AlgebraZahlentheorie/02.tex

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2023-09-14 13:18:58 +02:00
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\selectlanguage{german}
\chapter{Ultrakurzwiederholung: wichtige Begriffe}
Bevor es mit dem eigentlichen Inhalt der Vorlesung losgeht, möchte ich
sicherzustellen, dass alle Teilnehmer auf dem gleichen Stand sind und dieselbe
Sprache sprechen (leider sind die Definitionen in der Literatur nicht immer
einheitlich). Ich füge deshalb diesen extrem langweiligen Abschnitt ein, in dem
ich die wesentlichen Grundbegriffe extrem knapp wiederhole. Das allermeiste
dürfte Ihnen aus den Anfängervorlesungen bekannt sein, sodass sich der
Arbeitsaufwand in Grenzen halten wird.
\section{Gruppen}
\label{sec:gruppen}
\begin{defn}[Gruppe]\label{def:2-1-1}
Eine \emph{Gruppe}\index{Gruppe} ist eine nicht-leere Menge $G$ mit einer
Abbildung
\[
m : G G → G,
\]
sodass folgende Eigenschaften gelten.
\begin{description}
\item[Assoziativität] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ aus $G$ gilt:
$m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c))$.
\item[Neutrales Element] Es gibt genau ein Element $e$ aus $G$, sodass für
alle $a$ aus $G$ gilt: $m(e,a) = m(a,e) = a$.
\item[Inverse Elemente] Für alle $a$ aus $G$ gibt es genau ein Element $b$ aus
$G$, sodass $m(a,b) = m(b,a) = e$ ist.
\end{description}
\end{defn}
\begin{defn}[Abelsche Gruppe]
Es sei $(G,m)$ eine Gruppe. Die Gruppe heißt
\emph{Abelsch}\index{Gruppe!Abelsch} oder
\emph{kommutativ}\index{Gruppe!kommutativ}, falls für alle $a$ und $b$ aus $G$
die Gleichung $m(a,b)=m(b,a)$ gilt.
\end{defn}
\begin{notation}[Gruppenverknüpfung, Inverses]
Es sei $(G,m)$ eine Gruppe. Dann wird die Abbildung $m$ häufig
\emph{Gruppenverknüpfung}\index{Gruppenverknüpfung} genannt. Häufig wird
statt dem Buchstaben $m$ das Symbol $·$ verwendet und statt $m(a, b)$ kurz
$a·b$. Bei Abelschen Gruppen ist statt $·$ auch das Symbol $+$ üblich. Das
inverse Element von $a$ wird auch mit $a^{-1}$ bezeichnet.
\end{notation}
\begin{bsp}[Beispiele aus der linearen Algebra]
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Es sei $G = $, $$, $$, $$ oder irgendein Vektorraum über irgendeinem
(z.~B.\ der $$-Vektorraum der stetigen Funktionen über $$, oder der
komplexe Vektorraum $[x]$ der Polynome in einer Variablen) und des sei
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\begin{equation*}
m(a,b) := a+b
\end{equation*}
die Addition bzw.\ die Vektoraddition. Dann ist $(G,+)$ eine abelsche Gruppe.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Invertierbare Matrizen]
Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ $ und es sei $G$ die Menge der
invertierbaren $(n n)$-Matrizen, die invertierbar sind. Weiter sei
\begin{equation*}
m(a,b) := a·b
\end{equation*}
die Matrixmultiplikation. Dann ist $(G,·)$ eine Gruppe, aber im Allgemeinen
nicht Abelsch.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Bijektive Abbildungen]
Es sei $M$ eine nicht-leere Menge und es sei $G$ die Menge der bijektiven
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Abbildungen $M → M$. Weiter sei $$ wobei $$ die Hintereinanderausführung (=
„Komposition“) von Abbildungen. Dann ist $(G, ◦)$ eine Gruppe, aber im
Allgemeinen nicht Abelsch. Wozu brauche ich „Bijektivität“? Haben Sie ein
Beispiel, wo $(G,◦)$ Abelsch/nicht Abelsch ist?
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\end{bsp}
\begin{bsp}[Vektorprodukt]
Es sei $G := ℝ³$ und es sei $$ das Vektorprodukt. Dann ist
$(G, )$ keine Gruppe. Warum?
\end{bsp}
\begin{bsp}[Körper mit Multiplikation]
Es sei $G := $ oder $$ oder $$ und es sei $·$ die
Multiplikation. Dann ist $(G, ·)$ keine Gruppe. Warum?
\end{bsp}
\begin{defn}[Untergruppe]\label{def:2-1-9}
Es sei $(G, m)$ eine Gruppe und es sei $U ⊆ G$ eine nicht-leere Teilmenge.
Nenne $U$ eine \emph{Untergruppe}\index{Untergruppe} von $(G,m)$, falls
Folgendes gilt.
\begin{description}
\item[Abgeschlossenheit unter der Gruppenverknüpfung] Für alle Elemente $a$,
$b$ aus $U$ ist auch $m(a,b)$ aus $U$.
\item[Abgeschlossenheit unter Inversenbildung] Für alle Elemente $a$ aus $U$
ist auch $a^{-1}$ in $U$.
\end{description}
\end{defn}
\begin{bemerkung}
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Wenn $(G,m)$ eine Gruppe ist und $U ⊆ G$ eine Untergruppe, dann schränkt sich
die Gruppenverknüpfung ein zu einer Abbildung
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\[
m|_{U U} : U U → U
\]
und $(U, m|_{U U})$ ist wieder eine Gruppe. Es ist üblich, diese Gruppe
einfach kurz mit $(U, m)$ zu bezeichnen.
\end{bemerkung}
\subsection{Normale Untergruppen}
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Kennen Sie den Begriff der „normalen Untergruppe“? Falls Sie diesen Begriff in
den Anfängervorlesungen nicht hatten (oder schon wieder vergessen hatten,
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hüstel) müssen Sie das jetzt \emph{sofort} lernen. Ich empfehle Kapitel 9 von
Beutelspacher's Buch über lineare Algebra, \cite{BeutelpacherLA}, das Sie sich
im Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
Was normale Untergruppen sind und warum man solche Untergruppen überhaupt
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betrachten möchte habe ich in einem kleinen Erlärvideo zusammengefasst.
\video{1-1}
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\section{Ringe}
\begin{defn}[Ring]\label{def:ring}
Ein \emph{Ring}\index{Ring} ist eine nicht-leere Menge $R$ mit zwei
Abbildungen,
\[
+ : R R → R \quad\text{und}\quad · : R R → R,
\]
sodass folgende Eigenschaften gelten.
\begin{description}
\item[Gruppenstruktur von $(R, +)$] Es ist $(R, +)$ eine Abelsche Gruppe.
\item[Distributivgesetz] Für alle $a$, $b$ und $c$ aus $R$ gelten die
Gleichungen $(a+b)·c = a·c + b·c$ und $(b+c) = a·b + a·c$.
\item[Assoziativität der Multiplikation] Für alle Elemente $a$, $b$ und $c$
aus $R$ gilt: $(a·b)·c =(b·c)$.
\item[Neutrales Element der Multiplikation] Es gibt genau ein Element $e$ aus
$R$, sodass für alle $a$ aus $R$ gilt: $e·a = a·e = a$.
\end{description}
\end{defn}
\begin{notation}
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Gegeben ein Ring $(R, +, ·)$, dann wird die Verknüpfung „$+$“ meist als
Addition und die Verknüpfung „$·$“ meist als Multiplikation bezeichnet. Das
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neutrale Element der Addition wird oft mit $0$ oder $0_R$ bezeichnet, das
neutrale Element der Multiplikation oft mit $1$ oder $1_R$.
\end{notation}
\begin{warnung}[Neutrales Element der Multiplikation]
Die Definitionen sind in der Literatur nicht ganz einheitlich. Manche Autoren
verzichten bei der Definition von Ringen auf die Forderung, dass ein neutrales
Element der Multiplikation existiert. Ein Ring wie in
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Definition~\ref{def:ring} wird von diesen Autoren ein „Ring mit Eins“ genannt.
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\end{warnung}
\begin{defn}[Abelsche Ringe]
Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Abelsch}\index{Ring!Abelsch} oder
\emph{kommutativ}\index{Ring!kommutativ}, wenn für alle Elemente $a$ und $b$
aus $R$ gilt, dass $a·b = b·a$ ist.
\end{defn}
\begin{bsp}[Vektorprodukt]
Das Tripel $(ℝ³, +, )$ definiert keinen Ring, wenn $+$ die
Vektoraddition und $$ das Vektorprodukt bezeichnet. Warum?
\end{bsp}
\begin{bsp}[Quadratische Matrizrn]
Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ $ eine Zahl und es sei $R$ die Menge
der $(n n)$-Matrizen. Dann bildet $R$ zusammen mit der Matrixaddition
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und Matrixmultiplikation einen Ring. Dieser ist im Allgemeinen nicht
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kommutativ.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Ganze Zahlen]
Die Menge $$ bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen
kommutativen Ring.
\end{bsp}
\begin{beobachtung}
Mit Elementen aus Ringen kann man rechnen wie mit Zahlen. Man rechnet sofort
mithilfe der Definition nach, dass in jedem Ring $(R, +, ·)$ für alle Elemente
$a$ und $b$ die Identitäten
\[
a·0 = 0·a = 0 \quad\text{und}\quad (-a)·b = -(a·b) = a·(-b)
\]
gelten. Aber Achtung!
\begin{itemize}
\item Aus $a·b = 0$ und $a ≠ 0$ kann man im Allgemeinen nicht folgern, dass
$b=0$ ist.
\item Aus $(b-c) = 0$ oder $a·b = a·c$ kann man nicht folgern, dass
$b=c$ ist.
\end{itemize}
Der Grund ist, dass das Element $a$ ein \emph{Nullteiler} sein kann!
\end{beobachtung}
\begin{defn}[Nullteiler]
Es sei $(R, +, ·)$ ein kommutativer Ring. Ein Element $a$ aus $R$ heißt
\emph{Nullteiler}\index{Nullteiler}, wenn es ein Element $b ∈ R \{0\}$ gibt,
sodass $a·b = 0$ ist. Der Ring $R$ heißt
\emph{nullteilerfrei}\index{Ring!nullteilerfrei} oder
\emph{Integritätsring}\index{Integritätsring}, wenn die $0$ der einzige
Nullteiler ist und wenn $R$ nicht nur aus dem Nullelement besteht.
\end{defn}
Wir merken uns: Nullteiler machen Probleme. Gute Ringe haben keine Nullteiler.
\begin{figure}
\centering
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2);
\draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0);
\draw (-2,1)node[above right]{$f$}--(-1,0)--(2,0);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\draw[->, lightgray] (0,-0.5)--(0,1.2);
\draw[->, lightgray] (-2.2,0)--(2.2,0);
\draw (-2,0)--(1,0)--(2,1)node[above left]{$g$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\caption{Nullteiler im Ring $\cC()$}
\label{fig:nt}
\end{figure}
\begin{bsp}[Stetige Funktionen]\label{bsp:stetig}
Es sei $\cC()$ die Menge der stetigen Funktionen auf $$. Zusammen mit
der üblichen Addition und Multiplikation von Funktionen bildet dies einen
kommutativen Ring. Betrachte die Funktionen $f$ und $g$ aus
Abbildung~\vref{fig:nt}. Dann ist weder $f$ noch $g$ die Nullfunktion, aber
$f·g$ ist die Nullfunktion. Also sind sowohl $f$ als auch $g$ Nullteiler des
Ringes $\cC()$.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Polynome]
Es sei $[x_1, …, x_n]$ die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten in
$n$ Veränderlichen. Die definiert mit der üblichen Addition und
Multiplikation von Polynomen einen nullteilerfreien, kommutativen Ring.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Rechnen modulo $p$]
Aus der linearen Algebra kennen Sie den Ring $/(6)$. Dies ist kein
Integritätsring, denn $[2] \ne [0]$ und $[3] \ne [0]$ aber
$[2]·[3] = [6] = [0]$. Fall $p$ eine Primzahl ist, ist $𝔽_p = /(p)$ ein
Integritätsring, sogar ein Körper.
\end{bsp}
Das Gegenteil eines Nullteilers ist ein Element, das ein multiplikatives
Inverses besitzt. Solche Elemente heißen Einheiten.
\begin{defn}[Einheiten eines Ringes]
Sei $(R, +, ·)$ ein Ring und es sei $a ∈ R$ ein Element. Nenne $a$
\emph{multiplikativ invertierbar}\index{invertierbare Elemente eines Ringes}
oder \emph{Einheit}\index{Einheit}, falls ein $b ∈ R$ existiert, sodass
$a·b = b·a = 1$ ist. Die Menge der Einheiten wird mit $R^*$ bezeichnet.
\end{defn}
\begin{bsp}[Ganze Zahlen]
Es ist $^* = \{ 1, -1\}$.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Stetige Funktionen]
In Beispiel~\ref{bsp:stetig} sind die Einheiten genau die stetigen Funktionen
ohne Nullstelle.
\end{bsp}
\begin{beobachtung}
Es sei $(R, +, ·)$ ein Ring. Dann sind Produkte und Inverse von Einheiten
wieder Einheiten, und die Menge der Einheiten bildet zusammen mit der
Multiplikation eine Gruppe.
\end{beobachtung}
Den Begriff \emph{Unterring}\index{Unterring} definiert man ganz analog zur
Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
\begin{bsp}[Unterringe]
Die Menge $[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $$ ist ein Unterring
der Menge $[x]$ der Polynome mit Koeffizienten in $$.
\end{bsp}
\section{Körper}
\sideremark{Vorlesung 2}
\begin{defn}[Schiefkörper, Körper]
2023-10-04 16:02:27 +02:00
Ein Ring $(R, +, ·)$ heißt \emph{Schiefkörper}\index{Schiefkörper}, wenn $R$
nicht der Nullring ist und alle Elemente außer der $0$ invertierbar sind, wenn
also $R^* = R \{0\}$ gilt. Ein Schiefkörper heißt
\emph{Körper}\index{Körper}, wenn $R$ zusätzlich noch kommutativ ist.
2023-09-14 13:18:58 +02:00
\end{defn}
Den Begriff \emph{Unterkörper}\index{Unterkörper} definiert man ganz analog zur
Untergruppe; ich werde das hier nicht wiederholen.
\begin{bsp}[Bekannte Körper]
Die bekanntesten Körper sind $$, $$, $$ und die endlichen Körper. Die
reellen Zahlen sind ein Unterkörper von $$ und $$.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Gebrochen-rationale Funktionen]\label{bsp:2-3-3}
In der Schule haben Sie gebrochen-rationale Funktionen diskutiert, wie etwa
\[
f(x) := \frac{x²-7}{x³+4·x}.
\]
Die Menge der gebrochen-rationalen Funktionen\index{gebrochen-rationale
Funktionen} bildet mit der üblichen Addition und Multiplikation einen
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Körper, der mit $(x)$ bezeichnet wird. Die Menge der konstanten Funktionen
ist ein Unterkörper von $(x)$. Die Menge $[x]$ ist ein Unterring, aber
kein Unterkörper von $(x)$.
2023-09-14 13:18:58 +02:00
\end{bsp}
\begin{notation}[Körpererweiterung]
Gegeben einen Körper $L$ und einen Unterkörper $K$, spricht man auch von einer
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\emph{Körpererweiterung „$L$ über $K$}\index{Körpererweiterung}. Man
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schreibt oft $L/K$.
\end{notation}
Interessante Körpererweiterungen konkret zu konstruieren ist erst einmal nicht
ganz einfach. Hier ist eine nicht-triviale Methode, die wir später nutzen
werden, um an neue Beispiele zu kommen.
\begin{bsp}[Schnitte von Zwischenkörpern]\label{bsp:3-1-2a}
Wir beginnen mit einer gegebenen Körpererweiterung $L/K$, und irgendeiner
Menge $(M_i)_{i ∈ I}$ von Zwischenkörpern, also Unterkörpern $M_i ⊆ L$, die
den kleineren Körper $K$ enthalten. Man rechne direkt mithilfe der Definition
nach, dass die Schnittmenge
\[
S := \bigcap_{i ∈ I} M_i ⊆ L
\]
2023-10-04 16:02:27 +02:00
wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser
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Unterkörper die Menge $K$.
\end{bsp}
2023-10-04 16:02:27 +02:00
\begin{bsp}[Adjunktion]\label{bsp:3-1-2b}%
2023-09-14 13:18:58 +02:00
Dies ist eine Variante von Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b}. Wir beginnen mit einer
gegebenen Körpererweiterung $L/K$, irgendeiner Menge $A ⊂ L$ und betrachten
alle Unterkörper $M ⊂ L$, die $K A$ enthalten. Man beobachte, dass es
mindestens einen solchen Unterkörper gibt, nämlich $M$. Man rechne direkt
mithilfe der Definition nach, dass die Schnittmenge aller solcher $M$,
\[
\bigcap_{\txt{\scriptsize $M ⊆ L$ Unterkörper\\\scriptsize
$K A ⊆ M$}} M ⊆ L
\]
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wieder ein Unterkörper von $L$ ist. Per Konstruktion enthält dieser
2023-09-14 13:18:58 +02:00
Unterkörper die Menge $K A$ und ist der kleinste Unterkörper von $L$, der
die Menge $K A$ enthält.
\end{bsp}
\begin{defn}[Adjunktion von Mengen und Elementen]
Der in Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} konstruierte Unterkörper wird mit $K(A)$
bezeichnet. Man sagt, $K(A)$ entsteht aus $K$ durch \emph{Adjunktion der
Menge $A$}\index{Adjunktion!einer Menge}.
\end{defn}
\begin{notation}[Adjunktion von endlichen Mengen]
Falls die Menge $A$ aus Beispiel~\ref{bsp:3-1-2b} nur ein Element enthält,
$A = \{a\}$, so schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a)$ und sagt, der Körper
entsteht durch \emph{Adjunktion des Elementes $a$}\index{Adjunktion!eines
Elementes}. Falls die Menge $A$ endlich ist, $A = \{ a_1, …, a_n\}$, so
schreibt man statt $K(A)$ auch $K(a_1, …, a_n)$.
\end{notation}
2023-10-04 16:02:27 +02:00
\begin{defn}[Einfache Körpererweiterungen]\label{def:einfach}%
2023-09-14 13:18:58 +02:00
Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt
\emph{einfach}\index{Körpererweiterung!einfach}\index{einfache
2023-10-04 16:02:27 +02:00
Körpererweiterung}, wenn es ein Element $a ∈ L$ gibt, sodass $L = K(a)$ ist.
2023-09-14 13:18:58 +02:00
In diesem Zusammenhang nennt man $a$ ein \emph{primitives Element der
2023-10-04 16:02:27 +02:00
Erweiterung $L/K$}\index{primitives Element einer Körpererweiterung}.
2023-09-14 13:18:58 +02:00
\end{defn}
Weiter unten werden wir einfache Körpererweiterung noch sehr ausführlich
besprechen.
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
%%% End: