267 lines
11 KiB
TeX
267 lines
11 KiB
TeX
|
% spell checker language
|
|||
|
\selectlanguage{german}
|
|||
|
|
|||
|
\chapter{Irreduzibilitätskriterien}
|
|||
|
|
|||
|
\sideremark{Vorlesung 8}Nach allen Vorbereitungen wollen wir jetzt die Frage
|
|||
|
angehen, wie man entscheidet, ob ein gegebenes Polynom $f ∈ K[x]$ irreduzibel
|
|||
|
ist.
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\section{Das Irreduzibilitätskriterium von Gauß}
|
|||
|
|
|||
|
Für Polynome $f ∈ ℚ[x]$ werden wir die Frage nach der Irreduzibilität
|
|||
|
vollständig beantworten. Wir erinnern uns daran, wie die Frage nach der
|
|||
|
Konstruierbarkeit der ``Verdoppelung des Würfels'' mit der Frage zusammenhing,
|
|||
|
ob das Polynom $x³-2 ∈ ℚ[x]$ irreduzibel ist.
|
|||
|
|
|||
|
\begin{beobachtung}
|
|||
|
Im Ring $ℤ[x]$ sind Teilbarkeitsfragen oft durch Teilbarkeitsbetrachtungen der
|
|||
|
Koeffizienten entscheidbar. Das geht zum Beispiel so: seien
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
f = r_0 + r_1·x + ⋯ + r_n·x^n
|
|||
|
\quad\text{und}\quad
|
|||
|
g = s_0 + s_1·x + ⋯ + s_m·x^m
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
Polynome aus $ℤ[x]$. Dann folgt aus $g|f$ zumindest, dass $s_0|r_0$ und
|
|||
|
$s_m|r_n$ gilt. Wenn $r_0$ und $r_n$ wenige Teiler haben, grenzt dies die
|
|||
|
Möglichkeiten für potenzielle Teilerpolynome $g$ schon einmal ein.
|
|||
|
\end{beobachtung}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{bsp}
|
|||
|
Im Spezialfall, wo $f$ ein kubisches Polynom ist, und $g = s_0 + s_1·x$ ein
|
|||
|
Linearfaktor sein soll, dann muss $s_0|r_0$ und $s_1|r_3$ gelten. Sei jetzt
|
|||
|
noch spezieller $f = x³-2 ∈ ℤ[x]$. Dann müsste jeder Linearfaktor aussehen
|
|||
|
wie $±x±1$ oder $±x±2$. Tatsächlich ist aber keines dieser Polynome ein
|
|||
|
Teiler von $f$, weil $±1$ oder $±2$ keine Nullstellen von $f$ sind. Also ist
|
|||
|
$f = x³-2$ irreduzibel in $ℤ[x]$.
|
|||
|
\end{bsp}
|
|||
|
|
|||
|
Das folgende Irreduzibilitätskriterium von Gauß\index{Irreduzibilitätskriterium
|
|||
|
von Gauß} zeigt, dass $x³-2$ dann auch irreduzibel in $ℚ[x]$ ist!
|
|||
|
|
|||
|
\begin{satz}[Irreduzibilitätskriterium von Gauß]\label{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}
|
|||
|
Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper und es
|
|||
|
sei ein Polynom $f ∈ R[x]$ von positivem Grad gegeben. Wenn $f$ in $R[x]$
|
|||
|
irreduzibel ist, dann ist $f$ auch in $K[x]$ irreduzibel.
|
|||
|
\end{satz}
|
|||
|
|
|||
|
Als Vorbereitung zum Beweis zeigen wir erst einmal das folgende Lemma. Das
|
|||
|
Lemma zeigt auch, wie natürlich das Kriterium von Gauß ist.
|
|||
|
|
|||
|
\begin{lemma}\label{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}
|
|||
|
Sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $K = Q(R)$ der Quotientenkörper und
|
|||
|
$g ∈ K[x] ∖ \{0\}$ sei ein Polynom. Dann existiert ein $a∈ K∖ \{0\}$, sodass
|
|||
|
$a· g$ in $R[x]$ ist und sodass der $\ggT$ der Koeffizienten von $a· g$ gleich
|
|||
|
$1$ ist.
|
|||
|
\end{lemma}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{bemerkung}
|
|||
|
Wir hatten nur den $\ggT$ für zwei Elemente definiert, die Definition geht
|
|||
|
genau so für mehr als zwei Elemente. Für Polynome
|
|||
|
$a_0 + a_1·x + ⋯ + a_m·x^m ∈ R[x]$ ist die Bedingung $\ggT(a_0, …, a_m) = 1$
|
|||
|
notwendig, aber nicht hinreichend für die Irreduzibilität.
|
|||
|
\end{bemerkung}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{proof}[Beweis von Lemma~\ref{Lemma_zu_Irreduzibilitaetssatz}]
|
|||
|
\video{8-1}
|
|||
|
\end{proof}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:Irreduzibilitaetssatz_Gaus}]
|
|||
|
\video{8-2}
|
|||
|
\end{proof}
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\subsection{Anwendung des Gauß-Kriteriums}
|
|||
|
|
|||
|
Das Kriterium von Gauß führt die Frage, ob ein gegebenes Polynom $f ∈ ℚ[x]$
|
|||
|
irreduzibel ist, auf die Frage zurück, ob $a· f ∈ ℤ[x]$ irreduzibel ist, für
|
|||
|
geeignetes $a ∈ ℚ ∖ \{0\}$. Die Irreduzibilität von $a· f ∈ ℤ[x]$ kann man aber
|
|||
|
in endlich vielen Rechenschritten entscheiden ($→$Klausur). Ein Verfahren soll
|
|||
|
jetzt ganz kurz skizziert werden. Den folgenden Satz kennen Sie vielleicht aus
|
|||
|
den Anfängervorlesungen.
|
|||
|
|
|||
|
\begin{erinnerung}[Lagrangesche Interpolationsformel\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange}{Joseph-Louis de Lagrange} (* 25. Januar 1736 in Turin als Giuseppe Lodovico Lagrangia; † 10. April 1813 in Paris) war ein italienischer Mathematiker und Astronom.}\index{Lagrangesche Interpolationsformel}]
|
|||
|
Es sei $K$ ein Körper\footnote{Wir denken an $K = ℚ$.}, es sei $f(x) ∈ K[x]$
|
|||
|
ein Polynom vom Grad $≤ n$ und es seien $a_1, …, a_{n+1}∈ K$ paarweise
|
|||
|
verschiedene Elemente. Dann ist $f$ durch seine Werte $f(a_1), …, f(a_{n+1})$
|
|||
|
eindeutig festgelegt. Genauer gilt:
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
f(x) = \sum_{i=1}^{n+1}f(a_i)\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠ i}}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}.
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
\end{erinnerung}
|
|||
|
\begin{proof}
|
|||
|
Die rechte Seite der Gleichung ist ein Polynom $R(x)$ vom Grad $≤ n$, für das
|
|||
|
gilt
|
|||
|
\[
|
|||
|
R(a_i) = f(a_i)·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠
|
|||
|
i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=f(a_i).
|
|||
|
\]
|
|||
|
Dann ist $f-R$ ein Polynom vom Grad $≤ n$, das $n+1$ Nullstellen hat, also das
|
|||
|
Nullpolynom.
|
|||
|
\end{proof}
|
|||
|
|
|||
|
Sei jetzt also $f ∈ ℤ[x]$ ein Polynom vom Grad $n$. Wähle paarweise
|
|||
|
verschiedene Zahlen $a_1, …, a_{n+1} ∈ ℤ$ und betrachte die Werte $f(a_i) ∈ ℤ$.
|
|||
|
Falls es Polynom $g(x) ∈ ℤ[x]$ gibt, welches $f$ teilt, dann gilt für jeden
|
|||
|
Index $i$ die Relation $g(a_i) | f(a_i)$. Weil das Polynom $g$ aber durch die
|
|||
|
Werte $g(a_1), …, g(a_{n+1})$ aber eindeutig bestimmt ist, und jede der Zahlen
|
|||
|
$f(a_i)$ endlich viele Teiler hat, gibt es insgesamt nur endlich viele Polynome,
|
|||
|
die als Teiler infrage kommen. Es genügt also, zu überprüfen, ob es unter den
|
|||
|
endlich vielen Kombinationen von Teilern $t_i$ von $f(a_i)$ solche gibt, für die
|
|||
|
gilt:
|
|||
|
\begin{enumerate}
|
|||
|
\item Das Polynom
|
|||
|
\[
|
|||
|
g(x) = \sum_{i=1}^{n+1} t_i·\prod_{\genfrac{}{}{0pt}{}{j=0}{j≠ i}} \frac{x-a_j}{a_i-a_j}
|
|||
|
\]
|
|||
|
hat ganzzahlige Koeffizienten.
|
|||
|
|
|||
|
\item Es gilt $g|f ∈ ℚ[x]$.
|
|||
|
|
|||
|
\item Das Polynom $g$ ist ein echter Teiler, also $g ≠ ±1$ und $g ≠ ±f$.
|
|||
|
\end{enumerate}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{bemerkung}
|
|||
|
Es ist zweckmäßig die Zahlen $a_i$ so zu wählen, dass $f(a_i)$ möglichst
|
|||
|
wenige Teiler hat. Wenn man nur noch Teilern vom Grad $≤ m<n$ sucht, dann
|
|||
|
braucht man die Formel lediglich auf $m+1$ Punkte anzuwenden. Das hilft oft
|
|||
|
sehr.
|
|||
|
\end{bemerkung}
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\section{Das Eisenstein-Kriterium}
|
|||
|
|
|||
|
\sideremark{Vorlesung 9}Mit der Langrangeschen Interpolationsformel kann ich die
|
|||
|
Frage nach der Irreduzibilität zwar beantworten, allerdings sind die nötigen
|
|||
|
Rechnungen ziemlich aufwändig (besonders bei Zeitdruck in einer Klausur!). Das
|
|||
|
folgende Kriterium von Theodor
|
|||
|
Schönemann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Sch\%C3\%B6nemann}{Theodor
|
|||
|
Schönemann} (* 4. April 1812 in Driesen, Friedebergischer Kreis; †
|
|||
|
16. Januar 1868 in Brandenburg an der Havel) war ein deutscher Mathematiker.},
|
|||
|
das in der Literatur durchgehend falsch mit ``Eisenstein-Kriterium''
|
|||
|
bezeichnet\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gotthold_Eisenstein}{Ferdinand
|
|||
|
Gotthold Max Eisenstein} (* 16. April 1823 in Berlin; † 11. Oktober 1852
|
|||
|
ebenda) war ein deutscher Mathematiker, der hauptsächlich in der Zahlentheorie
|
|||
|
und über elliptische Funktionen arbeitete.} wird, ist oft viel schneller. Es
|
|||
|
ist so wichtig, dass es dazu sogar
|
|||
|
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium}{eine eigene Seite auf
|
|||
|
Wikipedia} gibt\index{Eisenstein-Kriterium}.
|
|||
|
|
|||
|
\begin{satz}[Eisenstein Kriterium]\label{Satz_Eisenstein_Kriterium}
|
|||
|
Es sei $R$ ein faktorieller Ring und es sei
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
f = a_0+a_1· x + \dots +a_n· x^n∈ R[x]
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
ein Polynom vom Grad $n>0$. Weiter sei $\ggT(a_0, …, a_n)=1$. Wenn es ein
|
|||
|
Primelement $p ∈ R$ gibt mit $p|a_0$, $p|a_1$, …, $p|a_{n-1}$ und
|
|||
|
$p² \nmid a_0$, dann ist $f$ irreduzibel in $R[x]$.
|
|||
|
\end{satz}
|
|||
|
\begin{proof}
|
|||
|
\video{9-1}
|
|||
|
\end{proof}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{notation}
|
|||
|
Ein Polynom, das die Bedingung von Satz~\ref{Satz_Eisenstein_Kriterium}
|
|||
|
erfüllt, nennt man \emph{Eisenstein-Polynom}\index{Eisenstein-Polynom}.
|
|||
|
\end{notation}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{bsp}
|
|||
|
Das Polynom $x^n-r ∈ ℤ[x]$ ist irreduzibel, wenn $r$ durch eine Primzahl
|
|||
|
$p$, aber nicht durch $p²$ teilbar ist.
|
|||
|
\end{bsp}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{bsp}
|
|||
|
Das Polynom $x^n-p ∈ ℤ[x]$ ist für jede Primzahl $p$ irreduzibel, und
|
|||
|
deshalb Minimalpolynom von $\sqrt[n]{p}$ als Element der Körpererweiterung
|
|||
|
$ℂ/ℚ$.
|
|||
|
\end{bsp}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{bsp}
|
|||
|
Ein Polynom in mehreren Variablen der Gestalt
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
x_1^m+g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_1, …, x_n]
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
über einem faktoriellen Ring $R$ ist sicher dann irreduzibel, wenn $g(x_2, …, x_n) ∈ R[x_2, …, x_n]$
|
|||
|
irreduzibel ist.
|
|||
|
\end{bsp}
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
\subsection{Hilfe bei der Anwendung des Eisenstein-Kriteriums}
|
|||
|
|
|||
|
Das Eisenstein-Kriterium lässt manchmal auch in solchen Situationen anwenden, in
|
|||
|
denen kein Eisenstein-Polynom vorliegt. Hin und wieder ist es nämlich möglich,
|
|||
|
einen Ringmorphismus zu betrachten und folgendes Lemma anzuwenden.
|
|||
|
|
|||
|
\begin{lem}
|
|||
|
Es sei $R$ ein faktorieller Ring, es sei $S$ ein Integritätsring und es sei
|
|||
|
$\varphi : R[x] → S$ ein Ringmorphismus, der kein Polynom positiven Grades auf
|
|||
|
eine Einheit in $S$ abbildet. Weiter sei $f∈ R[x]$ ein Polynom vom Grad $>0$,
|
|||
|
sodass der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist. Wenn
|
|||
|
jetzt $\varphi(f) ∈ S$ irreduzibel ist, dann ist auch $f∈ R[x]$ irreduzibel.
|
|||
|
\end{lem}
|
|||
|
\begin{proof}
|
|||
|
Angenommen, $f$ wäre reduzibel. Dann können wir schreiben $f = g·h$, wobei $g$
|
|||
|
und $h$ jeweils keine Einheiten in $R[x]$ sind. Weil der größte gemeinsame
|
|||
|
Teiler der Koeffizienten gleich $1$ ist, müssen $g$ und $h$ jeweils positiven
|
|||
|
Grad haben. Die Gleichung
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
\varphi(f) = \varphi(g)·\varphi(h)
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
zeigt dann, dass $\varphi(f)$ echte Teiler hat, also nicht irreduzibel ist.
|
|||
|
\end{proof}
|
|||
|
|
|||
|
Ringmorphismen, die man in der Praxis brauchen kann, entstehen oft auf die
|
|||
|
folgenden Weisen.
|
|||
|
\begin{description}
|
|||
|
\item[Anwenden eines Ringhomomorphismus auf die Koeffizienten:] Ist
|
|||
|
$\varphi : R → S$ ein Ringhomomorphismus, dann ist auch
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
Φ: R[x] → S[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})x^ν
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
ein Ringmorphismus.
|
|||
|
|
|||
|
\item[Einsetzungskomposition:]\index{Einsetzungskomposition} Es sei eine
|
|||
|
Abbildung $\varphi : R → S$ und es sei ein Element $t ∈ S$ gegeben. Setze
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
Φ : R[x] → S, \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum\varphi(a_{ν})t^ν
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
|
|||
|
\item[Substitutionsmorphismus:]\index{Substitutionsmorphismus} Es sei ein
|
|||
|
Element $a∈ R$ gegeben. Dann betrachte die Abbildung
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
Φ : R[x] → R[x], \quad \sum a_{ν} x^ν ↦ \sum a_{ν}(x-a)^ν.
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
Diese Abbildung ist sogar ein Isomorphismus, weil sie durch $x ↦ x+a$
|
|||
|
umgekehrt wird.
|
|||
|
\end{description}
|
|||
|
|
|||
|
\begin{bsp}\label{bsp:7.2.7}
|
|||
|
Es sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl und es sei
|
|||
|
\begin{equation}\label{eq:Rechnungen_S68}
|
|||
|
f = x^{p-1}+x^{p-2}+ ⋯ + x+1 ∈ ℤ[x].
|
|||
|
\end{equation}
|
|||
|
Auf $f$ kann man das Eisenstein-Kriterium nicht direkt anwenden. Aber es gilt:
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
(x-1)· f=x^p-1.
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
Wenn wir den Substitutionsmorphismus $x→ x+1$ anwenden, erhalten wir
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
\varphi((x-1)· f) = x· \varphi(f) = (x+1)^p-1 = \sum_{ν = 0}^{p}\binom{p}{ν}x^ν -1.
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
Also ist
|
|||
|
\begin{equation*}
|
|||
|
\varphi(f) = \sum_{ν=1}^{p}\binom{p}{ν}x^{ν-1}.
|
|||
|
\end{equation*}
|
|||
|
Das ist ein Eisenstein-Polynom, denn $p|\binom{p}{ν}$ für alle $ν$ mit
|
|||
|
$1 ≤ ν < p$. Zusätzlich gilt $p² \nmid \binom{p}{1}=p$ und
|
|||
|
$\binom{p}{p}=1$. Also sind $\varphi(f)$ und $f$ in $ℚ[x]$ jeweils
|
|||
|
irreduzibel.
|
|||
|
\end{bsp}
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
%%% Local Variables:
|
|||
|
%%% mode: latex
|
|||
|
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
|
|||
|
%%% End:
|