Fix problems

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -195,3 +195,17 @@ Legendre-Symbolen
 uninspirierend
 Zornschen
 Bloomington
+Helsingfors
+Bahnenraum
+Stabilisatorgruppen
+Zentralisator
+Untergruppen
+Leonhardus
+Eulerus
+Diedergruppe
+Beaumont-de-Lomagne
+Département
+Tarn-et-Garonne
+Castres
+inklusionsumkehrend
+indexerhaltend

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -86,3 +86,13 @@
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDas Buch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nennt 196 unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der Mathematik seit Gauß und Euler.\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Behauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ungerade.\\E$"}
 {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWas ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QIch hatte oben geschrieben „[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem“.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qfür alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\Q“Restklassengruppen” oder “Gruppenquotienten” kennen wir schon lange.\\E$"}
+{"rule":"DE_SUBJECT_VERB_AGREEMENT","sentence":"^\\QEine Restklassengruppe oder Gruppenquotient ist eine Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zusammen mit einem Gruppenmorphismus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist und so, dass folgende universelle Eigenschaft gilt.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Untergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sind leicht zu bestimmen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15. April 1707 in Basel; † 7. Septemberjul./ 18. September 1783greg.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Gruppe der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Ecks.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie vollständige Symmetriegruppe des \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Ecks enthält neben Drehungen noch Spiegelungen.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Gruppe der \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Ecks.\\E$"}
+{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QNach Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (“Satz von Lagrange”) ist die Ordnung von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, also die Größe der von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q erzeugten Untergruppe, ein Teiler von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

16.tex

@@ -218,7 +218,7 @@ eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen.
   \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_4} Für jedes $σ ∈ G$ und
     jeden Zwischenkörper $Z$ ist $σ(Z)$ ein Zwischenkörper und es ist
     \begin{equation*}
-      \Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1}
+      \Gal\bigl(\factor{L}{σ(Z)}\bigr) = σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1}.
     \end{equation*}
     
   \item\label{Satz_Hauptsatz_Galoistheorie_Aussage_5} Für einen Zwischenkörper
@@ -227,7 +227,7 @@ eigentlich schon im Abschnitt~\ref{sec:gruppen} hätte bringen sollen.
     \begin{equation*}
       σ◦\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)◦σ^{-1} = \Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)
     \end{equation*}
-    ist.  Ist dies der Fall, dann ist
+    ist.  Wenn dies der Fall sein sollte, dann ist
     \begin{equation*}
       \Gal\bigl(\factor{Z}{K}\bigr) ≅ \factor{\Gal\bigl(\factor{L}{K}\bigr)}{\Gal\bigl(\factor{L}{Z}\bigr)}.
     \end{equation*}

17.tex

@@ -4,12 +4,12 @@
 \chapter{Grundbegriffe}
 \label{chap:17}
 
-Ich hatte oben geschrieben ``[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die
+Ich hatte oben geschrieben „[Der Hauptsatz der Galoistheorie] reduziert die
-Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem''.  Also befasst
+Frage nach Zwischenkörpern auf ein gruppentheoretisches Problem“.  Also befasst
 sich der laufende Teil der Vorlesung mit gruppentheoretischen Problemen.  Um die
 vorgesehene Stoffmenge in diesem verkürzten Semester unterzubringen, werde ich
-mich oft kurzfassen und auch einige Beweise weglassen.  Ich hoffe, Sie sehen
+mich oft kurzfassen und auch einige Beweise weglassen.  Ich hoffe, Sie sehen mir
-mir das nach.
+das nach.
 
 \begin{defn}[Ordnung einer Gruppe]
   Es sei $G$ eine Gruppe.  Die Anzahl der Elemente von $G$ heißt \emph{Ordnung}
@@ -81,9 +81,9 @@ wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
 
 \begin{defn}[(In)effektivität, Treue]
   Gegeben sei eine Gruppenwirkung $α : G ⨯ M → M$ wie in
-  Definition~\ref{defn:gruppenwirkung} Der Kern des Gruppenmorphismus $φ_α$ aus
+  Definition~\ref{defn:gruppenwirkung}.  Der Kern des Gruppenmorphismus $φ_α$
-  Beobachtung~\ref{beo:mup} heißt \emph{Ineffektivität} der Gruppenwirkung.  Die
+  aus Beobachtung~\ref{beo:mup} heißt \emph{Ineffektivität} der Gruppenwirkung.
-  Gruppenwirkung heißt \emph{treu}\index{treue Gruppenwirkung} oder
+  Die Gruppenwirkung heißt \emph{treu}\index{treue Gruppenwirkung} oder
   \emph{effektiv}\index{effektive Gruppenwirkung}, wenn der Gruppenmorphismus
   $φ$ aus Beobachtung~\ref{beo:mup} injektiv ist.
 \end{defn}
@@ -112,13 +112,13 @@ wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
   Der Einfachheit halber nehmen wir einmal an, dass Funktionen $γ_p$ mit der
   gewünschten Eigenschaft existieren -- der Satz von
   Picard\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Emile_Picard}{Charles
-      Émile Picard} (* 24.  Juli 1856 in Paris; † 11.  Dezember 1941 ebenda) war
+  Émile Picard} (* 24.~Juli 1856 in Paris; † 11.~Dezember 1941 ebenda) war ein
-    ein französischer
+  französischer
-    Mathematiker.}-Lindelöf\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Leonard_Lindelöf}{Ernst
+  Mathematiker.}-Lindelöf\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ernst_Leonard_Lindelöf}{Ernst
-      Leonard Lindelöf} (* 7.  März 1870 in Helsingfors (Helsinki),
+  Leonard Lindelöf} (* 7.~März 1870 in Helsingfors (Helsinki), Großfürstentum
-    Großfürstentum Finnland; † 4.  Juni 1946 in Helsinki) war ein finnischer
+  Finnland; † 4.~Juni 1946 in Helsinki) war ein finnischer Mathematiker.} sagt
-    Mathematiker.} sagt ihnen unter anderem, dass die $γ_p$ dann auch eindeutig
+  ihnen unter anderem, dass die $γ_p$ dann auch eindeutig sind.  Dann erhalten
-  sind.  Dann erhalten wir durch die Vorschrift
+  wir durch die Vorschrift
   \[
     γ : ℝ ⨯ ℝ² → ℝ², \quad (t, p) ↦ γ_p(t)
   \]
@@ -131,14 +131,14 @@ wir in der einen oder anderen Form im Laufe der Vorlesung auch schon verwendet.
 Gruppenwirkungen sind fundamental und treten in jedem Teilbereich der Mathematik
 prominent auf.  Deshalb gibt es auch unendliche viele Definitionen und
 Begriffsbildungen rund um dieses Konzept.  Ich beschränke mich hier auf die
-Allerwesentlichsten.
+Wesentlichsten.
 
 \begin{defn}[Bahn und Fixpunkt]
-  Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.
+  Es sei $α : G⨯ M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$. Weiter
-  Weiter sei ein Element $m ∈ M$ gegeben.  Die Menge
+  sei ein Element $m ∈ M$ gegeben.  Die Menge $G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird
-  $G· m := \{g· m\::\: g∈ G\}$ wird \emph{Bahn}\index{Bahn} oder
+  \emph{Bahn}\index{Bahn} oder \emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$
-  \emph{Orbit}\index{Orbit} von $G$ durch $m$ genannt.  Falls $G·m = \{m\}$ ist,
+  genannt.  Falls $G·m = \{m\}$ ist, dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt}
-  dann nennt man $m$ einen \emph{Fixpunkt} der Gruppenwirkung.
+  der Gruppenwirkung.
 \end{defn}
 
 \begin{bsp}
@@ -152,10 +152,10 @@ Allerwesentlichsten.
   folgenden elementaren Aussagen: gegeben zwei Punkte $m_1, m_2∈ M$, dann sind
   die Bahnen $G·m_1$ und $G·m_2$ entweder gleich oder disjunkt.  Folgern Sie,
   dass $M$ ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, und das die Relation
-  ``hat dieselbe Bahn wie'' eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist.  Die Menge der
+  „hat dieselbe Bahn wie“ eine Äquivalenzrelation auf $M$ ist.  Die Menge der
   Bahnen (= der Quotient unter dieser Äquivalenzrelation) wird als
-  \emph{Bahnenraum}\index{Bahnenraum} bezeichnet.  Wenn die Gruppenwirkung klar,
+  \emph{Bahnenraum}\index{Bahnenraum} bezeichnet.  Wenn die Gruppenwirkung klar
-  wird der Bahnenraum oft mit $M/G$ bezeichnet.
+  ist, wird der Bahnenraum oft mit $M/G$ bezeichnet.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{defn}[Transitive Wirkung]
@@ -182,9 +182,14 @@ ein Maß dafür, wie sehr ein Punkt davon entfernt ist, ein Fixpunkt zu sein.
 Statt nur einzelne Punkte zu betrachten, definiere ich die Isotropiegruppe
 gleich für Untermengen statt für Punkte.
 
-\begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius}
+\begin{defn}[Isotropie und Stabilisator]\label{def:ius}%
   Es sei $α : G⨯M → M$ die Wirkung einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$.  Weiter
-  sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge.
+  sei $N ⊆ M$ eine Teilmenge.  Gegeben ein Element $g \in G$, so schreiben wir
+  kurz
+  \[
+    g·N := \{ g·n \::\: n \in N \}.
+  \]
+
   \begin{itemize}
   \item Die Untergruppe
     \[
@@ -194,15 +199,16 @@ gleich für Untermengen statt für Punkte.
 
   \item Die Untergruppe
     \[
-      \Stab(N) := \{ g ∈ G \::\: \forall n ∈ N: g·n ∈ N \} ⊆ G
+      \Stab(N) := \{ g ∈ G \::\: g·N = N \} ⊆ G
     \]
     wird als \emph{Stabilisator}\index{Stabilisator} der Menge $N$ bezeichnet.
   \end{itemize}
 \end{defn}
 
-\begin{notation}\label{not:17.1.5}
+\begin{notation}\label{not:17.1.5}%
   Im Fall, dass die Menge $N$ aus Definition~\ref{def:ius} nur aus einem Element
-  besteht, $N = \{m\}$, schreibt man statt $\Iso(\{m\})$ häufig kurz $\Iso(m)$.
+  besteht, $N = \{m\}$, gilt $\Stab(N) = \Iso(N)$.  In diesem Fall schreibt man
+  statt $\Iso(\{m\})$ häufig kurz $\Iso(m)$.
 \end{notation}
 
 \begin{bemerkung}
@@ -213,8 +219,8 @@ gleich für Untermengen statt für Punkte.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
-  In der älteren deutschen Literatur findet man statt ``Isotropiegruppe'' oft
+  In der älteren deutschen Literatur findet man statt „Isotropiegruppe“ oft auch
-  auch das Wort ``Standgruppe'', was heute als anzüglich empfunden wird.
+  das Wort „Standgruppe“, was heute als anzüglich empfunden wird.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}
@@ -243,7 +249,7 @@ Ich nenne drei besonders relevante Beispiele.
   \]
   zwei treue Wirkungen von $G$ auf sich selbst definiert, die
   \emph{Linksmultiplikation}\index{Linksmultiplikation} und
-  \emph{Rechtsmultiplikation}\index{Rechtsmultiplikation} genannt werden.
+  \emph{Rechts\-multiplikation}\index{Rechtsmultiplikation} genannt werden.
 \end{bsp}
 
 \begin{frage}
@@ -312,7 +318,7 @@ der Untergruppen.  Die folgende Definition macht das präzise.
 \begin{achtung}
   In Definition~\ref{defn:normalisator} wirkt die Gruppe $G$ auf die Menge
   \[
-    M := \bigl\{ \text{Untergruppen von } G \bigr\}
+    M := \bigl\{ \text{Untergruppen von } G \bigr\}.
   \]
   Die Untergruppe $U$ ist hier ein \emph{Element} der Menge $M$.  Also ist
   $\Iso(U)$ gemäß Notation~\ref{not:17.1.5} zu verstehen!
@@ -320,11 +326,11 @@ der Untergruppen.  Die folgende Definition macht das präzise.
 
 \begin{bemerkung}
   In der Situation aus Definition~\ref{defn:normalisator} ist $N(U)$ stets eine
-  Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen
+  Obergruppe von $U$; wir erhalten also eine Kette von Untergruppen $U ⊆ N(U) ⊆
-  $U ⊆ N(U) ⊆ G$.  Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale
+  G$.  Überlegen Sie sich, dass die Gruppe $U$ stets eine normale Untergruppe
-  Untergruppe von $N(U)$ ist.  Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe
+  von $N(U)$ ist.  Überlegen Sie sich auch, dass die Untergruppe $N(U)$ die
-  $N(U)$ die eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist.
+  eindeutige, maximale Zwischengruppe mit dieser Eigenschaft ist. Was meine ich
-  Was meine ich mit ``eindeutig, maximal'' eigentlich ganz genau?
+  mit „eindeutig, maximal“ eigentlich ganz genau?
 \end{bemerkung}
 
 
@@ -362,8 +368,8 @@ Isotropiegruppe.  Der folgende Satz quantifiziert das.
   Elemente wie $\Iso(m)$.
 \end{proof}
 
-Wir hatten in Beobachtung~\vref{obs:Index} schon den Begriff des ``Indexes einer
+Wir hatten in Beobachtung~\vref{obs:Index} schon den Begriff des „Indexes einer
-Untergruppe'' eingeführt.  Ich wiederhole das noch einmal.
+Untergruppe“ eingeführt.  Ich wiederhole das noch einmal.
 
 \begin{bsp}[Linksmultiplikation und Rechtsnebenklassen]
   Sei $G$ eine Gruppe und $U⊂ G$ eine Untergruppe, dann operiert $U$ auf $G$
@@ -412,11 +418,11 @@ bezeichnet.
   \end{equation*}
   Die Anzahl der Elemente in einer Konjugationsklasse ist stets ein Teiler der
   Gruppenordnung $|G|$.  Wenn jetzt $h_1, …, h_n∈ G$ ein vollständiges
-  Repräsentantsystem für die Konjugationsklassen in $G$ sind, dann ist $G$ die
+  Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen in $G$ sind, dann ist $G$ die
   disjunkte Vereinigung dieser Konjugationsklassen, und deshalb gilt die
   \emph{Klassengleichung}\index{Klassengleichung}
   \begin{equation}\label{eq_Klassengleichung_I}
-    |G| = \sum_{i=1}^{n} [G : \Zentralisator(h_i)]
+    |G| = \sum_{i=1}^{n} [G : \Zentralisator(h_i)].
   \end{equation}
   Manchmal schreibt man die Klassengleichung auch anders.  Dazu beobachte man,
   dass die Elemente des Zentrums $\Zentralisator(G)$ exakt diejenigen Elemente
@@ -429,7 +435,7 @@ bezeichnet.
 
 \section{Restklassengruppen}
 
-``Restklassengruppen'' oder ``Gruppenquotienten'' kennen wir schon lange.  Der
+„Restklassengruppen“ oder „Gruppenquotienten“ kennen wir schon lange.  Der
 lieben Vollständigkeit halber zähle ich die wesentlichen Eigenschaften noch
 einmal auf.  Alle Beweise sollten Ihnen bekannt sein… Wie immer gilt es, eine
 elegante universelle Eigenschaft formulieren.
@@ -440,8 +446,8 @@ elegante universelle Eigenschaft formulieren.
   \emph{Gruppenquotient}\index{Gruppenquotient} ist eine Gruppe $Q$ zusammen mit
   einem Gruppenmorphismus $q : G → Q$, sodass $\ker q = N$ ist und so, dass
   folgende universelle Eigenschaft gilt.  Wenn ein Gruppenmorphismus $α : G → H$
-  mit $N ⊂ \ker α$ gegeben ist, dann existiert genau ein Gruppenmorphismus
+  mit $N ⊂ \ker α$ gegeben ist, dann existiert genau ein Gruppenmorphismus $β :
-  $β : Q → H$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
+  Q → H$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
   \[
     \begin{tikzcd}
       G \ar[r, "q"] \ar[d, equal] & Q \ar[d, "β"] \\
@@ -618,10 +624,9 @@ der Beantwortung der Frage nach der Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks
 noch sehr wichtig wird.  Die Abbildung, die jeder Zahl $n$ die Anzahl der
 primitiven Elemente von $ℤ/(n)$ zuordnet, wird
 Eulersche\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler}{Leonhard
-    Euler} (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15.  April 1707 in Basel; † 7.
+Euler} (lateinisch Leonhardus Eulerus; * 15.~April 1707 in Basel; † 7.~September
-  Septemberjul./ 18.  September 1783greg.  in Sankt Petersburg) war ein
+1783 in Sankt Petersburg) war ein Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom,
-  Schweizer Mathematiker, Physiker, Astronom, Geograph, Logiker und Ingenieur.}
+Geograf, Logiker und Ingenieur.} $φ$-Funktion genannt.
-$φ$-Funktion genannt.
 
 \begin{defn}[Eulersche $φ$-Funktion]
   Man nennt die Funktion
@@ -636,18 +641,18 @@ $φ$-Funktion genannt.
   neutralen Element sind alle Elemente primitiv.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Einheitswurzeln]\label{bsp:ehw}
+\begin{bsp}[Einheitswurzeln]\label{bsp:ehw}%
-  Die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln,
+  Die Menge der $n$.ten Einheitswurzeln,
   \[
     \Bigl\{ e^{\frac{2π i}{n}· a} \::\: 0≤ a< n\Bigr\} ⊂ ℂ,
   \]
   also die Nullstellen von $x^n-1 ∈ ℂ[n]$ bilden bezüglich der Multiplikation
   eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$.  Die primitiven Erzeuger heißen
   \emph{primitive Einheitswurzeln}\index{primitive Einheitswurzeln}.  Die Gruppe
-  der $n$-ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären $n$-Ecks.
+  der $n$.ten Einheitswurzeln ist Gruppe der Drehungen des regulären $n$-Ecks.
   Die vollständige Symmetriegruppe des $n$-Ecks enthält neben Drehungen noch
   Spiegelungen.  Man nennt diese Gruppe \emph{Diedergruppe}\index{Diedergruppe}.
-  Die Diedergruppe $D_n$ hat die Ordnung $2· n$ und ist nicht abelsch.
+  Die Diedergruppe $D_n$ hat die Ordnung $2·n$ und ist nicht abelsch.
 \end{bsp}
 
 Der folgende Satz liefert weitere Beispiele.
@@ -660,10 +665,10 @@ Der folgende Satz liefert weitere Beispiele.
 Vor dem Beweis von Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}
 zuerst zwei kleine Lemmas.  Das erste können Sie selbst beweisen.
 
-\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Ordnung_teilen}
+\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Ordnung_teilen}%
   Es sei $G$ eine Gruppe und es seien $g,h∈ G$ zwei Elemente, die
-  kommutieren\footnote{das bedeutet: $g· h= h· g$}.  Weiter sei
+  kommutieren\footnote{Das bedeutet: $g·h= h·g$.}.  Weiter sei $\ggT(\ord g,
-  $\ggT(\ord g, \ord h) = 1$.  Dann ist $\ord(g· h) = (\ord g)·(\ord h)$.  \qed
+  \ord h) = 1$.  Dann ist $\ord(g· h) = (\ord g)·(\ord h)$.  \qed
 \end{lemma}
 
 \begin{lemma}\label{Lemma_Ordnung_teilen}
@@ -724,10 +729,10 @@ $R^*$ beweisen.
 
 Der kleine Satz von
 Fermat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de
-    Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne,
+Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, heute
-  heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12.  Januar 1665 in Castres) war ein
+im Département Tarn-et-Garonne; † 12.~Januar 1665 in Castres) war ein
-  französischer Mathematiker und Jurist.} ist eine zahlentheoretische Aussage,
+französischer Mathematiker und Jurist.} ist eine zahlentheoretische Aussage, die
-die sich trivial aus dem Gesagten ergibt.  Wir halten die Aussage für spätere
+sich trivial aus dem Gesagten ergibt.  Wir halten die Aussage für spätere
 Anwendungen noch einmal fest.
 
 \begin{satz}[Kleiner Satz von Fermat]\label{satz:kleinerFermat}
@@ -736,16 +741,16 @@ Anwendungen noch einmal fest.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist, ist die Sache klar.  Ansonsten liefert
-  die Restklasse von $a$ ein nicht-verschwindendes Element
+  die Restklasse von $a$ ein nicht-verschwindendes Element $\overline{a} ∈ ℤ/(p)
-  $\overline{a} ∈ ℤ/(p) = 𝔽_p$, also ein Element der multiplikativen Gruppe
+  = 𝔽_p$, also ein Element der multiplikativen Gruppe $𝔽^*_p$, welche $p-1$
-  $𝔽^*_p$, welche $p-1$ Elemente hat.  Nach
+  Elemente hat.  Nach Satz~\ref{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} („Satz von
-  Satz~\ref{Satz_Kleiner_Fermatscher_Satz} (``Satz von Lagrange'') ist die
+  Lagrange“) ist die Ordnung von $g$, also die Größe der von $g$ erzeugten
-  Ordnung von $g$, also die Größe der von $g$ erzeugten Untergruppe, ein Teiler
+  Untergruppe, ein Teiler von $|𝔽^*_p| = p-1$.  Es gilt also
-  von $|𝔽^*_p| = p-1$.  Es gilt also $\overline{a}^{p-1} = 1 ∈ 𝔽^*_p$ oder
+  $\overline{a}^{p-1} = 1 ∈ 𝔽^*_p$ oder äquivalent $a^p \equiv a
-  äquivalent $a^p \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)$.
+  \:\:(\operatorname{mod} p)$.
 \end{proof}
 
-\begin{bemerkung}\label{bem:kleinerFermat}
+\begin{bemerkung}\label{bem:kleinerFermat}%
   Bei Anwendungen von Satz~\ref{satz:kleinerFermat} verwendet man häufig die
   äquivalenten Formulierungen $a^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ oder
   $p|(a^{p-1}-1)$.

deploy.sh

@@ -0,0 +1,5 @@
+#!/bin/bash
+set -e
+
+latexmk --pdf AlgebraZahlentheorie.tex
+cp AlgebraZahlentheorie.pdf public/AlgebraZahlentheorie.pdf