{Schauen Sie mal in das Buch \cite{Russo05}.  Kennen Sie den
\href{https://www.dpma.de/dpma/veroeffentlichungen/meilensteine/antikytera-mechanismus/index.html}{Mechanismus
von Antikythera}?}.  In der hellenistischen Technik nimmt die darstellende
Geometrie einen wichtigen Platz ein.  Trigonometrische Rechnung war zwar
bekannt, für technische Anwendungen aber nicht immer brauchbar\footnote{Gehen
Sie in die Werkstatt und versuchen Sie, ein brauchbares Rad zu bauen, indem Sie
die Koordinaten von ausreichend vielen Stützpunkten mit $\sin$ und $\cos$
näherungsweise von Hand ausrechnen und dann sorgfältig auf ihr Werkstück
übertragen.  Aber Achtung: noch vor wenigen Jahren gab für solchen Unsinn
Maulschellen vom Lehrherrn.}.  Tatsächlich kann ein geübter Techniker mit Zirkel
und Lineal erstaunlich genau arbeiten und Dinge konstruieren, die sich nur
schwer berechnen lassen\footnote{Beispiele finden Sie in den absolut
sehenswerten Büchern \cite{Moon07} und \cite{MR2377148}}.

\begin{warnung}
  In der hellenistischen Antike hatten Lineale keine cm-Einteilung.  Bei
  Konstruktionen mit „Zirkel und Lineal“ kann man keine Lösungen messen oder
  vorgeben.  Albrecht
  Dürer\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Albrecht_Duerer}{Albrecht
  Dürer der Jüngere} (auch Duerer; * 21.  Mai 1471 in Nürnberg; † 6.  April 1528
  ebenda) war ein deutscher Maler, Grafiker, Mathematiker und
  Kunsttheoretiker.}, der sich natürlich viele Gedanken zum Thema gemacht hat,
  schreibt im Titel seines berühmten Buches \cite{Dur25} vielleicht auch deshalb
  lieber vom „Richtscheit“.
\end{warnung}


\subsection{Konstruktion des regelmäßigen 5-Eck}
\index{Konstruktion!des regelmäßigen 5-Eck}

\begin{figure}
  \centering

  \input{figures/01-fiveGon}
  
  \caption{Das regelmäßige 5-Eck}
  \label{fig:fiveGon}
\end{figure}


Als Beispiel konstruieren wir uns ein Fünfeck in vier einfachen Schritten.
Abbildung~\vref{fig:fiveGon} erläutert die Konstruktion.
\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Konstruktion%20des%20regelm%c3%a4%c3%9figen%205-Eck.ggb}{Hier}
finden Sie die Konstruktion auch als GeoGebra-Arbeitsblatt.
\begin{itemize}
\item Konstruiere zwei zueinander senkrecht stehenden Achsen, die sich im
  Mittelpunkt eines Kreises schneiden.

\item Halbiere die eine und viertele die andere Achse.

\item Schlage einen Kreis mit Vierteilungspunkt als Mittelpunkt und Strecke
  Viertelungspunkt-Halbierungspunkt als Radius.
    
\item Die Schnittpunkte des Kreises mit der geviertelten Achse sind orthogonale
  Projektionen der Eckpunkte des in dem ursprünglichen Kreis eingeschriebenen
  5-Eck auf die geviertelte Achse.
\end{itemize}

Der folgende Satz schafft den Bogen zur Zahlentheorie.  Ich nenne ihn hier, um
zu illustrieren, dass das 5-Eck auf jeden Fall schwer zu berechnen ist!

\begin{satz}
  Betrachte das regelmäßig 5-Eck aus Abbildung~\ref{fig:fiveGon}.  Dann gilt:
  Die Kantenlänge $a$ und die Länge der Sekante $d$ im regelmäßigen $5$-Eck sind
  \emph{inkommensurabel}.  Mit anderen Worten: der Quotient $d/a$ ist keine
  rationale Zahl.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wir betrachten weiterhin Abbildung~\ref{fig:fiveGon} und beginnen mit einer
  Vorüberlegung.  Elementare Schulgeometrie (Satz vom Z-Winkel, etc.) zeigt,
  dass das kleine $5$-Eck die Sekantenlänge $a$ und Kantenlänge $d-a$ hat.  Der
  Beweis involviert einige Zeichnungen, die ich
  \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/video/az/v1/Kantenl%c3%a4nge%20des%20kleinen%205-Ecks.pdf}{hier}
  für Sie als Scan hinterlegt habe.

  Zurück zur eigentlichen Aussage: wir führen einen Beweis mit Widerspruch und
  nehmen an, dass $\frac{d}{a}$ in $ℚ$ sei.  Dann gibt es eine Strecke der Länge
  $s$ mit $d = n·s$ und $a = m·s$, wobei $n$ und $m$ natürliche Zahlen sind.
  Die Vorüberlegung zeigt aber, dass
  \begin{equation*}
    d-a=\underbrace{(n-m)}_{∈ ℕ⁺}·s
  \end{equation*}
  die Kantenlänge eines kleineren $5$-Ecks ist, das eine Sekante der Länge $a$
  hat.  Wir haben also, dass auch $a-(d-a)=2a-d$ ein Vielfaches von $s$ ist.
  Weil aber $a-(d-a)$ sehr klein ist (genauer, weil es $θ < 1$ gibt mit $a-(d-a)
  < θ·a$), und weil wir den Prozess beliebig oft wiederholen können, ist
  \begin{equation*}
    s< θ^k·a
  \end{equation*}
  für alle $k>0$, ein klarer Widerspruch.
\end{proof}

\begin{prov}
  Kennen wir die irrationale Zahl $d/a$ irgendwoher?
\end{prov}


\subsection{Andere klassische Konstruktionsaufgaben}
\label{sec:1-1-2}

Es gibt natürlich noch andere klassische Konstruktionsaufgaben.  Ich nenne
einige der berühmtesten Beispiele.

\begin{itemize}
\item Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks für alle natürlichen Zahlen
  $n$.\index{Konstruktion!des regelmäßigen $n$-Eck}

\item Dreiteilung eines gegebenen Winkels.\index{Konstruktion!Dreiteilung des
    Winkels}

\item Verdopplung eines Würfels.  Dabei bedeutet Verdoppelung: Das Volumen soll
  sich verdoppeln.\index{Konstruktion!Verdoppelung des Würfels}
  
\item Quadratur des Kreises.  Dabei geht es darum, zu einem gegebenen Kreis ein
  Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt hat wie der
  Kreis.\index{Konstruktion!Quadratur des Kreises}
\end{itemize}


\section{Enter: Algebra}

Die Frage, welche dieser Konstruktionsaufgaben lösbar sind, war viele
Jahrhunderte offen.  Fortschritte gab es erst, nachdem die Probleme in Algebra
übersetzt werden konnten.  Dazu interpretiert die Ebene als die Menge $ℂ$ der
komplexen Zahlen.  Außerdem müssen wir ein für allemal festlegen, welche
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal möglich sind.

\begin{notation}
  Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ mit $p ≠ q$ sei $\overline{p, q}$ die Gerade durch $p$
  und $q$.
\end{notation}

\begin{notation}
  Für Punkte $p,q ∈ ℂ$ sei $K(p, \|p-q\|)$ der Kreis durch $q$ mit Mittelpunkt
  $p$.
\end{notation}

\begin{defn}[Elementare Konstruktionsschritte]
  Gegeben sei eine nicht-leere Menge $M ⊂ ℂ$.  Mit Zirkel und Lineal sind exakt
  die folgenden Konstruktionen möglich, um neue Punkte zu
  konstruieren.\index{Konstruktion!elementarer Schritt}
  \begin{itemize}
  \item Seien $p_1, q_1, p_2$ und $q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$ und $p_2 ≠ q_2$.
    Seien außerdem die Geraden $\overline{p_1, q_1}$ und $\overline{p_2, q_2}$
    verschieden.  Dann sind die Punkte von $\overline{p_1, q_1} ∩ \overline{p_2,
    q_2}$ durch den elementaren Konstruktionsschritt „Schneiden von zwei
    Geraden“ mit Zirkel und Lineal aus der Menge $M$ konstruierbar.
  
  \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ q_1$.  Dann sind die Punkte von
    $\overline{p_1, q_1} ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
    Konstruktionsschritt „Gerade mit Kreis schneiden“ mit Zirkel und Lineal aus
    der Menge $M$ konstruierbar.
  
  \item Seien $p_1,q_1,p_2,q_2∈ M$ mit $p_1 ≠ p_2$.  Dann sind die Punkte von
    $K(p_1, \|p_1-q_1\|) ∩ K(p_2, \|p_2-q_2\|)$ durch den elementaren
    Konstruktionsschritt „Schneiden von zwei Kreisen“ mit Zirkel und Lineal aus
    der Menge $M$ konstruierbar.
  \end{itemize}
\end{defn}

\begin{beobachtung}
  In jedem elementaren Konstruktionsschritt werden höchstens zwei Punkte neue
  Punkte konstruiert.
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}
  Durch Zusammensetzen von mehreren elementaren Konstruktionsschritten kann man
  komplizierte Konstruktionen durchführen.  In der Schule haben wir unter
  anderem folgende Konstruktionen gelernt.
  \begin{itemize}
  \item Lot von einem Punkt auf eine Gerade fällen.
    
  \item Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten konstruieren.  Damit lassen sich
    Strecken halbieren und vierteln.
    
  \item Gerade durch einen Punkt konstruieren, die zu einer gegebenen Gerade
    parallel ist.
  \end{itemize}
\end{beobachtung}

\begin{definition}[Konstruierbare Punkte]
  Es sei eine beliebige Teilmenge $M ⊂ ℂ$ gegeben.  Wir definieren die Menge
  \emph{$\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren
  Punkte}\index{konstruierbare Punkte} wie folgt: Ein Punkt $z ∈ ℂ$ ist genau
  dann in $\Kons(M)$ enthalten, wenn es eine endliche Kette von Mengen
  \[
    M = M_0 ⊂ M_1 ⊂ ⋯ ⊂ M_n
  \]
  gibt, sodass folgendes gilt.
  \begin{itemize}
  \item Es ist $z ∈ M_n$.
    
  \item Für jeden Index $i < n$ und jeden Punkt $p ∈ M_{i+1}$ gilt: $p$ entsteht
    durch einen elementaren Konstruktionsschritt aus den Punkten von $M_i$.
  \end{itemize}
\end{definition}
  
\begin{bemerkung}[Menge $M$ sollte mindestens zwei Punkte enthalten]
  Wenn $M$ leer ist, oder nur einen Punkt enthält, ist $\Kons(M) = M$, das ist
  sehr langweilig.  Also betrachten wir im Folgenden immer den Fall, dass $M$
  mindestens die Punkte $0,1 ∈ ℂ$ enthält.
\end{bemerkung}

\begin{bsp}[Klassische Konstruktionsaufgaben]
  Die im Abschnitt~\ref{sec:1-1-2} angesprochenen klassischen
  Konstruktionsaufgaben lassen sich in dieser Sprache wie folgt formulieren.
  \begin{itemize}
  \item Konstruktion eines regelmäßigen $n$-Ecks: Gegeben $n ∈ ℕ$, ist dann auch
    die komplexe Zahl $e^{(2π i)/n}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
  
  \item Dreiteilung eines gegebenen Winkels: gegeben eine reelle Zahl $\varphi ∈
    (0,2π)$, ist dann auch die komplexe Zahl $e^{(\varphi i)/3}$ in
    $\Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$?
  
  \item Verdopplung des Würfels: ist $\sqrt[3]{2}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
  
  \item Quadratur des Kreises: ist $\sqrt{π}$ in $\Kons(\{0,1\})$?
  \end{itemize}
\end{bsp}

Der folgende Satz ist der wesentliche Knackpunkt in der gesamten Vorlesung, der
die Verbindung zwischen der Frage nach der Konstruierbarkeit und der Algebra
herstellt: Die Frage nach der Konstruierbarkeit wird auf die Frage
zurückgeführt, wie die Unterkörper von $ℂ$ aussehen, und wie Unterkörper
ineinander enthalten sein können.

\begin{satz}[Mengen von konstruierbaren Punkten sind Unterkörper]\label{satz:1-2-9}%
  Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Teilmenge, die die Zahlen $0$ und $1$ enthält.  Dann ist
  $\Kons(M)$ ein Unterkörper von $ℂ$.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis durch Übungsaufgabe]
  Wir müssen zeigen, dass für alle Zahlen $x$, $y ∈ \Kons(M)$ auch die Zahlen
  \[
    x+y,\quad x-y,\quad x·y
  \]
  und im Falle $x \ne 0$ auch die Zahl $1/x$ mit Zirkel und Lineal aus $M$
  konstruierbar ist.  Dies lassen wir als Übungsaufgabe für die Leserin oder den
  Leser.  Das gilt insbesondere, wenn sie oder er auf Lehramt studiert!
\end{proof}



%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
%%% End:

