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\selectlanguage{german}
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\chapter{Der Satz vom primitiven Element}
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\label{chap:21}
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Für dieses Kapitel haben wir Ihnen Beispiele auf unserem
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\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server}
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bereitgestellt.
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\bigskip
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Ich erinnere noch einmal an Definition~\ref{def:einfach} vom Anfang der
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Vorlesung: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt einfach, wenn es ein Element
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$a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist. Das sind die Körpererweiterungen, die uns
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am wenigsten Angst machen --- dachten wir! Als erste Anwendung der
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Galoistheorie möchte ich zeigen, dass viele Körpererweiterungen vor denen wir
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schon immer Angst hatten, in Wirklichkeit einfach sind. Vielleicht haben wir
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uns nicht genug gefürchtet?
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\begin{satz}\label{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}
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Eine Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann einfach und algebraisch, wenn es
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nur endlich viele Zwischenkörper gibt.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Die Implikation ``einfach und algebraisch $⇒$ nur endliche viele
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Zwischenkörper'' beweisen wir im \video{22-3}. Die Umkehrrichtung wird im
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\video{22-4} gezeigt.
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\end{proof}
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\begin{satz}[Satz vom primitiven Element]\label{Satz_vom_primitiven_Element}
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Jede endliche, separable Körpererweiterung ist einfach.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Es sei $L/K$ eine endliche, separable Körpererweiterung und $N ⊂ \overline{K}$
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die normale Hülle von $L$. Dann ist $N/K$ eine Galoiserweiterung und die
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Zwischenkörper stehen in Bijektion mit den Untergruppen der Galoisgruppe
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$\Gal(N/K)$. Insbesondere hat $L/K$ als Zwischenerweiterung von $N/K$ nur
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endlich viele Zwischenkörper. Die Behauptung folgt dann aus
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Satz~\vref{Satz_Aequivalenz_einfach_algebraisch_und_endl_ZK}.
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\end{proof}
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\begin{kor}\label{Korollar_Beweis_Fehlt_1}
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Jeder endliche Oberkörper von $ℚ$ ist isomorph zu einem Körper der Form
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$ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Es sei $L/ℚ$ endlich. Nach Satz~\ref{Satz_vom_primitiven_Element} ist die
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Erweiterung $L/ℚ$ einfach, also gibt es ein primitives Element $a ∈ L$ und
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$L = ℚ(a)$ ist isomorph zu $ℚ[x]/(f)$, wobei $f ∈ ℚ[x]$ das Minimalpolynom von
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$a$ ist.
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\end{proof}
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Endliche Oberkörper von $ℚ$ sind in der Zahlentheorie natürlich schrecklich
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wichtig und tragen daher einen eigenen Namen.
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\begin{defn}[Zahlkörper]
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Endliche Oberkörper von $ℚ$ werden als \emph{algebraische
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Zahlkörper}\index{algebraischer Zahlkörper}\index{Zahlkörper} bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Der $ℚ(i,\sqrt2)$ ist ein algebraischer Zahlkörper. Die Erweiterung
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$ℚ(i,\sqrt2)/ℚ$ ist einfach und hat $i+\sqrt2$ als ein primitives Element.
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\end{bsp}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
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