kebekus/AlgebraZahlentheorie
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Stefan Kebekus 2023-11-02 11:00:47 +01:00
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@ -151,3 +151,19 @@ Foliaten
Koeffizientenschemata
Gauss
MSRI
Galoissche
Bourg-la-Reine
quadratfreie
Évariste
Galoisschen
Galoiserweiterungen
Konjugation
galoiskonjugierten
Nichtkonstruierbarkeitsbeweisen
Nichtkonstruierbarkeitsbeweise
Fixkörper
Artin
Automorphismengruppe
Frobeniusmorphismus
Fixkörperkonstruktion
Äquivalenzklassen

6
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
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@ -58,3 +58,9 @@
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QFür jede Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Aussage über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist trivial.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAußerdem sind linke und rechte Seite von Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q normiert.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPrimzahlen der Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißen Fermatsche PrimzahlenIm August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q?.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es?.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QHatten Sie sich gewundert, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q adjungiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ mit QQ[sqrt(5)] bezeichnet?\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWohin geht die Reise?.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qquadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf\\E$"}

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05.tex
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@ -101,9 +101,9 @@ verhält sich der Grad gut.
\end{proof}
\begin{kor}
Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch
$R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring. Für die Gruppe der
Einheiten gilt
Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch der
Polynomring $R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring. Für die Gruppe
der Einheiten gilt
\begin{equation*}
R[x_1, …, x_n]^* = R^*,
\end{equation*}
@ -112,9 +112,9 @@ verhält sich der Grad gut.
\end{kor}
\begin{proof}
Die erste Aussage folgt mit Induktion aus Satz~\vref{Satz_Polynom_Grad}. Die
zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass
$R[x]^* = R^*$ ist. Sei also $p ∈ R[x]^*$. Das bedeutet per Definition: es
existiert ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$. Dann folgt aber
zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass $R[x]^*
= R^*$ ist. Sei also $p ∈ R[x]^*$. Das bedeutet per Definition: Es existiert
ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$. Dann folgt aber
\[
\deg p ≤ \deg p + \deg q = \deg (p·q) = \deg 1 = 0.
\]
@ -310,10 +310,10 @@ Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im
3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück. Der Beweis, den wir
hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
Noether} (Emmy war der Rufname; geb.~am 23.~März 1882 in Erlangen; gest.~am
14.~April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die
grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
lieferte. Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
Noether} (Emmy war der Rufname; * 23.~März 1882 in Erlangen; † 14.~April 1935 in
Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die grundlegende
Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik lieferte.
Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
revolutioniert. Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}.
Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt.
@ -374,7 +374,7 @@ wichtig.
\item\label{Satz_Prim_3} $p$ und $q$ sind prim und $p|q$ $⇒$
$p \sim q$.
\item\label{Satz_Prim_4} $p$ ist prim und $p|(a_1 ⋯ a_n)$
$⇒$ Es existiert ein $i$ mit $p|a_i$.
$⇒$ es existiert ein $i$ mit $p|a_i$.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
@ -609,7 +609,7 @@ weiteres auf Ringe.
\begin{itemize}
\item Es ist $r|v$ und $s|v$.
\item Für alle $t ∈ R$ gilt:, $r|t$ und $s|t$ impliziert $v|t$.
\item Für alle $t ∈ R$ gilt: $r|t$ und $s|t$ impliziert $v|t$.
\end{itemize}
Man schreibt in dieser Situation oft $v = \kgV(r,s)$\index{kgV}.
\end{defn}
@ -620,11 +620,11 @@ weiteres auf Ringe.
\end{definition}
\begin{warnung}
Obwohl man oft von ``dem größten gemeinsamen Teiler'' spricht, ist der größte
Obwohl man oft von „dem größten gemeinsamen Teiler“ spricht, ist der größte
gemeinsame Teiler nicht eindeutig! Wenn $g$ ein größter gemeinsame Teiler ist
und $ε ∈ R^*$, dann ist auch $ε·g$ ein größter
gemeinsame Teiler! Mit unserer Definition ist sowohl $3 = \ggT(6,9)$ als auch
$-3 = \ggT(6,9)$. Dito für $\kgV$.
und $ε ∈ R^*$, dann ist auch $ε·g$ ein größter gemeinsame Teiler! Mit unserer
Definition ist sowohl $3 = \ggT(6,9)$ als auch $-3 = \ggT(6,9)$. Dito für
$\kgV$.
\end{warnung}
\begin{warnung}

4
07.tex
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@ -163,7 +163,7 @@ Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
\begin{notation}
Ein Polynom, das die Bedingung von Satz~\ref{Satz_Eisenstein_Kriterium}
erfüllt, nennt man \emph{Eisenstein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}.
erfüllt, nennt man \emph{Eisen\-stein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}.
\end{notation}
\begin{bsp}
@ -183,7 +183,7 @@ Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
\end{equation*}
über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …,
x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist.
x_n)$ als Element von $R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist.
\end{bsp}

2
09.tex
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@ -4,7 +4,7 @@
\chapter{Ideale}
\label{chapt:09}
\section{Wohin geht die Reise}
\section{Wohin geht die Reise?}
Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach
der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu

4
10.tex
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@ -233,8 +233,8 @@ Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
\end{kor}
\begin{bsp}
Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal. Dann ist
$K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal. Dann ist der
Quotientenring $K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
\end{bsp}
Der folgende Satz ist wieder eine Konsequenz der universellen Eigenschaft. Die

2
12.tex
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@ -23,7 +23,7 @@ beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$
besitzt eine komplexe Nullstelle. Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$
als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann. Man sagt: „Die
komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“. Wir werden später sehen, was
komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“ Wir werden später sehen, was
diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat.
\begin{frage}

12
13.tex
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@ -49,7 +49,7 @@ zusammen.
\end{proof}
Zerfällungskörper sind also eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie. Wie
schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem''
schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von „dem“
Zerfällungskörper gesprochen.
\begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
@ -250,13 +250,13 @@ auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
\end{itemize}
\end{kor}
\begin{proof}
Induktion nach $n$ und der Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der
Algebraizität'').
Induktion nach $n$ und der Korollar~\vref{kor:TdA} („Transitivität der
Algebraizität“).
\end{proof}
\begin{bemerkung}
Für beliebige Körpererweiterungen $L/K$ und beliebige Teilmengen
$(a_λ)_{λ∈Λ} ⊂ L$ ist die Äquivalenz
\begin{bemerkung}[Endlichkeit ist wichtig]
Für beliebige Körpererweiterungen $L/K$ und beliebige Teilmengen $(a_λ)_{λ∈Λ}
⊂ L$ ist die Äquivalenz
\begin{equation*}
K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = K\bigr[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr] \quad⇔\quad\text{alle $a_λ$ sind algebraisch}
\end{equation*}

78
15.tex
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@ -10,10 +10,10 @@
seit der Vorlesung 10 hin gearbeitet habe: die Symmetriegruppe von
Körpererweiterungen, auch bekannt als
Galois\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Evariste_Galois}{Évariste
Galois} (* 25. Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31. Mai 1832 in Paris)
war ein französischer Mathematiker. Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei
einem Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer
Gleichungen, der sogenannten Galoistheorie, postum Anerkennung.}-Gruppe. Die
Galois} (* 25.~Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31.~Mai 1832 in Paris) war ein
französischer Mathematiker. Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei einem
Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer
Gleichungen, der sogenannten Galoistheorie, postum Anerkennung.}-Gruppe. Die
folgende Definition haben wir informell schon an mehreren Stellen diskutiert.
\begin{defn}[Galoisgruppe einer Körpererweiterung]
@ -28,30 +28,30 @@ folgende Definition haben wir informell schon an mehreren Stellen diskutiert.
\begin{defn}[Galoisgruppe eines Polynoms]
Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom. Weiter sei $L$ der
Zerfällungskörper von $f$ über $K$. Dann wird die Galoisgruppe der
Körpererweiterung $L/K$ oft auch mit $\Gal(f)$ notiert und als ``Galoisgruppe
von $f$'' bezeichnet.\index{Galoisgruppe!eines Polynoms}
Körpererweiterung $L/K$ oft auch mit $\Gal(f)$ notiert und als „Galoisgruppe
von $f$“ bezeichnet.\index{Galoisgruppe!eines Polynoms}
\end{defn}
Eine wichtige Aufgabe der Algebra, Algebra-Klausur und der mündlichen
Algebra-Prüfung ist es, die Galois-Gruppe einer gegebenen Körpererweiterung zu
beschreiben. Dabei bedeutet ``beschreiben'' mindestens, das man die Anzahl der
Algebra-Prüfung ist es, die Galoisgruppe einer gegebenen Körpererweiterung zu
beschreiben. Dabei bedeutet „beschreiben“ mindestens, das man die Anzahl der
Elemente angeben kann. Besser ist es, Erzeuger und Relationen der Gruppe
anzugeben. Noch besser ist es, die Gruppe mit einer bekannten Gruppe, etwa der
\href{https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN516762672}{Symmetriegruppe eines
schicken platonischen Körpers}, zu identifizieren. Die allererste Beobachtung
schicken platonischen Körpers}, zu identifizieren. Die allererste Beobachtung
ist, dass die Gruppe in vielen relevanten Fällen zumindest endlich ist. Wir
können sogar eine Abschätzung für die Größe der Gruppe angeben und die Größe in
einigen Fällen sogar exakt bestimmen.
\begin{beobachtung}[Größenabschätzung für die Galoisgruppe]\label{beob:gg}
\begin{beobachtung}[Größenabschätzung für die Galoisgruppe]\label{beob:gg}%
Wenn $L/K$ eine endliche Körpererweiterung ist, $n := [L:K]$, dann zeigt
Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} (``Universelle Eigenschaft des
algebraischen Abschluss'') zusammen mit Satz~\ref{Satz_11_10}, dass es
höchstens $n$ verschiedene $K$-Morphismen $L → L$ gibt. Also ist
$|\Gal(L/K)| ≤ n$.
Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} („Universelle Eigenschaft des
algebraischen Abschluss“) zusammen mit Satz~\ref{Satz_11_10}, dass es
höchstens $n$ verschiedene $K$-Morphismen $L → L$ gibt. Also ist $|\Gal(L/K)|
≤ n$.
\end{beobachtung}
\begin{beobachtung}
\begin{beobachtung}[Einfache Erweiterungen]
Wenn $L/K$ eine einfache\footnote{Definition~\vref{def:einfach}: einfach = es
gibt eine Element $a ∈ L$, sodass die Gleichung $L=K(a)$ gilt.}
Körpererweiterung ist, dann zeigt
@ -70,7 +70,7 @@ einigen Fällen sogar exakt bestimmen.
\end{equation*}
Also hat $\Gal(L/K)$ genau zwei Elemente. Wir wissen auch schon, welche. Ein
Element ist die Identität; diese bildet $a$ auf $a$ ab. Das andere Element
heißt ``Konjugation''; dies ist der eindeutige $ℚ$-Automorphismus von $L$, der
heißt „Konjugation“; dies ist der eindeutige $ℚ$-Automorphismus von $L$, der
$a$ auf $-a$ abbildet.
\end{bsp}
@ -107,9 +107,9 @@ einigen Fällen sogar exakt bestimmen.
\section{Normale Körpererweiterungen}
Wir interessieren uns besonders für Körpererweiterungen, die maximal viele
Automorphismen besitzen; diese werden wir in Kürze ``Galoisch'' nennen. Ich muss
Automorphismen besitzen; diese werden wir in Kürze „Galoisch“ nennen. Ich muss
aber erst noch kurz den folgenden Begriff einführen, der den Begriff des
``Zerfällungskörpers'' verallgemeinert; wir hatten ja schon gesehen, wie wichtig
„Zerfällungskörpers“ verallgemeinert; wir hatten ja schon gesehen, wie wichtig
Zerfällungskörper in der Diskussion von Symmetrien sind.
\begin{defn}[Normale Körpererweiterung]\label{def:normal}
@ -158,14 +158,13 @@ charakterisieren.
dann ist auch $L/Z$ normal. \qed
\end{kor}
Für endliche Körpererweiterungen ist der Begriff ``normal'' weniger
geheimnisvoll, als es auf den ersten Blick vielleicht scheint: in diesem Kontext
bedeutet ``normal'' nichts anderes als ``Zerfällungskörper eines geeigneten
Polynoms''.
Für endliche Körpererweiterungen ist der Begriff „normal“ weniger geheimnisvoll,
als es auf den ersten Blick vielleicht scheint: in diesem Kontext bedeutet
„normal“ nichts anderes als „Zerfällungskörper eines geeigneten Polynoms“.
\begin{satz}\label{satz:x1}
Eine endliche Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann normal, wenn $L$ der
Zerfällungskörper eines Polynomes $f ∈ K[x]$ ist.
Zerfällungskörper eines Polynoms $f ∈ K[x]$ ist.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis ``$⇒$'']
Angenommen, $L/K$ ist endlich und normal. Dann gibt es per Annahme endlich
@ -180,10 +179,10 @@ Polynoms''.
Satz~\ref{satz:h4} gesehen, dass $L$ normal ist.
\end{proof}
Eine wesentliches Fakt zu normalen Erweiterungen ist, dass sich jede
Ein wesentlicher Fakt zu normalen Erweiterungen ist, dass sich jede
Körpererweiterung immer zu einer normalen Körpererweiterung vergrößern lässt.
Der folgende Satz sagt, dass es unter all diesen Vergrößerungen eine kleinste
gibt, die sogar eindeutig ist. Dabei bedeutet ``eindeutig'' wie meistens in
gibt, die sogar eindeutig ist. Dabei bedeutet „eindeutig“ wie meistens in
dieser Vorlesung: eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.
\begin{satzdef}[Normale Hülle einer Körpererweiterung]
@ -209,13 +208,12 @@ dieser Vorlesung: eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.
\section{Galoissche Körpererweiterungen}
Ich sagte es schon: Die besten Körpererweiterung sind die, die maximal viele
Symmetrien (=Automorphismen) haben. Dabei bedeutet ``maximal'' nach
Beobachtung~\ref{beob:gg}: die Anzahl der Automorphismen ist gleich dem
Ich sagte es schon: Die besten Körpererweiterungen sind die, die maximal viele
Symmetrien (=Automorphismen) haben. Dabei bedeutet „maximal“ nach
Beobachtung~\ref{beob:gg}: Die Anzahl der Automorphismen ist gleich dem
Erweiterungsgrad. Diese Körpererweiterungen werden zu Ehren von Évariste Galois
die ``Galoischen'' Körpererweiterungen genannt. Das Studium dieser
Erweiterungen und ihrer Symmetriegruppe wird heute mit ``Galois-Theorie''
bezeichnet.
die „Galoisschen“ Körpererweiterungen genannt. Das Studium dieser Erweiterungen
und ihrer Symmetriegruppe wird heute mit „Galoistheorie“ bezeichnet.
\begin{satzdef}[Galoische Körpererweiterungen]
Es sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen
@ -250,14 +248,14 @@ bezeichnet.
Polynomen aus $K[x]$.
\end{bsp}
\begin{bsp}\label{bsp:c-r}
\begin{bsp}[Einfachstes Beispiel]\label{bsp:c-r}
Die einfachste aller Galoiserweiterungen ist $ℂ/ℝ$. Die Galoisgruppe ist
$\Gal(ℂ/ℝ) = \{ \Id, \text{Konjugation} \}$.
\end{bsp}
\begin{bsp}\label{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1}
\begin{bsp}\label{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1}%
Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $K ⊆ Z ⊆ L$ ein Zwischenkörper, dann
ist auch $L/Z$ Galoisch. Das folgt zum Beispiel so: der Körper $L$ ist nach
ist auch $L/Z$ Galoisch. Das folgt zum Beispiel so: Der Körper $L$ ist nach
Punkt~\ref{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} der
Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$. Dann ist $L$ aber
auch der Zerfällungskörper von $f ∈ Z[x]$. Die Galoisgruppe $\Gal(L/Z)$ ist
@ -274,8 +272,8 @@ Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.
\begin{lem}
Es sei $K$ ein Körper und es sei $L$ der Zerfällungskörper eines separablen
Polynoms $f ∈ K[x]$ vom Grad $n$. Die Nullstellen von $f$ in $L$ seien
$a_1, …, a_n$. Dann gilt Folgendes.
Polynoms $f ∈ K[x]$ vom Grad $n$. Die Nullstellen von $f$ in $L$ seien $a_1,
…, a_n$. Dann gilt Folgendes.
\begin{enumerate}
\item\label{il:y1} Jedes Gruppenelement $σ ∈ \Gal(f)$ permutiert die
Nullstellen $a_1, …, a_n$. Ein Gruppenelement $σ$ ist durch diese
@ -283,7 +281,7 @@ Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.
Untergruppe der Gruppe $S_n$ der Permutationen der Menge $\{a_1, …, a_n\}$
auffassen. Insbesondere gilt
\begin{equation*}
|\Gal(f)| ≤ |S_n| = n!
|\Gal(f)| ≤ |S_n| = n!.
\end{equation*}
\item\label{il:y2} Die Nullstellen der irreduziblen Faktoren von $f$ werden
@ -303,7 +301,7 @@ Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.
(wo?). Die anderen Aussagen beweise ich im \video{17-1}.
\end{proof}
Das Wort ``Konjugation'' aus Beispiel~\vref{bsp:c-r} wird in der Literatur auch
Das Wort „Konjugation“ aus Beispiel~\vref{bsp:c-r} wird in der Literatur auch
allgemeiner für beliebige Galoiserweiterungen verwendet.
\begin{defn}[Konjungierte Elemente]
@ -316,11 +314,11 @@ allgemeiner für beliebige Galoiserweiterungen verwendet.
\emph{galoiskonjugierten}\index{galoiskonjugierte Elemente} von $a$.
\end{defn}
\begin{bsp}\label{bsp:x-2}
\begin{bsp}\label{bsp:x-2}%
Wir setzen das Beispiel~\vref{bsp:x-1} fort. Dort haben wir schon gesehen,
dass $ℚ(\sqrt[3]{2})/ℚ$ nicht Galoisch ist. Der Zerfällungskörper des
Polynoms $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist nämlich\footnote{Preisfrage: warum bezeichne
ich den Zerfällungskörper mit dem Symbol ``$N$''?}
ich den Zerfällungskörper mit dem Symbol „$N$“?}
\[
N = ℚ\bigl(a, ξ·a, ξ²·a\bigr).
\]

24
16.tex
View File

@ -15,7 +15,7 @@ wohl ebenfalls eine Zweierpotenz sein muss.
Ich in diesem Skript immer wieder geschrieben, dass für schwierigere
Nichtkonstruierbarkeitsbeweise eine einfache Betrachtung von Erweiterungsgraden
nicht reicht, und das wir Symmetrien betrachten müssen. Inzwischen ist klar,
dass ich mit ``Symmetrie'' die Galoisgruppe meine. Jetzt ist es an der Zeit zu
dass ich mit „Symmetrie“ die Galoisgruppe meine. Jetzt ist es an der Zeit zu
sagen, wie Symmetrien genutzt werden können, um Ketten von Körpererweiterungen
zu untersuchen. Am Ende werden wir sehen, dass die relevanten
Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme nicht nur Grad $2^n$ über $ℚ$
@ -24,7 +24,7 @@ Unterkörper, die von konstruierbaren Punkten kommen, müssen dann ebenfalls rec
speziell sein.
\begin{bemerkung}
Der Hauptsatz der Galoistheorie wird ``Hauptsatz der Galoistheorie'' genannt,
Der Hauptsatz der Galoistheorie wird „Hauptsatz der Galoistheorie“ genannt,
weil er in der Theorie der Galoiserweiterungen eine zentrale Rolle einnimmt.
Es ist vielleicht eine gute Idee, diesen Satz ernst zu nehmen.
\end{bemerkung}
@ -49,10 +49,10 @@ ist eine Hausaufgabe.
\end{satzdef}
Der folgende Satz von Emil
Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (* 3.
März 1898 in Wien; † 20. Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer
Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des 20.
Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass
Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (*
3.~März 1898 in Wien; † 20.~Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer
Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des
20.~Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass
Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern.
\begin{satz}[Satz von Emil Artin]\label{Theorem_von_E_Artin}
@ -65,13 +65,13 @@ Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern.
Der Beweis des Satzes von Emil Artin ist nicht trivial. Wir geben einen Beweis
im Abschnitt~\vref{ssec:16-3}, müssen als Vorbereitung aber zuerst die lineare
Unabhängigkeit von Charakteren beweisen. Wahrscheinlich muss ich auch noch
erklären, was ein ``Charakter'' eigentlich ist.
erklären, was ein „Charakter“ eigentlich ist.
\subsection{Die lineare Unabhängigkeit von Charakteren}
Um eine gegebene Gruppe $H$ zu verstehen, kann man untersuchen, welche
Gruppenmorphism der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative
Gruppenmorphismen der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative
Gruppe eines Körpers $L$ sein soll. Leute, die viel mit Gruppen arbeiten,
meinen, dass solche Abbildungen die Gruppe charakterisieren. Ich finde diese
Wortwahl nicht sehr überzeugend, aber mich fragt ja keiner.
@ -274,12 +274,12 @@ und folgende Zwischenkörper von $N/ℚ$,
\begin{tikzcd}[column sep=tiny]
& & ℚ \ar[dll, hook] \ar[dl, hook] \ar[dr, hook] \ar[drr, hook] \\
ℚ(a_3) \ar[drr, hook] & ℚ(a_2) \ar[dr, hook] & & ℚ(a_1) \ar[dl, hook]& ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr) \ar[dll, hook]\\
& & N
& & N.
\end{tikzcd}
\]
Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe
$\{\Id, (123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte. Sie haben
sich vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl
Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe $\{\Id,
(123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte. Sie haben sich
vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl
$\sqrt3·i$ überhaupt in $N$ liegt. Dann haben Sie nachgerechnet und konnten
$\sqrt3·i$ mithilfe der $a_1$, $a_2$ und $a_3$ ausdrücken. Schauen Sie sich
diesen Ausdruck einmal ganz scharf an. Wenn Sie nicht weiterkommen, sprechen