From 2ad043e93c133af392d7f6444c6791d8592a5ce9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Stefan Kebekus <stefan.kebekus@gmail.com>
Date: Fri, 10 Nov 2023 10:58:03 +0100
Subject: [PATCH] Expand Example

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@@ -237,25 +237,42 @@ folgenden Weisen.
 
 \begin{bsp}\label{bsp:7.2.7}
   Es sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl und es sei
-  \begin{equation}\label{eq:Rechnungen_S68}
+  \[
     f = x^{p-1}+x^{p-2}+ ⋯ + x+1 ∈ ℤ[x].
-  \end{equation}
-  Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden.  Aber es gilt:
+  \]
+  Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden.  Wir wollen
+  den Substitutionsmorphismus $\varphi : \bZ[x] \to \bZ[x]$, $x \mapsto x+1$
+  anwenden. Es ist 
+  \[
+    \varphi(f) = (x+1)^{p-1}+(x+1)^{p-2}+ ⋯ + (x+1)+1 ∈ ℤ[x],
+  \]
+  aber das ist schwer auszurechnen.  Deshalb ein Trick: man beobachte, dass sich
+  das Polynom $f$ durch Multiplikation mit $x-1$ mächtig vereinfacht,
   \begin{equation*}
-    (x-1)· f=x^p-1.
+    (x-1)·f = x^p-1.
   \end{equation*}
-  Wenn wir den Substitutionsmorphismus $x→ x+1$ anwenden, erhalten wir
-  \begin{equation*}
-    \varphi((x-1)· f) = x· \varphi(f) = (x+1)^p-1 = \sum_{ν = 0}^{p}\binom{p}{ν}x^ν -1.
-  \end{equation*}
-  Also ist
-  \begin{equation*}
-    \varphi(f) = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}.
-  \end{equation*}
-  Das ist ein Eisenstein-Polynom, denn $p|\binom{p}{ν}$ für alle $ν$ mit
-  $1 ≤ ν < p$.  Zusätzlich gilt $p² \nmid \binom{p}{1}=p$ und
-  $\binom{p}{p}=1$.  Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $ℚ[x]$ jeweils
-  irreduzibel.
+  Dann ist auf der einen Seite
+  \begin{align*}
+    \varphi( (x-1)·f ) & = \varphi(x-1)·\varphi(f) = x·\varphi(f)
+    \intertext{und auf der anderen Seite ist}
+    \varphi( (x-1)·f ) & = \varphi( x^p-1 ) = (x+1)^p-1 \\
+      & = \sum_{ν = 0}^{p}\binom{p}{ν}x^ν -1 = \sum_{ν = 1}^{p}\binom{p}{ν}x^ν.
+    \intertext{Ein Vergleich der beiden Seiten zeigt dann}
+    \varphi(f) & = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}.
+  \end{align*}
+  Das ist ein Eisenstein-Polynom in $\bZ[x]$, denn es gilt Folgendes.
+  \begin{itemize}
+  \item Für alle Zahlen $1 ≤ ν < p$ gilt $p|\binom{p}{ν}$.
+    
+  \item Es ist $\binom{p}{1}=p$, also $p² \nmid \binom{p}{1}$.
+
+  \item Es ist $\binom{p}{p}=1$, sodass der ggT der Koeffizienten ganz sicher
+  gleich eins ist.
+  \end{itemize}
+  Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $\bZ[x]$ jeweils irreduzibel. Nach
+  Satz~\ref{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus} („Irreduzibilitätskriterium von
+  Gauß“) sind $\varphi(f)$ und $f$ dann auch im Polynomring  
+  $ℚ[x]$ irreduzibel.
 \end{bsp}