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@ -83,19 +83,18 @@ den Anfängervorlesungen.
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\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.~Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.~April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]%
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\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25.~Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10.~April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]%
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Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
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Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
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ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise
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ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_0, …, a_n∈ K$ paarweise
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verschiedene Elemente. Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$
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verschiedene Elemente. Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_0), …, f(a_n)$
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eindeutig festgelegt. Genauer gilt:
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eindeutig festgelegt. Genauer gilt:
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\begin{equation*}
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\begin{equation*}
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f(x) = \sum_{i=1}^{n+1}f(a_i)\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠ i}}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}.
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f(x) = \sum_{i=0…n}f(a_i)\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0…n}{j≠i}}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}.
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\end{equation*}
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\end{equation*}
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\end{erinnerung}
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\end{erinnerung}
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\begin{proof}
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\begin{proof}
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Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x)$ vom Grad $≤ n$, für das
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Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x) \in K[x]$ vom Grad $\deg
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gilt
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R = n$, sodass für alle Indices $i$ gilt:
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\[
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\[
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R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠
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R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0…n}{j≠i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
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i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
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Dann ist $f-R$ ein Polynom vom Grad $≤ n$, das $n+1$ Nullstellen hat, also das
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Dann ist $f-R$ ein Polynom vom Grad $≤ n$, das $n+1$ Nullstellen hat, also das
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Nullpolynom.
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Nullpolynom.
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