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\chapter{Die Sätze von Sylow}
\label{chap:18}

\sideremark{Vorlesung 20}Die Sätze von Sylow sind ganz wesentliche Aussagen zur
Struktur endlicher Gruppen.  Im Kern geht es um folgenden Punkt: gegeben eine
endliche Gruppe $G$ und eine Untergruppe $H ⊂ G$.  Dann ist wissen wir schon,
dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$.  Aber existiert auch zu jedem Teiler von $|G|$
auch tatsächlich eine Untergruppe?  Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze
von
Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter
    Ludwig Mejdell Sylow} (* 12.  Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; † 7.
  September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
  Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.

\begin{notation}
  Im Folgenden sei $p$ stets eine Primzahl.
\end{notation}


\section{Das zentrale Schlüssellemma und der Satz von Cauchy}

Die zentrale Beobachtung, auf der der ganze Inhalt dieses Kapitels aufbaut, ist
die folgende.

\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl}
  Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$
  operiert.  Weiter sei
  \begin{equation*}
    M_0 = \{ m ∈ M \::\: \forall g ∈ G: g· m = m \}
  \end{equation*}
  die Menge der Fixpunkte.  Dann ist
  $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
  Wir betrachten die $G$-Wirkung auf $M$ und interessieren uns für diejenigen
  Bahnen, die mehr als ein Element haben.  Wir bezeichnen diese Bahnen mit
  $B_1, …, B_n$.  Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt:
  \begin{equation*}
    |M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|,
  \end{equation*}
  Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass
  die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind.  Also ist $|B_i|$ ein
  Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung
  $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$.
\end{proof}

Der Satz von
Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis
    Cauchy} (* 21.  August 1789 in Paris; † 23.  Mai 1857 in Sceaux) war ein
  französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter
Ordnung zu beweisen.

\begin{satz}[Satz von Cauchy]\label{Satz_von_Cauchy}
  Wenn die Ordnung einer endlichen Gruppe durch $p$ teilbar ist, dann existiert
  ein Element von Ordnung $p$.
\end{satz}
\begin{proof}
  Sei $G$ die Gruppe.  Betrachte die Menge
  \begin{equation*}
    M = \bigl\{ (a_1, …, a_p) ∈ G⨯ ⋯ ⨯ G \::\: a_1· a_2 ⋯ a_p = e \bigr\}.
  \end{equation*}
  Gegeben ein Tupel $(a_1, …, a_p) ∈ M$, dann stellen wir erst einmal fest, dass
  der letzte Eintrag des Tupels durch die ersten Einträge eindeutig bestimmt
  ist, $a_p = (a_1⋯ a_{p-1})^{-1}$.  Wir erhalten die folgende Gleichung,
  \begin{equation}\label{eq:x78}
    |M| = |G^{p-1}| = |G|^{p-1}.
  \end{equation}

  Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das
  zentrale Schlüssellemma anwenden.  Dazu lassen wir die zyklische Gruppe
  $ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische
    Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch
    $b· a = e$ gilt.  Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch
    die zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$,
    $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, … auch wieder in $M$ liegen.}.  Die Fixpunktmenge
  dieser Wirkung ist
  \[
    M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}.
  \]
  Wegen $(e, …, e) ∈ M_0$ ist schon einmal klar, dass $M_0 ≠ ∅$ ist.  Auf der
  anderen Seite folgt aus dem zentralen Schlüssellemma, dass
  \[
    |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M|
    \overset{\eqref{eq:x78}}{\equiv} |G|^{p-1} \equiv 0 \:\: (\operatorname{mod}
    p)
  \]
  ist.  Also existiert mindestens ein $a ≠ e$ mit $a^p=e$.  Nach
  Satz~\vref{Satz_Seite_163} hat $a$ dann automatisch die Ordnung $p$.
\end{proof}


\section{$p$-Gruppen und $p$-Sylowuntergruppen}

Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen
besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen.  Die
folgende Definition beschreibt den Extremfall.

\begin{definition}[$p$-Gruppe]
  Eine Gruppe $G$ heißt \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die
  Ordnung jedes Elements eine Potenz von $p$ ist.
\end{definition}

\begin{satz}[An der Gruppenordnung sollt ihr sie erkennen]
  Eine endliche Gruppe ist genau dann eine $p$-Gruppe, wenn es eine Zahl $n ∈ ℕ$
  gibt, sodass $|G|=p^n$ ist.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$
  teilt, also eine Potenz von $p$.  Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann
  gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt.  Nach
  Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von Cauchy'') gibt es dann aber auch ein
  Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein.
\end{proof}

\begin{satz}
  Jede endliche $p$-Gruppe $G ≠ \{e\}$ hat ein nicht-triviales Zentrum.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wie in Beispiel~\vref{bsp:konju} betrachten wir die Wirkung von $G$ auf sich
  selbst durch Konjugation.  Die Fixpunkte dieser Wirkung bilden gerade das
  Zentrum von $G$.  Wir wissen aus dem zentralen Schlüssellemma~\ref{lem:zsl},
  dass
  \begin{equation*}
    |\Zentralisator(G)| \equiv |G| \equiv 0 \:\:(\operatorname{mod} p).
  \end{equation*}
  Aus $e ∈ \Zentralisator(G)$ folgt dann wieder $|\Zentralisator(G)| ≥ p$.
\end{proof}

Wenn eine gegebene Gruppe $G$ keine $p$-Gruppe ist, dann ist das dumm.  In
dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$
enthalten sind.  Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich
besonders gut.

\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}
  Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von
    $G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet ``maximal'' natürlich ``maximal
  bezüglich Inklusion''.  Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil
  $\{e\}$ eine $p$-Untergruppe ist.  Für \emph{endliche} Gruppen ist die
  Existenz von $p$-Sylowuntergruppen klar.
\end{bemerkung}

\begin{lem}
  Es sei $G$ eine endliche beliebige Gruppe, es sei $G_p$ eine
  $p$-Sylowuntergruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element.  Dann ist die Untergruppe
  $g·G_p·g^{-1} ⊆ G$ wieder eine $p$-Sylowuntergruppe.  Insbesondere gilt: wenn
  es in $G$ nur eine $p$-Sylowuntergruppe $G_p$ gibt, dann ist $G_p$ ein
  Normalteiler von $G$.
\end{lem}
\begin{proof}
  Die Gruppen $G_p$ und $g·G_p·g^{-1}$ haben gleich viele Elemente.  Um zu
  zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ eine $p$-Sylowuntergruppe ist, müssen wir also nur
  zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ maximal ist.  Sei also $H ⊆ G$ eine $p$-Gruppe,
  die $g·G_p·g^{-1}$ enthält.  Dann ist $G_p ⊆ g^{-1}·H·g ≅ H$.  Also ist
  $g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}
  Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$.  Wie in
  Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$.  Dann
  gilt
  \begin{equation*}
    [G:U] \equiv [N(U):U] \:\:(\operatorname{mod} p).
  \end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
  Die Gruppe $U$ wirkt durch Linksmultiplikation auf der Menge $M$ der
  Linksnebenklassen,
  \[
    M := \{ g· U \::\: g ∈ G\}.
  \]
  Wie immer sei $M_0 ⊆ M$ die Menge der Fixpunkte dieser Wirkung.  Wann ist eine
  Nebenklasse $g·U$ ein Fixpunkt dieser Wirkung?  Antwort: es ist
  \begin{align*}
    g·U ∈ M_0 & ⇔ \forall u ∈ U: u·g·U = g·U \\
              & ⇔ \forall u ∈ U: g^{-1}·u·g ∈ U \\
              & ⇔ g^{-1}·U·g = U \\
              & ⇔ g ∈ N(U).
  \end{align*}
  Also ist
  \begin{equation*}
    [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U].\qedhere
  \end{equation*}
\end{proof}
      
\begin{kor}
  Mit den gleichen Voraussetzungen wie in
  Satz~\ref{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze} gilt: wenn $p$ den Index $[G:U]$
  teilt, dann ist $U ⊊ N(U)$.
\end{kor}
\begin{proof}
  Es ist auf jeden Fall $e·U ∈ M_0$, also ist $|M_0| ≥ 1$.  Wegen der
  zusätzlichen Voraussetzung ist dann sogar $|M_0| ≥ p$.
\end{proof}


\section{Die Sätze von Sylow}

Die Sätze von Sylow\index{Sylow-Sätze} geben Auskunft über Existenz von
$p$-Sylowuntergruppen in gegebenen endlichen Gruppen.  Sie geben auch Auskunft
darüber, wie die Gruppen ineinander enthalten sind.

\begin{satz}[Erster Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Eins}
  Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Schreibe $|G| = p^n· m$, wobei $p \nmid m$
  sei.  Dann gelten folgende Aussagen.
  \begin{enumerate}
  \item\label{Satz_Sylow_erster_1} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n\}$ existiert
    eine $p$-Untergruppe von $G$ der Ordnung $pⁱ$.
    
  \item\label{Satz_Sylow_erster_2} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n-1\}$ gilt: Jede
    Untergruppe der Ordnung $pⁱ$ ist Normalteiler einer Untergruppe der Ordnung
    $p^{i+1}$.
  \end{enumerate}
  Insbesondere hat jede $p$-Sylowuntergruppe von $G$ die Ordnung $p^n$.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{20-1}
\end{proof}

\begin{satz}[Zweiter Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Zwei}
  Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Zu jeder $p$-Untergruppe $U ⊂ G$ und zu
  jeder $p$-Sylowuntergruppe $P ⊆ G$ existiert ein $g ∈ G$, sodass
  $g·U·g^{-1} ⊂ P$ ist.  Insbesondere sind je zwei $p$-Sylowuntergruppen von $G$
  zueinander konjugiert.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{20-2}
\end{proof}

\begin{satz}[Dritter Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Drei}
  Sei $s_p$ die Anzahl der verschiedenen $p$-Sylowuntergruppen einer endlichen
  Gruppe $G$.  Dann ist $s_p$ ein Teiler von $|G|$.  Weiterhin ist
  $s_p \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} p)$.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{20-3}
\end{proof}


\section{Die Symmetriegruppe des Tetraeders}

Um die bisherigen Ergebnisse zu illustrieren, diskutiere ich noch einmal
ausführlich die Gruppe $G = S_4$, die Gruppe der Permutationen der Menge
$\{1, 2, 3, 4 \}$.  Um später die Galoisgruppe von Polynomen $4.$ Grades
auszurechnen, interessieren uns die besonders für die Untergruppen von $S_4$.


\subsection{Geometrische Interpretation}

Geometrisch lässt sich $S_4$ als Symmetriegruppe des Tetraeders interpretieren,
wie in Abbildung~\ref{fig:tetraeder} dargestellt.  Schauen Sie aber auf jeden
Fall auch einmal in den
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe}{Wikipedia-Eintrag zur
  Tetraedergruppe}.

\begin{figure}
  \centering

  \begin{tikzpicture}[scale=.75]
    \def \hoeheEins {0.25}
    \def \hoeheZwei {2.0}
    \def \weiteEins {0.5}
    \def \weiteZwei {1.5}
    \def \labelshift {.75}
    
    \node [label = {180:$1$}] (1) at (-\weiteZwei,-\hoeheEins) {};
    \node [label = {270:$2$}] (2) at ( \weiteEins,-\hoeheZwei) {};
    \node [label = {000:$3$}] (3) at ( \weiteZwei-\weiteEins, \hoeheEins) {};
    \node [label = {090:$4$}] (4) at (-\weiteEins, \hoeheZwei) {};
    \foreach \X in {1,2,3,4}{
      \fill (\X) circle (0.05);
    }
    \path (1)--(2)--(3)--(4)--(2)--(1)--(3);
    \draw (4)--(1)--(2)--(3)--(4)--(2);
    \draw[dashed] (1)--(3);
  \end{tikzpicture}
  
  \caption{Tetraeder}
  \label{fig:tetraeder}
\end{figure}


\subsection{Die Konjugationsklassen der Permutationsgruppe}

Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation.  Ich
frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt.  Die Antwort kennen Sie
wahrscheinlich aus der Vorlesung ``Lineare Algebra II'', wo man diese Frage im
Zusammenhang mit der Konstruktion von
Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie
    Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.  Januar 1838 in
  Lyon; † 21.  Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen
diskutiert.  Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind,
wiederhole ich die Sache noch einmal.

\begin{fakt}
  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der
  Partitionen\footnote{Eine Partition von $n$ ist eine aufsteigende (endliche)
    Folge von positiven, natürlichen Zahlen, deren Summe gleich $n$ ist.
    Beispiel: $(1,2,3)$ und $(3,3)$ sind Partitionen von $6$.} von $n$ und den
  Konjugationsklassen in der Permutationsgruppe $S_n$.  \qed
\end{fakt}

Die Bijektion sieht so aus:
\begin{itemize}
\item Wenn eine Permutation $σ ∈ S_n$ gegeben ist, dann kann man $σ$ immer als
  Produkt disjunkter Zykel schrieben, zum Beispiel so
  \[
    σ = (1)(56)(78)(234) ∈ S_8.
  \]
  Diese Zykel haben in unserem Beispiel die Längen 1, 2, 2 und 3.  Ich erhalte
  die Partition $(1,2,2,3)$ von $8$.  In der Sprache dieser Vorlesung betrachten
  wir die von $σ$ erzeugte zyklische Untergruppe $H = (σ)$.  Diese Gruppe wirkt
  auf der Menge $M_8 := \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}$.  Die Zykel sind dann die Bahnen
  der $H$-Wirkung auf $M_8$.

\item Wenn zwei Permutationen $σ, τ ∈ S_n$ dieselbe Partition liefern, dann sind
  die trivialerweise zueinander konjugiert.  Statt großer Theorie erkläre ich
  das an einem Beispiel.  Gegeben seien
  \[
    σ = (1)(56)(78)(234) \quad\text{und}\quad τ = (4)(17)(58)(236).
  \]
  Dann betrachte die Permutation $g ∈ S_8$ gegeben durch
  \begin{align*}
    g(1) & = 4 & g(2) & = 2 & g(3) & = 3 & g(4) & = 6 \\
    g(5) & = 1 & g(6) & = 7 & g(7) & = 5 & g(8) & = 8
  \end{align*}
  und stelle fest, dass $σ = g^{-1}·τ·g$ ist.  Ich vermute, Sie durchschauen das
  System.  Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt oder verrechnet.
  
\item Jede Partition tritt auf.  Wenn Sie mir zum Beispiel die Partition
  $(2,3,3)$ der Zahl 8 geben, dann nehme ich die Permutation
  $σ = (12)(345)(678)$.
\end{itemize}

Für die Permutationsgruppe $S_4$ ist die Situation in Tabelle~\ref{fig:ks4}
zusammengefasst.

\begin{table}
  \centering

  \begin{tabular}{*{2}{>{$}c<{$}|}l*{2}{|>{$}c<{$}}}%|>{$}r<{$}}
    \text{Partition} & \text{Repräsentant} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.25cm}|}{Geometrische\linebreak Anschauung} & \text{Ordnung} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.75cm}}{Anzahl der Elemente\linebreak in der \linebreak Konjugationsklasse}\\
    \hline
    abcd & () & Identität & 1 & 1\\ [.5em]
    aabc & (12) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_reflection_plane_RK01.png}{Spiegelung} & 2 & \binom{4}{2}=6\\[.5em]
    aabb & (12)(34) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_2-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Achse} & 2 & 6/2 = 3\\[.5em]
    aaab & (123) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_3-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Ecke} & 3 & 4· 2 = 8\\[.5em]
    aaaa & (1234) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_4-fold_rotation-reflection_axis_RK01.png}{Drehspiegelung} & 4 & 3· 2 = 6
  \end{tabular}
  
  \caption{Konjugationsklassen in $S_4$}
  \label{fig:ks4}
\end{table}


\subsection{Die Untergruppen von $S_4$}

Die Gruppe $S_4$ hat Ordnung $1· 2· 3· 4 = 2³ · 3=24$.  Potenzielle Untergruppen
können also nur die folgenden Ordnungen haben.
\begin{description}
\item[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe $S_4$ sein.
  
\item[Ordnung 12:] Die Menge $A_4$ der geraden Permutationen, also der Kern der
  Signums-Abbildung, $\operatorname{sgn} : S_4 → ℤ/(2)$, ist eine Untergruppe
  von Ordnung 12.  Es ist im Moment unklar, ob weitere Untergruppen von Ordnung
  12 existieren.
  
\item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.  Die Anzahl $s_2$
  der 2-Sylowuntergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} (``Dritter
  Sylow-Satz'') ein Teiler von 24 mit
  $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$, also $s_2=1$ oder $s_2=3$.  Wir
  wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins} (``Erster Sylow-Satz''), dass jedes
  Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer 2-Sylowuntergruppe enthalten
  ist.  Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16 solche Elemente gibt.
  Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.  Also ist $s_2 = 3$.
  
\item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.
  
\item[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe
  der Ordnung 4.  Es ist im Moment aber unklar, ob weitere solche Untergruppen
  existieren.
  
\item[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von $S_4$ sein.  Diese
  Gruppen haben Ordnung 3 und alle nicht-trivialen Elemente müssen Ordnung 3
  haben.  Also sind die 3-Sylowuntergruppe zyklische Gruppen, die von Drehungen
  um Ecken erzeugt werden.  Es gibt 4 solcher Gruppen (denn es gibt $8$
  Drehungen, eine Gruppe enthält immer genau 2 Drehungen, und zwei zyklische
  Gruppen schneiden sich immer genau in der Einheit).
  
\item[Ordnung 2] Dies sind zyklische Gruppen, die von einem Element der Ordnung
  zwei (=Spiegelung bzw.  Drehung um eine Achse) erzeugt werden
  
\item[Ordnung 1] Dies muss die triviale Untergruppe $\{e\}$ sein.
\end{description}

Um die verbleibenden offenen Fragen zu klären, überlegt man sich am besten, wie
man sich die 2-Sylowuntergruppe vorstellt.  Wenn man in
Abbildung~\vref{fig:tetraeder} nur den Umriss des Tetraeders betrachtet, sieht
man, dass $D_4$ die Symmetriegruppe des Quadrates, eine Untergruppe von $S_4$
ist.  Wegen $|D_4| = 8$ ist das eine 2-Sylowuntergruppe.  Am Tetraeder lässt
sich diese Untergruppe als Stabilisator-Untergruppe der Achse der Drehung
$(13)(24)$ interpretieren.  Die Gruppen der Ordnung 4 findet man als
Untergruppen von $D_4$.  Die Gruppen der Ordnung 6 und 12 findet man durch
Kombinationen der Elemente von Ordnung 3 und 2.  Der Vollständigkeit halber sind
in Tabelle~\ref{fig:ugs4} alle Möglichkeiten der Konjugationsklassen von
Untergruppen von $S_4$ ohne Beweis aufgelistet.  In der Summe sehen Sie 30
Untergruppen.

\begin{fazit}
  Ein Zerfällungskörper eines Polynoms 4.\ Grades mit Galoisgruppe $S_4$ hat 30
  Zwischenkörper.  \qed
\end{fazit}

\begin{table}
  \centering

    \begin{tabular}{>{$}c<{$}|l|c|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}}
    \text{Gruppe} & \text{geometrisch} & Ordnung & Mächtigkeit der konjugierten Gruppen\\
    \hline
    S_4 & Symmetrie des Tetraeders & 24 & 1\\
    A_4 & Drehsymmetrien & 12 & 1\\
    D_4 & Stabilisatoren von Achsen & 8 & 3\\
    S_3 & Isotropiegruppe von Ecken & 6 & 4\\
    ℤ/(4) & Drehspiegelungen & 4 & 3\\
    ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Isotropie von Achsen & 4 & 3\\
    ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Drehungen um alle Achsen & 4 & 1\\
    ℤ/(3) & Drehungen um Ecken & 3 & 4\\
    ℤ/(2) & Drehung um eine Achse & 2 & 3\\
    ℤ/(2) & Spiegelungen & 2 & 6\\
    \{e\} & & 1 & 1\\
  \end{tabular}

  \caption{Untergruppen von $S_4$}
  \label{fig:ugs4}
\end{table}

      
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
%%% End:
