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07.tex

@@ -83,19 +83,18 @@ den Anfängervorlesungen.
 
 \begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.~Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.~April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]%
   Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
-  ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise
-  verschiedene Elemente.  Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$
+  ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_0, …, a_n∈ K$ paarweise
+  verschiedene Elemente.  Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_0), …, f(a_n)$
   eindeutig festgelegt.  Genauer gilt:
   \begin{equation*}
-    f(x) = \sum_{i=1}^{n+1}f(a_i)\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠ i}}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}.
+    f(x) = \sum_{i=0…n}f(a_i)\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0…n}{j≠i}}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}.
   \end{equation*}
 \end{erinnerung}
 \begin{proof}
-  Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x)$ vom Grad $≤ n$, für das
-  gilt
+  Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x) \in K[x]$ vom Grad $\deg
+  R = n$, sodass für alle Indices $i$ gilt:
   \[
-    R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠
-        i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
+    R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0…n}{j≠i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
   \]
   Dann ist $f-R$ ein Polynom vom Grad $≤ n$, das $n+1$ Nullstellen hat, also das
   Nullpolynom.