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\chapter{Ultrakurzwiederholung: wichtige Begriffe}

Bevor es mit dem eigentlichen Inhalt der Vorlesung losgeht, möchte ich
sicherzustellen, dass alle Teilnehmer auf dem gleichen Stand sind und dieselbe
Sprache sprechen (leider sind die Definitionen in der Literatur nicht immer
einheitlich).  Ich füge deshalb diesen extrem langweiligen Abschnitt ein, in dem
ich die wesentlichen Grundbegriffe extrem knapp wiederhole.  Das allermeiste
dürfte Ihnen aus den Anfängervorlesungen bekannt sein, sodass sich der
Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.


\section{Gruppen}
\label{sec:gruppen}

\begin{defn}[Gruppe]\label{def:2-1-1}
  Eine \emph{Gruppe}\index{Gruppe} ist eine nicht-leere Menge $G$ mit einer
  Abbildung
  \[
    m : G⨯ G → G,
  \]
  sodass folgende Eigenschaften gelten.
  \begin{description}
  \item[Assoziativität] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ aus $G$ gilt:
    $m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))$.
    
  \item[Neutrales Element] Es gibt genau ein Element $e$ aus $G$, sodass für
    alle $a$ aus $G$ gilt: $m(e,a) = m(a,e) = a$.
    
  \item[Inverse Elemente] Für alle $a$ aus $G$ gibt es genau ein Element $b$ aus
    $G$, sodass $m(a,b) = m(b,a) = e$ ist.
  \end{description}
\end{defn}

\begin{defn}[Abelsche Gruppe]
  Es sei $(G,m)$ eine Gruppe.  Die Gruppe heißt
  \emph{Abelsch}\index{Gruppe!Abelsch} oder
  \emph{kommutativ}\index{Gruppe!kommutativ}, falls für alle $a$ und $b$ aus $G$
  die Gleichung $m(a,b)=m(b,a)$ gilt.
\end{defn}

\begin{notation}[Gruppenverknüpfung, Inverses]
  Es sei $(G,m)$ eine Gruppe.  Dann wird die Abbildung $m$ häufig
  \emph{Gruppenverknüpfung}\index{Gruppenverknüpfung} genannt.  Häufig wird
  statt dem Buchstaben $m$ das Symbol $·$ verwendet und statt $m(a, b)$ kurz
  $a·b$.  Bei Abelschen Gruppen ist statt $·$ auch das Symbol $+$ üblich.  Das
  inverse Element von $a$ wird auch mit $a^{-1}$ bezeichnet.
\end{notation}

\begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra]
  Es sei $G = ℤ$, $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ oder irgend ein Vektorraum über irgendeinem
   (z.~B.\ der $ℝ$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $ℝ → ℝ$, oder
  der komplexe Vektorraum $ℂ[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei
  \begin{equation*}
    m(a,b) := a+b
  \end{equation*}
  die Addition bzw.\ die Vektoraddition.  Dann ist $(G,+)$ eine abelsche Gruppe.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Invertierbare Matrizen]
  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es sei $G$ die Menge der
  invertierbaren $(n⨯ n)$-Matrizen, die invertierbar sind.  Weiter sei
  \begin{equation*}
    m(a,b) := a·b
  \end{equation*}
  die Matrixmultiplikation.  Dann ist $(G,·)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen
  nicht Abelsch.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Bijektive Abbildungen]
  Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven
  Abbildungen $M → M$.  Weiter sei $◦$ wobei $◦$ die
  Hintereinanderausführung (=''Komposition'') von Abbildungen.  Dann ist
  $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen nicht Abelsch.  Wozu brauche ich
  ``Bijektivität''?  Haben Sie ein Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch
  ist?
\end{bsp}

\begin{bsp}[Vektorprodukt]
  Es sei $G := ℝ³$ und es sei $⨯$ das Vektorprodukt.  Dann ist
  $(G, ⨯)$ keine Gruppe.  Warum?
\end{bsp}

\begin{bsp}[Körper mit Multiplikation]
  Es sei $G := ℝ$ oder $ℤ$ oder $ℂ$ und es sei $·$ die
  Multiplikation.  Dann ist $(G, ·)$ keine Gruppe.  Warum?
\end{bsp}

\begin{defn}[Untergruppe]\label{def:2-1-9}
  Es sei $(G, m)$ eine Gruppe und es sei $U ⊆ G$ eine nicht-leere Teilmenge.
  Nenne $U$ eine \emph{Untergruppe}\index{Untergruppe} von $(G,m)$, falls
  Folgendes gilt.
  \begin{description}
  \item[Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung] Für alle Elemente $a$,
    $b$ aus $U$ ist auch $m(a,b)$ aus $U$.

  \item[Abgeschlossenheit unter Inversenbildung] Für alle Elemente $a$ aus $U$
    ist auch $a^{-1}$ in $U$.
  \end{description}
\end{defn}

\begin{bemerkung}
  Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann
  schränkt sich die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung
  \[
    m|_{U⨯ U} : U ⨯ U → U
  \]
  und $(U, m|_{U⨯ U})$ ist wieder eine Gruppe.  Es ist üblich, diese Gruppe
  einfach kurz mit $(U, m)$ zu bezeichnen.
\end{bemerkung}


\subsection{Normale Untergruppen}

Kennen Sie den Begriff der ``normalen Untergruppe''?  Falls Sie diesen Begriff
in den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten,
hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen.  Ich empfehle Kapitel 9 von
Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich
im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.

Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt
betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo
zusammengefasst.  \video{1-1}



\section{Ringe}

\begin{defn}[Ring]\label{def:ring}
  Ein \emph{Ring}\index{Ring} ist eine nicht-leere Menge $R$ mit zwei
  Abbildungen,
  \[
    + : R⨯ R → R \quad\text{und}\quad · : R⨯ R → R,
  \]
  sodass folgende Eigenschaften gelten.
  \begin{description}
  \item[Gruppenstruktur von $(R, +)$] Es ist $(R, +)$ eine Abelsche Gruppe.
    
  \item[Distributivgesetz] Für alle $a$, $b$ und $c$ aus $R$ gelten die
    Gleichungen $(a+b)·c = a·c + b·c$ und $a·(b+c) = a·b + a·c$.

  \item[Assoziativität der Multiplikation] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$
    aus $R$ gilt: $(a·b)·c = a·(b·c)$.

  \item[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element $e$ aus
    $R$, sodass für alle $a$ aus $R$ gilt: $e·a = a·e = a$.
  \end{description}
\end{defn}

\begin{notation}
  Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung ``$+$'' meist als
  Addition und die Verknüpfung ``$·$'' meist als Multiplikation bezeichnet.  Das
  neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das
  neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$.
\end{notation}

\begin{warnung}[Neutrales Element der Multiplikation]
  Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich.  Manche Autoren
  verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales
  Element der Multiplikation existiert.  Ein Ring wie in
  Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein ``Ring mit Eins''
  genannt.
\end{warnung}

\begin{defn}[Abelsche Ringe]
  Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Abelsch}\index{Ring!Abelsch} oder
  \emph{kommutativ}\index{Ring!kommutativ}, wenn für alle Elemente $a$ und $b$
  aus $R$ gilt, dass $a·b = b·a$ ist.
\end{defn}

\begin{bsp}[Vektorprodukt]
  Das Tripel $(ℝ³, +, ⨯)$ definiert keinen Ring, wenn $+$ die
  Vektoraddition und $⨯$ das Vektorprodukt bezeichnet.  Warum?
\end{bsp}

\begin{bsp}[Quadratische Matrizrn]
  Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und es sei $R$ die Menge
  der $(n⨯ n)$-Matrizen.  Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition
  und Matrixmuliplikation einen Ring.  Dieser ist im Allgemeinen nicht
  kommutativ.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Ganze Zahlen]
  Die Menge $ℤ$ bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen
  kommutativen Ring.
\end{bsp}

\begin{beobachtung}
  Mit Elementen aus Ringen kann man rechnen wie mit Zahlen.  Man rechnet sofort
  mithilfe der Definition nach, dass in jedem Ring $(R, +, ·)$ für alle Elemente
  $a$ und $b$ die Identitäten
  \[
    a·0 = 0·a = 0 \quad\text{und}\quad (-a)·b = -(a·b) = a·(-b)
  \]
  gelten.  Aber Achtung!
  \begin{itemize}
  \item Aus $a·b = 0$ und $a ≠ 0$ kann man im Allgemeinen nicht folgern, dass
    $b=0$ ist.
    
  \item Aus $a·(b-c) = 0$ oder $a·b = a·c$ kann man nicht folgern, dass
    $b=c$ ist.
  \end{itemize}
  Der Grund ist, dass das Element $a$ ein \emph{Nullteiler} sein kann!
\end{beobachtung}

\begin{defn}[Nullteiler]
  Es sei $(R, +, ·)$ ein kommutativer Ring.  Ein Element $a$ aus $R$ heißt
  \emph{Nullteiler}\index{Nullteiler}, wenn es ein Element $b ∈ R ∖ \{0\}$ gibt,
  sodass $a·b = 0$ ist.  Der Ring $R$ heißt
  \emph{nullteilerfrei}\index{Ring!nullteilerfrei} oder
  \emph{Integritätsring}\index{Integritätsring}, wenn die $0$ der einzige
  Nullteiler ist und wenn $R$ nicht nur aus dem Nullelement besteht.
\end{defn}

Wir merken uns: Nullteiler machen Probleme.  Gute Ringe haben keine Nullteiler.

\begin{figure}
  \centering
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
      \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
          \draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2);
          \draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0);
          \draw (-2,1)node[above right]{$f$}--(-1,0)--(2,0);
        \end{tikzpicture}
      \end{center}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
      \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
          \draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2);
          \draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0);
          \draw (-2,0)--(1,0)--(2,1)node[above left]{$g$};
        \end{tikzpicture}
      \end{center}
    \end{minipage}
  
  \caption{Nullteiler im Ring $\cC⁰(ℝ)$}
  \label{fig:nt}
\end{figure}

\begin{bsp}[Stetige Funktionen]\label{bsp:stetig}
  Es sei $\cC⁰(ℝ)$ die Menge der stetigen Funktionen auf $ℝ$.  Zusammen mit
  der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen bildet dies einen
  kommutativen Ring.  Betrachte die Funktionen $f$ und $g$ aus
  Abbildung~\vref{fig:nt}.  Dann ist weder $f$ noch $g$ die Nullfunktion, aber
  $f·g$ ist die Nullfunktion.  Also sind sowohl $f$ als auch $g$ Nullteiler des
  Ringes $\cC⁰(ℝ)$.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Polynome]
  Es sei $ℝ[x_1, …, x_n]$ die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten in
  $n$ Veränderlichen.  Die definiert mit der üblichen Addition und
  Multiplikation von Polynomen einen nullteilerfreien, kommutativen Ring.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Rechnen modulo $p$]
  Aus der linearen Algebra kennen Sie den Ring $ℤ/(6)$.  Dies ist kein
  Integritätsring, denn $[2] \ne [0]$ und $[3] \ne [0]$ aber
  $[2]·[3] = [6] = [0]$.  Fall $p$ eine Primzahl ist, ist $𝔽_p = ℤ/(p)$ ein
  Integritätsring, sogar ein Körper.
\end{bsp}

Das Gegenteil eines Nullteilers ist ein Element, das ein multiplikatives
Inverses besitzt.  Solche Elemente heißen Einheiten.

\begin{defn}[Einheiten eines Ringes]
  Sei $(R, +, ·)$ ein Ring und es sei $a ∈ R$ ein Element.  Nenne $a$
  \emph{multiplikativ invertierbar}\index{invertierbare Elemente eines Ringes}
  oder \emph{Einheit}\index{Einheit}, falls ein $b ∈ R$ existiert, sodass
  $a·b = b·a = 1$ ist.  Die Menge der Einheiten wird mit $R^*$ bezeichnet.
\end{defn}

\begin{bsp}[Ganze Zahlen]
  Es ist $ℤ^* = \{ 1, -1\}$.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Stetige Funktionen]
  In Beispiel~\ref{bsp:stetig} sind die Einheiten genau die stetigen Funktionen
  ohne Nullstelle.
\end{bsp}

\begin{beobachtung}
  Es sei $(R, +, ·)$ ein Ring.  Dann sind Produkte und Inverse von Einheiten
  wieder Einheiten, und die Menge der Einheiten bildet zusammen mit der
  Multiplikation eine Gruppe.
\end{beobachtung}

Den Begriff \emph{Unterring}\index{Unterring} definiert man ganz analog zur
Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.

\begin{bsp}[Unterringe]
  Die Menge $ℤ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℤ$ ist ein Unterring
  der Menge $ℝ[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $ℝ$.
\end{bsp}


\section{Körper}

\sideremark{Vorlesung 2}
\begin{defn}[Schiefkörper, Körper]
  Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$ nicht der Nullring ist und alle
  Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn also $R^* = R∖ \{0\}$ gilt.
  Ein Schiefkörper heißt \emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch
  kommutativ ist.
\end{defn}

Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur
Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.

\begin{bsp}[Bekannte Körper]
  Die bekanntesten Körper sind $ℚ$, $ℝ$, $ℂ$ und die endlichen Körper.  Die
  reellen Zahlen sind ein Unterkörper von $ℝ$ und $ℂ$.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Gebrochen-rationale Funktionen]\label{bsp:2-3-3}
  In der Schule haben Sie gebrochen-rationale Funktionen diskutiert, wie etwa
  \[
    f(x) := \frac{x²-7}{x³+4·x}.
  \]
  Die Menge der gebrochen-rationalen Funktionen\index{gebrochen-rationale
    Funktionen} bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen
  Körper, der mit $ℝ(x)$ bezeichnet wird.  Die Menge der konstanten Funktionen
  ist ein Unterkörper von $ℝ(x)$.  Die Menge $ℝ[x]$ ist ein Unterring, aber
  kein Unterkörper von $ℝ(x)$.
\end{bsp}

\begin{notation}[Körpererweiterung]
  Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer
  \emph{Körpererweiterung ``$L$ über $K$''}\index{Körpererweiterung}.  Man
  schreibt oft $L/K$.
\end{notation}

Interessante Körpererweiterungen konkret zu konstruieren ist erst einmal nicht
ganz einfach.  Hier ist eine nicht-triviale Methode, die wir später nutzen
werden, um an neue Beispiele zu kommen.
  
\begin{bsp}[Schnitte von Zwischenkörpern]\label{bsp:3-1-2a}
  Wir beginnen mit einer gegebenen Körpererweiterung $L/K$, und irgendeiner
  Menge $(M_i)_{i ∈ I}$ von Zwischenkörpern, also Unterkörpern $M_i ⊆ L$, die
  den kleineren Körper $K$ enthalten.  Man rechne direkt mithilfe der Definition
  nach, dass die Schnittmenge
  \[
    S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L
  \]
  wieder ein Unterköper von $L$ ist.  Per Konstruktion enthält dieser
  Unterkörper die Menge $K$.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b}
  Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}.  Wir beginnen mit einer
  gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten
  alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K ∪ A$ enthalten.  Man beobachte, dass es
  mindestens einen solchen Unterkörper gibt, nämlich $M$.  Man rechne direkt
  mithilfe der Definition nach, dass die Schnittmenge aller solcher $M$,
  \[
    \bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize
        $K ∪ A ⊆ M$}} M ⊆ L
  \]
  wieder ein Unterköper von $L$ ist.  Per Konstruktion enthält dieser
  Unterkörper die Menge $K ∪ A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der
  die Menge $K ∪ A$ enthält.
\end{bsp}

\begin{defn}[Adjunktion von Mengen und Elementen]
  Der in Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} konstruierte Unterkörper wird mit $K(A)$
  bezeichnet.  Man sagt, $K(A)$ entsteht aus $K$ durch \emph{Adjunktion der
    Menge $A$}\index{Adjunktion!einer Menge}.
\end{defn}

\begin{notation}[Adjunktion von endlichen Mengen]
  Falls die Menge $A$ aus Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} nur ein Element enthält,
  $A = \{a\}$, so schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a)$ und sagt, der Körper
  entsteht durch \emph{Adjunktion des Elementes $a$}\index{Adjunktion!eines
    Elementes}.  Falls die Menge $A$ endlich ist, $A = \{ a_1, …, a_n\}$, so
  schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$.
\end{notation}

\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach}
  Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
  \emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache
    Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.
  In diesem Zusammenhang nennt man $a$ ein \emph{primitives Element der
    Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}.
\end{defn}

Weiter unten werden wir einfache Körpererweiterung noch sehr ausführlich
besprechen.

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
%%% End:

