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@ -195,3 +195,17 @@ Legendre-Symbolen
uninspirierend
Zornschen
Bloomington
Helsingfors
Bahnenraum
Stabilisatorgruppen
Zentralisator
Untergruppen
Leonhardus
Eulerus
Diedergruppe
Beaumont-de-Lomagne
Département
Tarn-et-Garonne
Castres
inklusionsumkehrend
indexerhaltend

10
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
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@ -86,3 +86,13 @@
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDas Buch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nennt 196 unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der Mathematik seit Gauß und Euler.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Behauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ungerade.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWas ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QIch hatte oben geschrieben „[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem“.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qfür alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\Q“Restklassengruppen” oder “Gruppenquotienten” kennen wir schon lange.\\E$"}
{"rule":"DE_SUBJECT_VERB_AGREEMENT","sentence":"^\\QEine Restklassengruppe oder Gruppenquotient ist eine Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammen mit einem Gruppenmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist und so, dass folgende universelle Eigenschaft gilt.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Untergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind leicht zu bestimmen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15. April 1707 in Basel; † 7. Septemberjul./ 18. September 1783greg.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Gruppe der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Ecks.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie vollständige Symmetriegruppe des \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Ecks enthält neben Drehungen noch Spiegelungen.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Gruppe der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Ecks.\\E$"}
{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QNach Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (“Satz von Lagrange”) ist die Ordnung von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, also die Größe der von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q erzeugten Untergruppe, ein Teiler von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

4
16.tex
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@ -218,7 +218,7 @@ eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen.
\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4} Für jedes $σ ∈ G$ und
jeden Zwischenkörper $Z$ ist $σ(Z)$ ein Zwischenkörper und es ist
\begin{equation*}
\Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1}
\Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1}.
\end{equation*}
\item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} Für einen Zwischenkörper
@ -227,7 +227,7 @@ eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen.
\begin{equation*}
σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1} = \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)
\end{equation*}
ist. Ist dies der Fall, dann ist
ist. Wenn dies der Fall sein sollte, dann ist
\begin{equation*}
\Gal\bigl(\factor{Z}{K}\bigr) ≅ \factor{\Gal\bigl(\factor{L}{K}\bigr)}{\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)}.
\end{equation*}

135
17.tex
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@ -4,12 +4,12 @@
\chapter{Grundbegriffe}
\label{chap:17}
Ich hatte oben geschrieben ``[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die
Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem''. Also befasst
Ich hatte oben geschrieben „[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die
Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem“. Also befasst
sich der laufende Teil der Vorlesung mit gruppentheoretischen Problemen. Um die
vorgesehene Stoffmenge in diesem verkürzten Semester unterzubringen, werde ich
mich oft kurzfassen und auch einige Beweise weglassen. Ich hoffe, Sie sehen
mir das nach.
mich oft kurzfassen und auch einige Beweise weglassen. Ich hoffe, Sie sehen mir
das nach.
\begin{defn}[Ordnung einer Gruppe]
Es sei $G$ eine Gruppe. Die Anzahl der Elemente von $G$ heißt \emph{Ordnung}
@ -81,9 +81,9 @@ wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
\begin{defn}[(In)effektivität, Treue]
Gegeben sei eine Gruppenwirkung $α : G ⨯ M → M$ wie in
Definition~\ref{defn:gruppenwirkung} Der Kern des Gruppenmorphismus $φ_α$ aus
Beobachtung~\ref{beo:mup} heißt \emph{Ineffektivität} der Gruppenwirkung. Die
Gruppenwirkung heißt \emph{treu}\index{treue Gruppenwirkung} oder
Definition~\ref{defn:gruppenwirkung}. Der Kern des Gruppenmorphismus $φ_α$
aus Beobachtung~\ref{beo:mup} heißt \emph{Ineffektivität} der Gruppenwirkung.
Die Gruppenwirkung heißt \emph{treu}\index{treue Gruppenwirkung} oder
\emph{effektiv}\index{effektive Gruppenwirkung}, wenn der Gruppenmorphismus
$φ$ aus Beobachtung~\ref{beo:mup} injektiv ist.
\end{defn}
@ -112,13 +112,13 @@ wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
Der Einfachheit halber nehmen wir einmal an, dass Funktionen $γ_p$ mit der
gewünschten Eigenschaft existieren -- der Satz von
Picard\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emile_Picard}{Charles
Émile Picard} (* 24. Juli 1856 in Paris; † 11. Dezember 1941 ebenda) war
ein französischer
Émile Picard} (* 24.~Juli 1856 in Paris; † 11.~Dezember 1941 ebenda) war ein
französischer
Mathematiker.}-Lindelöf\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Leonard_Lindelöf}{Ernst
Leonard Lindelöf} (* 7. März 1870 in Helsingfors (Helsinki),
Großfürstentum Finnland; † 4. Juni 1946 in Helsinki) war ein finnischer
Mathematiker.} sagt ihnen unter anderem, dass die $γ_p$ dann auch eindeutig
sind. Dann erhalten wir durch die Vorschrift
Leonard Lindelöf} (* 7.~März 1870 in Helsingfors (Helsinki), Großfürstentum
Finnland; † 4.~Juni 1946 in Helsinki) war ein finnischer Mathematiker.} sagt
ihnen unter anderem, dass die $γ_p$ dann auch eindeutig sind. Dann erhalten
wir durch die Vorschrift
\[
γ : ℝ ⨯ ℝ² → ℝ², \quad (t, p) ↦ γ_p(t)
\]
@ -131,14 +131,14 @@ wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
Gruppenwirkungen sind fundamental und treten in jedem Teilbereich der Mathematik
prominent auf. Deshalb gibt es auch unendliche viele Definitionen und
Begriffsbildungen rund um dieses Konzept. Ich beschränke mich hier auf die
Allerwesentlichsten.
Wesentlichsten.
\begin{defn}[Bahn und Fixpunkt]
Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.
Weiter sei ein Element $m ∈ M$ gegeben. Die Menge
$G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird \emph{Bahn}\index{Bahn} oder
\emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$ genannt. Falls $G·m = \{m\}$ ist,
dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt} der Gruppenwirkung.
Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Weiter
sei ein Element $m ∈ M$ gegeben. Die Menge $G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird
\emph{Bahn}\index{Bahn} oder \emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$
genannt. Falls $G·m = \{m\}$ ist, dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt}
der Gruppenwirkung.
\end{defn}
\begin{bsp}
@ -152,10 +152,10 @@ Allerwesentlichsten.
folgenden elementaren Aussagen: gegeben zwei Punkte $m_1, m_2∈ M$, dann sind
die Bahnen $G·m_1$ und $G·m_2$ entweder gleich oder disjunkt. Folgern Sie,
dass $M$ ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, und das die Relation
``hat dieselbe Bahn wie'' eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist. Die Menge der
„hat dieselbe Bahn wie“ eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist. Die Menge der
Bahnen (= der Quotient unter dieser Äquivalenzrelation) wird als
\emph{Bahnenraum}\index{Bahnenraum} bezeichnet. Wenn die Gruppenwirkung klar,
wird der Bahnenraum oft mit $M/G$ bezeichnet.
\emph{Bahnenraum}\index{Bahnenraum} bezeichnet. Wenn die Gruppenwirkung klar
ist, wird der Bahnenraum oft mit $M/G$ bezeichnet.
\end{beobachtung}
\begin{defn}[Transitive Wirkung]
@ -182,9 +182,14 @@ ein Maß dafür, wie sehr ein Punkt davon entfernt ist, ein Fixpunkt zu sein.
Statt nur einzelne Punkte zu betrachten, definiere ich die Isotropiegruppe
gleich für Untermengen statt für Punkte.
\begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius}
\begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius}%
Es sei $α : G⨯M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Weiter
sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge.
sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge. Gegeben ein Element $g \in G$, so schreiben wir
kurz
\[
g·N := \{ g·n \::\: n \in N \}.
\]
\begin{itemize}
\item Die Untergruppe
\[
@ -194,15 +199,16 @@ gleich für Untermengen statt für Punkte.
\item Die Untergruppe
\[
\Stab(N) := \{ g ∈ G \::\: \forall n ∈ N: g·n ∈ N \} ⊆ G
\Stab(N) := \{ g ∈ G \::\: g·N = N \} ⊆ G
\]
wird als \emph{Stabilisator}\index{Stabilisator} der Menge $N$ bezeichnet.
\end{itemize}
\end{defn}
\begin{notation}\label{not:17.1.5}
\begin{notation}\label{not:17.1.5}%
Im Fall, dass die Menge $N$ aus Definition~\ref{def:ius} nur aus einem Element
besteht, $N = \{m\}$, schreibt man statt $\Iso(\{m\})$ häufig kurz $\Iso(m)$.
besteht, $N = \{m\}$, gilt $\Stab(N) = \Iso(N)$. In diesem Fall schreibt man
statt $\Iso(\{m\})$ häufig kurz $\Iso(m)$.
\end{notation}
\begin{bemerkung}
@ -213,8 +219,8 @@ gleich für Untermengen statt für Punkte.
\end{bemerkung}
\begin{bemerkung}
In der älteren deutschen Literatur findet man statt ``Isotropiegruppe'' oft
auch das Wort ``Standgruppe'', was heute als anzüglich empfunden wird.
In der älteren deutschen Literatur findet man statt „Isotropiegruppe“ oft auch
das Wort „Standgruppe“, was heute als anzüglich empfunden wird.
\end{bemerkung}
\begin{bsp}
@ -243,7 +249,7 @@ Ich nenne drei besonders relevante Beispiele.
\]
zwei treue Wirkungen von $G$ auf sich selbst definiert, die
\emph{Linksmultiplikation}\index{Linksmultiplikation} und
\emph{Rechtsmultiplikation}\index{Rechtsmultiplikation} genannt werden.
\emph{Rechts\-multiplikation}\index{Rechtsmultiplikation} genannt werden.
\end{bsp}
\begin{frage}
@ -312,7 +318,7 @@ der Untergruppen. Die folgende Definition macht das präzise.
\begin{achtung}
In Definition~\ref{defn:normalisator} wirkt die Gruppe $G$ auf die Menge
\[
M := \bigl\{ \text{Untergruppen von } G \bigr\}
M := \bigl\{ \text{Untergruppen von } G \bigr\}.
\]
Die Untergruppe $U$ ist hier ein \emph{Element} der Menge $M$. Also ist
$\Iso(U)$ gemäß Notation~\ref{not:17.1.5} zu verstehen!
@ -320,11 +326,11 @@ der Untergruppen. Die folgende Definition macht das präzise.
\begin{bemerkung}
In der Situation aus Definition~\ref{defn:normalisator} ist $N(U)$ stets eine
Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen
$U ⊆ N(U) ⊆ G$. Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale
Untergruppe von $N(U)$ ist. Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe
$N(U)$ die eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist.
Was meine ich mit ``eindeutig, maximal'' eigentlich ganz genau?
Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen $U ⊆ N(U) ⊆
G$. Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale Untergruppe
von $N(U)$ ist. Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe $N(U)$ die
eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist. Was meine ich
mit „eindeutig, maximal“ eigentlich ganz genau?
\end{bemerkung}
@ -362,8 +368,8 @@ Isotropiegruppe. Der folgende Satz quantifiziert das.
Elemente wie $\Iso(m)$.
\end{proof}
Wir hatten in Beobachtung~\vref{obs:Index} schon den Begriff des ``Indexes einer
Untergruppe'' eingeführt. Ich wiederhole das noch einmal.
Wir hatten in Beobachtung~\vref{obs:Index} schon den Begriff des „Indexes einer
Untergruppe“ eingeführt. Ich wiederhole das noch einmal.
\begin{bsp}[Linksmultiplikation und Rechtsnebenklassen]
Sei $G$ eine Gruppe und $U⊂ G$ eine Untergruppe, dann operiert $U$ auf $G$
@ -412,11 +418,11 @@ bezeichnet.
\end{equation*}
Die Anzahl der Elemente in einer Konjugationsklasse ist stets ein Teiler der
Gruppenordnung $|G|$. Wenn jetzt $h_1, …, h_n∈ G$ ein vollständiges
Repräsentantsystem für die Konjugationsklassen in $G$ sind, dann ist $G$ die
Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen in $G$ sind, dann ist $G$ die
disjunkte Vereinigung dieser Konjugationsklassen, und deshalb gilt die
\emph{Klassengleichung}\index{Klassengleichung}
\begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_I}
|G| = \sum_{i=1}^{n} [G : \Zentralisator(h_i)]
|G| = \sum_{i=1}^{n} [G : \Zentralisator(h_i)].
\end{equation}
Manchmal schreibt man die Klassengleichung auch anders. Dazu beobachte man,
dass die Elemente des Zentrums $\Zentralisator(G)$ exakt diejenigen Elemente
@ -429,7 +435,7 @@ bezeichnet.
\section{Restklassengruppen}
``Restklassengruppen'' oder ``Gruppenquotienten'' kennen wir schon lange. Der
„Restklassengruppen“ oder „Gruppenquotienten“ kennen wir schon lange. Der
lieben Vollständigkeit halber zähle ich die wesentlichen Eigenschaften noch
einmal auf. Alle Beweise sollten Ihnen bekannt sein… Wie immer gilt es, eine
elegante universelle Eigenschaft formulieren.
@ -440,8 +446,8 @@ elegante universelle Eigenschaft formulieren.
\emph{Gruppenquotient}\index{Gruppenquotient} ist eine Gruppe $Q$ zusammen mit
einem Gruppenmorphismus $q : G → Q$, sodass $\ker q = N$ ist und so, dass
folgende universelle Eigenschaft gilt. Wenn ein Gruppenmorphismus $α : G → H$
mit $N ⊂ \ker α$ gegeben ist, dann existiert genau ein Gruppenmorphismus
$β : Q → H$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
mit $N ⊂ \ker α$ gegeben ist, dann existiert genau ein Gruppenmorphismus $β :
Q → H$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
\[
\begin{tikzcd}
G \ar[r, "q"] \ar[d, equal] & Q \ar[d, "β"] \\
@ -618,10 +624,9 @@ der Beantwortung der Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks
noch sehr wichtig wird. Die Abbildung, die jeder Zahl $n$ die Anzahl der
primitiven Elemente von $ℤ/(n)$ zuordnet, wird
Eulersche\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler}{Leonhard
Euler} (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15. April 1707 in Basel; † 7.
Septemberjul./ 18. September 1783greg. in Sankt Petersburg) war ein
Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.}
$φ$-Funktion genannt.
Euler} (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15.~April 1707 in Basel; † 7.~September
1783 in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom,
Geograf, Logiker und Ingenieur.} $φ$-Funktion genannt.
\begin{defn}[Eulersche $φ$-Funktion]
Man nennt die Funktion
@ -636,15 +641,15 @@ $φ$-Funktion genannt.
neutralen Element sind alle Elemente primitiv.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Einheitswurzeln]\label{bsp:ehw}
Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln,
\begin{bsp}[Einheitswurzeln]\label{bsp:ehw}%
Die Menge der $n$.ten Einheitswurzeln,
\[
\Bigl\{ e^{\frac{2π i}{n}· a} \::\: 0≤ a< n\Bigr\} ⊂ ℂ,
\]
also die Nullstellen von $x^n-1 ∈ ℂ[n]$ bilden bezüglich der Multiplikation
eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Die primitiven Erzeuger heißen
\emph{primitive Einheitswurzeln}\index{primitive Einheitswurzeln}. Die Gruppe
der $n$-ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären $n$-Ecks.
der $n$.ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären $n$-Ecks.
Die vollständige Symmetriegruppe des $n$-Ecks enthält neben Drehungen noch
Spiegelungen. Man nennt diese Gruppe \emph{Diedergruppe}\index{Diedergruppe}.
Die Diedergruppe $D_n$ hat die Ordnung $2·n$ und ist nicht abelsch.
@ -660,10 +665,10 @@ Der folgende Satz liefert weitere Beispiele.
Vor dem Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}
zuerst zwei kleine Lemmas. Das erste können Sie selbst beweisen.
\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Ordnung_teilen}
\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Ordnung_teilen}%
Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $g,h∈ G$ zwei Elemente, die
kommutieren\footnote{das bedeutet: $g· h= h· g$}. Weiter sei
$\ggT(\ord g, \ord h) = 1$. Dann ist $\ord(g· h) = (\ord g)·(\ord h)$. \qed
kommutieren\footnote{Das bedeutet: $g·h= h·g$.}. Weiter sei $\ggT(\ord g,
\ord h) = 1$. Dann ist $\ord(g· h) = (\ord g)·(\ord h)$. \qed
\end{lemma}
\begin{lemma}\label{Lemma_Ordnung_teilen}
@ -724,10 +729,10 @@ $R^*$ beweisen.
Der kleine Satz von
Fermat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de
Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne,
heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12. Januar 1665 in Castres) war ein
französischer Mathematiker und Jurist.} ist eine zahlentheoretische Aussage,
die sich trivial aus dem Gesagten ergibt. Wir halten die Aussage für spätere
Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, heute
im Département Tarn-et-Garonne; † 12.~Januar 1665 in Castres) war ein
französischer Mathematiker und Jurist.} ist eine zahlentheoretische Aussage, die
sich trivial aus dem Gesagten ergibt. Wir halten die Aussage für spätere
Anwendungen noch einmal fest.
\begin{satz}[Kleiner Satz von Fermat]\label{satz:kleinerFermat}
@ -736,16 +741,16 @@ Anwendungen noch einmal fest.
\end{satz}
\begin{proof}
Falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist, ist die Sache klar. Ansonsten liefert
die Restklasse von $a$ ein nicht-verschwindendes Element
$\overline{a} ∈ ℤ/(p) = 𝔽_p$, also ein Element der multiplikativen Gruppe
$𝔽^*_p$, welche $p-1$ Elemente hat. Nach
Satz~\ref{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} (``Satz von Lagrange'') ist die
Ordnung von $g$, also die Größe der von $g$ erzeugten Untergruppe, ein Teiler
von $|𝔽^*_p| = p-1$. Es gilt also $\overline{a}^{p-1} = 1 ∈ 𝔽^*_p$ oder
äquivalent $a^p \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)$.
die Restklasse von $a$ ein nicht-verschwindendes Element $\overline{a} ∈ ℤ/(p)
= 𝔽_p$, also ein Element der multiplikativen Gruppe $𝔽^*_p$, welche $p-1$
Elemente hat. Nach Satz~\ref{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} („Satz von
Lagrange“) ist die Ordnung von $g$, also die Größe der von $g$ erzeugten
Untergruppe, ein Teiler von $|𝔽^*_p| = p-1$. Es gilt also
$\overline{a}^{p-1} = 1 ∈ 𝔽^*_p$ oder äquivalent $a^p \equiv a
\:\:(\operatorname{mod} p)$.
\end{proof}
\begin{bemerkung}\label{bem:kleinerFermat}
\begin{bemerkung}\label{bem:kleinerFermat}%
Bei Anwendungen von Satz~\ref{satz:kleinerFermat} verwendet man häufig die
äquivalenten Formulierungen $a^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ oder
$p|(a^{p-1}-1)$.

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