Fix minor typos

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -151,3 +151,19 @@ Foliaten
 Koeffizientenschemata
 Gauss
 MSRI
+Galoissche
+Bourg-la-Reine
+quadratfreie
+Évariste
+Galoisschen
+Galoiserweiterungen
+Konjugation
+galoiskonjugierten
+Nichtkonstruierbarkeitsbeweisen
+Nichtkonstruierbarkeitsbeweise
+Fixkörper
+Artin
+Automorphismengruppe
+Frobeniusmorphismus
+Fixkörperkonstruktion
+Äquivalenzklassen

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -58,3 +58,9 @@
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QFür jede Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Aussage über \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist trivial.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QAußerdem sind linke und rechte Seite von Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q normiert.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPrimzahlen der Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißen Fermatsche PrimzahlenIm August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\Q?.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es?.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QHatten Sie sich gewundert, warum SAGE eckige Klammern verwendet und den Körper „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q adjungiert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ mit QQ[sqrt(5)] bezeichnet?\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWohin geht die Reise?.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qquadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf\\E$"}

05.tex

@@ -101,9 +101,9 @@ verhält sich der Grad gut.
 \end{proof}
 
 \begin{kor}
-  Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch
+  Ist $R$ ein kommutativer Integritätsring und ist $n ∈ ℕ$, dann ist auch der
-  $R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring.  Für die Gruppe der
+  Polynomring $R[x_1, …, x_n]$ ein kommutativer Integritätsring.  Für die Gruppe
-  Einheiten gilt
+  der Einheiten gilt
   \begin{equation*}
     R[x_1, …, x_n]^* = R^*,
   \end{equation*}
@@ -112,9 +112,9 @@ verhält sich der Grad gut.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Die erste Aussage folgt mit Induktion aus Satz~\vref{Satz_Polynom_Grad}.  Die
-  zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass
+  zweite Aussage folgt ebenfalls mit Induktion, sobald wir zeigen, dass $R[x]^*
-  $R[x]^* = R^*$ ist.  Sei also $p ∈ R[x]^*$.  Das bedeutet per Definition: es
+  = R^*$ ist.  Sei also $p ∈ R[x]^*$.  Das bedeutet per Definition: Es existiert
-  existiert ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$.  Dann folgt aber
+  ein Polynom $q$ mit $p·q = 1$.  Dann folgt aber
   \[
     \deg p ≤ \deg p + \deg q = \deg (p·q) = \deg 1 = 0.
   \]
@@ -310,10 +310,10 @@ Alexandria} war ein griechischer Mathematiker, der wahrscheinlich im
 3.~Jahrhundert v.~Chr.~in Alexandria gelebt hat.} zurück.  Der Beweis, den wir
 hier vorstellen, ist genial-elegant-modern und von Emmy
 Noether\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether}{Amalie Emmy
-Noether} (Emmy war der Rufname; geb.~am 23.~März 1882 in Erlangen; gest.~am
+Noether} (Emmy war der Rufname; * 23.~März 1882 in Erlangen; † 14.~April 1935 in
-14.~April 1935 in Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die
+Bryn Mawr, Pennsylvania) war eine deutsche Mathematikerin, die grundlegende
-grundlegende Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik
+Beiträge zur abstrakten Algebra und zur theoretischen Physik lieferte.
-lieferte.  Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
+Insbesondere hat Noether die Theorie der Ringe, Körper und Algebren
 revolutioniert.  Das nach ihr benannte Noether-Theorem gibt die Verbindung
 zwischen Symmetrien von physikalischen Naturgesetzen und Erhaltungsgrößen an.}.
 Die Beweismethode ist heute als „Noethersche Induktion“ bekannt.
@@ -374,7 +374,7 @@ wichtig.
   \item\label{Satz_Prim_3} $p$ und $q$ sind prim und $p|q$ $⇒$
     $p \sim q$.
   \item\label{Satz_Prim_4} $p$ ist prim und $p|(a_1 ⋯ a_n)$
-    $⇒$ Es existiert ein $i$ mit $p|a_i$.
+    $⇒$ es existiert ein $i$ mit $p|a_i$.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}
@@ -609,7 +609,7 @@ weiteres auf Ringe.
   \begin{itemize}
   \item Es ist $r|v$ und $s|v$.
     
-  \item Für alle $t ∈ R$ gilt:, $r|t$ und $s|t$ impliziert $v|t$.
+  \item Für alle $t ∈ R$ gilt: $r|t$ und $s|t$ impliziert $v|t$.
   \end{itemize}
   Man schreibt in dieser Situation oft $v = \kgV(r,s)$\index{kgV}.
 \end{defn}
@@ -620,11 +620,11 @@ weiteres auf Ringe.
 \end{definition}
 
 \begin{warnung}
-  Obwohl man oft von ``dem größten gemeinsamen Teiler'' spricht, ist der größte
+  Obwohl man oft von „dem größten gemeinsamen Teiler“ spricht, ist der größte
   gemeinsame Teiler nicht eindeutig!  Wenn $g$ ein größter gemeinsame Teiler ist
-  und $ε ∈ R^*$, dann ist auch $ε·g$ ein größter
+  und $ε ∈ R^*$, dann ist auch $ε·g$ ein größter gemeinsame Teiler!  Mit unserer
-  gemeinsame Teiler!  Mit unserer Definition ist sowohl $3 = \ggT(6,9)$ als auch
+  Definition ist sowohl $3 = \ggT(6,9)$ als auch $-3 = \ggT(6,9)$.  Dito für
-  $-3 = \ggT(6,9)$.  Dito für $\kgV$.
+  $\kgV$.
 \end{warnung}
 
 \begin{warnung}

07.tex

@@ -163,7 +163,7 @@ Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
 
 \begin{notation}
   Ein Polynom, das die Bedingung von Satz~\ref{Satz_Eisenstein_Kriterium}
-  erfüllt, nennt man \emph{Eisenstein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}.
+  erfüllt, nennt man \emph{Eisen\-stein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}.
 \end{notation}
 
 \begin{bsp}
@@ -183,7 +183,7 @@ Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
     x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
   \end{equation*}
   über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …,
-  x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist.
+  x_n)$ als Element von $R[x_2, …, x_n]$ irreduzibel ist.
 \end{bsp}
 
 

09.tex

@@ -4,7 +4,7 @@
 \chapter{Ideale}
 \label{chapt:09}
 
-\section{Wohin geht die Reise}
+\section{Wohin geht die Reise?}
 
 Ich hatte schon am Ende des letzten Abschnittes geschrieben: um die Frage nach
 der Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks vollständig entscheiden zu

10.tex

@@ -233,8 +233,8 @@ Bilder von Idealen sind zumindest dann Ideale, wenn der Morphismus surjektiv ist
 \end{kor}
 
 \begin{bsp}
-  Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal.  Dann ist
+  Es sei $K$ ein Körper, es sei $I ⊆ K[x_1, …, x_n]$ ein Ideal.  Dann ist der
-  $K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
+  Quotientenring $K[x_1, …, x_n]/I$ noethersch.
 \end{bsp}
 
 Der folgende Satz ist wieder eine Konsequenz der universellen Eigenschaft.  Die

12.tex

@@ -23,7 +23,7 @@ beweist man mit analytischen Methoden, dass jedes Polynom $f ∈ ℝ[x]$ eine
 komplexe Nullstelle besitzt -- und auch jedes komplexe Polynom $f ∈ ℝ[x]$
 besitzt eine komplexe Nullstelle.  Das führt dazu, dass jedes Polynom in $ℂ[x]$
 als Produkt von linearen Polynome geschrieben werden kann.  Man sagt: „Die
-komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“.  Wir werden später sehen, was
+komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen.“  Wir werden später sehen, was
 diese Eigenschaft mit Symmetrie zu tun hat.
 
 \begin{frage}

13.tex

@@ -49,7 +49,7 @@ zusammen.
 \end{proof}
 
 Zerfällungskörper sind also eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.  Wie
-schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von ``dem''
+schon beim algebraischen Abschluss wird deshalb häufig von „dem“
 Zerfällungskörper gesprochen.
 
 \begin{bemerkung}[Kochrezept: Zerfällungskörper]
@@ -250,13 +250,13 @@ auch noch einmal Fußnote~\vref{foot:sage} an.
   \end{itemize}
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  Induktion nach $n$ und der Korollar~\vref{kor:TdA} (``Transitivität der
+  Induktion nach $n$ und der Korollar~\vref{kor:TdA} („Transitivität der
-  Algebraizität'').
+  Algebraizität“).
 \end{proof}
 
-\begin{bemerkung}
+\begin{bemerkung}[Endlichkeit ist wichtig]
-  Für beliebige Körpererweiterungen $L/K$ und beliebige Teilmengen
+  Für beliebige Körpererweiterungen $L/K$ und beliebige Teilmengen $(a_λ)_{λ∈Λ}
-  $(a_λ)_{λ∈Λ} ⊂ L$ ist die Äquivalenz
+  ⊂ L$ ist die Äquivalenz
   \begin{equation*}
     K\bigl( (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr) = K\bigr[ (a_λ)_{λ∈Λ} \bigr] \quad⇔\quad\text{alle $a_λ$ sind algebraisch}
   \end{equation*}

15.tex

@@ -10,10 +10,10 @@
 seit der Vorlesung 10 hin gearbeitet habe: die Symmetriegruppe von
 Körpererweiterungen, auch bekannt als
 Galois\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Evariste_Galois}{Évariste
-    Galois} (* 25.  Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31.  Mai 1832 in Paris)
+Galois} (* 25.~Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31.~Mai 1832 in Paris) war ein
-  war ein französischer Mathematiker.  Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei
+französischer Mathematiker.  Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei einem
-  einem Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer
+Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer
-  Gleichungen, der sogenannten Galoistheorie, postum Anerkennung.}-Gruppe.  Die
+Gleichungen, der sogenannten Galoistheorie, postum Anerkennung.}-Gruppe.  Die
 folgende Definition haben wir informell schon an mehreren Stellen diskutiert.
 
 \begin{defn}[Galoisgruppe einer Körpererweiterung]
@@ -28,32 +28,32 @@ folgende Definition haben wir informell schon an mehreren Stellen diskutiert.
 \begin{defn}[Galoisgruppe eines Polynoms]
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom.  Weiter sei $L$ der
   Zerfällungskörper von $f$ über $K$.  Dann wird die Galoisgruppe der
-  Körpererweiterung $L/K$ oft auch mit $\Gal(f)$ notiert und als ``Galoisgruppe
+  Körpererweiterung $L/K$ oft auch mit $\Gal(f)$ notiert und als „Galoisgruppe
-  von $f$'' bezeichnet.\index{Galoisgruppe!eines Polynoms}
+  von $f$“ bezeichnet.\index{Galoisgruppe!eines Polynoms}
 \end{defn}
 
 Eine wichtige Aufgabe der Algebra, Algebra-Klausur und der mündlichen
-Algebra-Prüfung ist es, die Galois-Gruppe einer gegebenen Körpererweiterung zu
+Algebra-Prüfung ist es, die Galoisgruppe einer gegebenen Körpererweiterung zu
-beschreiben.  Dabei bedeutet ``beschreiben'' mindestens, das man die Anzahl der
+beschreiben.  Dabei bedeutet „beschreiben“ mindestens, das man die Anzahl der
 Elemente angeben kann.  Besser ist es, Erzeuger und Relationen der Gruppe
 anzugeben.  Noch besser ist es, die Gruppe mit einer bekannten Gruppe, etwa der
 \href{https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN516762672}{Symmetriegruppe eines
-  schicken platonischen Körpers}, zu identifizieren.  Die allererste Beobachtung
+schicken platonischen Körpers}, zu identifizieren.  Die allererste Beobachtung
 ist, dass die Gruppe in vielen relevanten Fällen zumindest endlich ist.  Wir
 können sogar eine Abschätzung für die Größe der Gruppe angeben und die Größe in
 einigen Fällen sogar exakt bestimmen.
 
-\begin{beobachtung}[Größenabschätzung für die Galoisgruppe]\label{beob:gg}
+\begin{beobachtung}[Größenabschätzung für die Galoisgruppe]\label{beob:gg}%
   Wenn $L/K$ eine endliche Körpererweiterung ist, $n := [L:K]$, dann zeigt
-  Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} (``Universelle Eigenschaft des
+  Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} („Universelle Eigenschaft des
-  algebraischen Abschluss'') zusammen mit Satz~\ref{Satz_11_10}, dass es 
+  algebraischen Abschluss“) zusammen mit Satz~\ref{Satz_11_10}, dass es
-  höchstens $n$ verschiedene $K$-Morphismen $L → L$ gibt.  Also ist
+  höchstens $n$ verschiedene $K$-Morphismen $L → L$ gibt.  Also ist $|\Gal(L/K)|
-  $|\Gal(L/K)| ≤ n$.
+  ≤ n$.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{beobachtung}
+\begin{beobachtung}[Einfache Erweiterungen]
   Wenn $L/K$ eine einfache\footnote{Definition~\vref{def:einfach}: einfach = es
-    gibt eine Element $a ∈ L$, sodass die Gleichung $L=K(a)$ gilt.}
+  gibt eine Element $a ∈ L$, sodass die Gleichung $L=K(a)$ gilt.}
   Körpererweiterung ist, dann zeigt
   Lemma~\ref{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}, dass
   $|\Gal(L/K)|$ exakt die Anzahl der Nullstellen ist, die das Minimalpolynom von
@@ -70,7 +70,7 @@ einigen Fällen sogar exakt bestimmen.
   \end{equation*}
   Also hat $\Gal(L/K)$ genau zwei Elemente.  Wir wissen auch schon, welche.  Ein
   Element ist die Identität; diese bildet $a$ auf $a$ ab.  Das andere Element
-  heißt ``Konjugation''; dies ist der eindeutige $ℚ$-Automorphismus von $L$, der
+  heißt „Konjugation“; dies ist der eindeutige $ℚ$-Automorphismus von $L$, der
   $a$ auf $-a$ abbildet.
 \end{bsp}
 
@@ -107,9 +107,9 @@ einigen Fällen sogar exakt bestimmen.
 \section{Normale Körpererweiterungen}
 
 Wir interessieren uns besonders für Körpererweiterungen, die maximal viele
-Automorphismen besitzen; diese werden wir in Kürze ``Galoisch'' nennen.  Ich muss
+Automorphismen besitzen; diese werden wir in Kürze „Galoisch“ nennen.  Ich muss
 aber erst noch kurz den folgenden Begriff einführen, der den Begriff des
-``Zerfällungskörpers'' verallgemeinert; wir hatten ja schon gesehen, wie wichtig
+„Zerfällungskörpers“ verallgemeinert; wir hatten ja schon gesehen, wie wichtig
 Zerfällungskörper in der Diskussion von Symmetrien sind.
 
 \begin{defn}[Normale Körpererweiterung]\label{def:normal}
@@ -158,14 +158,13 @@ charakterisieren.
   dann ist auch $L/Z$ normal.  \qed
 \end{kor}
 
-Für endliche Körpererweiterungen ist der Begriff ``normal'' weniger
+Für endliche Körpererweiterungen ist der Begriff „normal“ weniger geheimnisvoll,
-geheimnisvoll, als es auf den ersten Blick vielleicht scheint: in diesem Kontext
+als es auf den ersten Blick vielleicht scheint: in diesem Kontext bedeutet
-bedeutet ``normal'' nichts anderes als ``Zerfällungskörper eines geeigneten
+„normal“ nichts anderes als „Zerfällungskörper eines geeigneten Polynoms“.
-Polynoms''.
 
 \begin{satz}\label{satz:x1}
   Eine endliche Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann normal, wenn $L$ der
-  Zerfällungskörper eines Polynomes $f ∈ K[x]$ ist.
+  Zerfällungskörper eines Polynoms $f ∈ K[x]$ ist.
 \end{satz}
 \begin{proof}[Beweis ``$⇒$'']
   Angenommen, $L/K$ ist endlich und normal.  Dann gibt es per Annahme endlich
@@ -180,10 +179,10 @@ Polynoms''.
   Satz~\ref{satz:h4} gesehen, dass $L$ normal ist.
 \end{proof}
 
-Eine wesentliches Fakt zu normalen Erweiterungen ist, dass sich jede
+Ein wesentlicher Fakt zu normalen Erweiterungen ist, dass sich jede
 Körpererweiterung immer zu einer normalen Körpererweiterung vergrößern lässt.
 Der folgende Satz sagt, dass es unter all diesen Vergrößerungen eine kleinste
-gibt, die sogar eindeutig ist.  Dabei bedeutet ``eindeutig'' wie meistens in
+gibt, die sogar eindeutig ist.  Dabei bedeutet „eindeutig“ wie meistens in
 dieser Vorlesung: eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.
 
 \begin{satzdef}[Normale Hülle einer Körpererweiterung]
@@ -209,13 +208,12 @@ dieser Vorlesung: eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.
 
 \section{Galoissche Körpererweiterungen}
 
-Ich sagte es schon: Die besten Körpererweiterung sind die, die maximal viele
+Ich sagte es schon: Die besten Körpererweiterungen sind die, die maximal viele
-Symmetrien (=Automorphismen) haben.  Dabei bedeutet ``maximal'' nach
+Symmetrien (=Automorphismen) haben.  Dabei bedeutet „maximal“ nach
-Beobachtung~\ref{beob:gg}: die Anzahl der Automorphismen ist gleich dem
+Beobachtung~\ref{beob:gg}: Die Anzahl der Automorphismen ist gleich dem
 Erweiterungsgrad.  Diese Körpererweiterungen werden zu Ehren von Évariste Galois
-die ``Galoischen'' Körpererweiterungen genannt.  Das Studium dieser
+die „Galoisschen“ Körpererweiterungen genannt.  Das Studium dieser Erweiterungen
-Erweiterungen und ihrer Symmetriegruppe wird heute mit ``Galois-Theorie''
+und ihrer Symmetriegruppe wird heute mit „Galoistheorie“ bezeichnet.
-bezeichnet.
 
 \begin{satzdef}[Galoische Körpererweiterungen]
   Es sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung.  Dann sind folgende Aussagen
@@ -250,14 +248,14 @@ bezeichnet.
   Polynomen aus $K[x]$.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}\label{bsp:c-r}
+\begin{bsp}[Einfachstes Beispiel]\label{bsp:c-r}
   Die einfachste aller Galoiserweiterungen ist $ℂ/ℝ$.  Die Galoisgruppe ist
   $\Gal(ℂ/ℝ) = \{ \Id, \text{Konjugation} \}$.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}\label{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1}
+\begin{bsp}\label{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1}%
   Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $K ⊆ Z ⊆ L$ ein Zwischenkörper, dann
-  ist auch $L/Z$ Galoisch.  Das folgt zum Beispiel so: der Körper $L$ ist nach
+  ist auch $L/Z$ Galoisch.  Das folgt zum Beispiel so: Der Körper $L$ ist nach
   Punkt~\ref{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} der
   Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$.  Dann ist $L$ aber
   auch der Zerfällungskörper von $f ∈ Z[x]$.  Die Galoisgruppe $\Gal(L/Z)$ ist
@@ -274,8 +272,8 @@ Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.
 
 \begin{lem}
   Es sei $K$ ein Körper und es sei $L$ der Zerfällungskörper eines separablen
-  Polynoms $f ∈ K[x]$ vom Grad $n$.  Die Nullstellen von $f$ in $L$ seien
+  Polynoms $f ∈ K[x]$ vom Grad $n$.  Die Nullstellen von $f$ in $L$ seien $a_1,
-  $a_1, …, a_n$.  Dann gilt Folgendes.
+  …, a_n$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:y1} Jedes Gruppenelement $σ ∈ \Gal(f)$ permutiert die
     Nullstellen $a_1, …, a_n$.  Ein Gruppenelement $σ$ ist durch diese
@@ -283,7 +281,7 @@ Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.
     Untergruppe der Gruppe $S_n$ der Permutationen der Menge $\{a_1, …, a_n\}$
     auffassen.  Insbesondere gilt
     \begin{equation*}
-      |\Gal(f)| ≤ |S_n| = n!
+      |\Gal(f)| ≤ |S_n| = n!.
     \end{equation*}
     
   \item\label{il:y2} Die Nullstellen der irreduziblen Faktoren von $f$ werden
@@ -303,7 +301,7 @@ Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.
   (wo?).  Die anderen Aussagen beweise ich im \video{17-1}.
 \end{proof}
 
-Das Wort ``Konjugation'' aus Beispiel~\vref{bsp:c-r} wird in der Literatur auch
+Das Wort „Konjugation“ aus Beispiel~\vref{bsp:c-r} wird in der Literatur auch
 allgemeiner für beliebige Galoiserweiterungen verwendet.
 
 \begin{defn}[Konjungierte Elemente]
@@ -316,11 +314,11 @@ allgemeiner für beliebige Galoiserweiterungen verwendet.
   \emph{galoiskonjugierten}\index{galoiskonjugierte Elemente} von $a$.
 \end{defn}
 
-\begin{bsp}\label{bsp:x-2}
+\begin{bsp}\label{bsp:x-2}%
   Wir setzen das Beispiel~\vref{bsp:x-1} fort.  Dort haben wir schon gesehen,
   dass $ℚ(\sqrt[3]{2})/ℚ$ nicht Galoisch ist.  Der Zerfällungskörper des
   Polynoms $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist nämlich\footnote{Preisfrage: warum bezeichne
-    ich den Zerfällungskörper mit dem Symbol ``$N$''?}
+  ich den Zerfällungskörper mit dem Symbol „$N$“?}
   \[
     N = ℚ\bigl(a, ξ·a, ξ²·a\bigr).
   \]

16.tex

@@ -15,7 +15,7 @@ wohl ebenfalls eine Zweierpotenz sein muss.
 Ich in diesem Skript immer wieder geschrieben, dass für schwierigere
 Nichtkonstruierbarkeitsbeweise eine einfache Betrachtung von Erweiterungsgraden
 nicht reicht, und das wir Symmetrien betrachten müssen.  Inzwischen ist klar,
-dass ich mit ``Symmetrie'' die Galoisgruppe meine.  Jetzt ist es an der Zeit zu
+dass ich mit „Symmetrie“ die Galoisgruppe meine.  Jetzt ist es an der Zeit zu
 sagen, wie Symmetrien genutzt werden können, um Ketten von Körpererweiterungen
 zu untersuchen.  Am Ende werden wir sehen, dass die relevanten
 Körpererweiterungen für Konstruktionsprobleme nicht nur Grad $2^n$ über $ℚ$
@@ -24,7 +24,7 @@ Unterkörper, die von konstruierbaren Punkten kommen, müssen dann ebenfalls rec
 speziell sein.
 
 \begin{bemerkung}
-  Der Hauptsatz der Galoistheorie wird ``Hauptsatz der Galoistheorie'' genannt,
+  Der Hauptsatz der Galoistheorie wird „Hauptsatz der Galoistheorie“ genannt,
   weil er in der Theorie der Galoiserweiterungen eine zentrale Rolle einnimmt.
   Es ist vielleicht eine gute Idee, diesen Satz ernst zu nehmen.
 \end{bemerkung}
@@ -49,10 +49,10 @@ ist eine Hausaufgabe.
 \end{satzdef}
 
 Der folgende Satz von Emil
-Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (* 3.
+Artin\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin}{Emil Artin} (*
-  März 1898 in Wien; † 20.  Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer
+3.~März 1898 in Wien; † 20.~Dezember 1962 in Hamburg) war ein österreichischer
-  Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des 20.
+Mathematiker und einer der führenden Algebraiker des
-  Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass
+20.~Jahrhunderts.}\footnote{Emil Artin $\not =$ Michael Artin} sagt, dass
 Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern.
 
 \begin{satz}[Satz von Emil Artin]\label{Theorem_von_E_Artin}
@@ -65,13 +65,13 @@ Fixkörper stets Beispiele für Galoiserweiterungen liefern.
 Der Beweis des Satzes von Emil Artin ist nicht trivial.  Wir geben einen Beweis
 im Abschnitt~\vref{ssec:16-3}, müssen als Vorbereitung aber zuerst die lineare
 Unabhängigkeit von Charakteren beweisen.  Wahrscheinlich muss ich auch noch
-erklären, was ein ``Charakter'' eigentlich ist.
+erklären, was ein „Charakter“ eigentlich ist.
 
 
 \subsection{Die lineare Unabhängigkeit von Charakteren}
 
 Um eine gegebene Gruppe $H$ zu verstehen, kann man untersuchen, welche
-Gruppenmorphism der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative
+Gruppenmorphismen der Form $H → L^*$ es gibt, wobei $L^*$ die multiplikative
 Gruppe eines Körpers $L$ sein soll.  Leute, die viel mit Gruppen arbeiten,
 meinen, dass solche Abbildungen die Gruppe charakterisieren.  Ich finde diese
 Wortwahl nicht sehr überzeugend, aber mich fragt ja keiner.
@@ -274,12 +274,12 @@ und folgende Zwischenkörper von $N/ℚ$,
   \begin{tikzcd}[column sep=tiny]
     & & ℚ \ar[dll, hook] \ar[dl, hook] \ar[dr, hook] \ar[drr, hook] \\
     ℚ(a_3) \ar[drr, hook] & ℚ(a_2) \ar[dr, hook] & & ℚ(a_1) \ar[dl, hook]& ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr) \ar[dll, hook]\\
-    & & N
+    & & N.
   \end{tikzcd}
 \]
-Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe
+Diese Behauptung wirft die Frage auf, wieso der Fixkörper der Gruppe $\{\Id,
-$\{\Id, (123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte.  Sie haben
+(123), (132)\}$ gleich $ℚ\bigl(\sqrt3·i\bigr)$ sein sollte.  Sie haben sich
-sich vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl
+vermutlich schon in Beispiel~\ref{bsp:x-2} gefragt, wieso die komplexe Zahl
 $\sqrt3·i$ überhaupt in $N$ liegt.  Dann haben Sie nachgerechnet und konnten
 $\sqrt3·i$ mithilfe der $a_1$, $a_2$ und $a_3$ ausdrücken.  Schauen Sie sich
 diesen Ausdruck einmal ganz scharf an.  Wenn Sie nicht weiterkommen, sprechen