AlgebraZahlentheorie/11.tex

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\chapter{Grundbegriffe}

\sideremark{Vorlesung 12}Bevor es richtig losgeht, stelle ich schnell noch
einige Grundbegriffe zusammen, die wir später an allen möglichen Stellen
brauchen.  Den ersten Begriff erkläre ich am besten an einem Beispiel: betrachte
den Körper $ℂ$.  Wenn $K ⊂ ℂ$ irgendein Unterkörper ist, dann enthält
$K$ auf jeden Fall die Zahlen $0$ und $1$, und damit auch $2=1+1$, das additive
Inverse $-2$, das multiplikative Inverse $\frac{1}{2}$, ….  Am Ende erkennen wir,
dass $K$ den gesamten Unterkörper $ℚ$ enthalten muss.  In diesem Sinne ist
$ℚ$ also der kleinste Unterkörper von $ℂ$.  Das definieren wir jetzt für
beliebige Körper.  Die folgende Beobachtung wiederholt \vref{bsp:3-1-2a}.

\begin{beobachtung}
  Es sei $L$ ein Körper, und es seien $(K_i)_{i ∈ I}$ Unterkörper.  Dann ist
  auch $∩_{i ∈ I} K_i$ ein Unterkörper von $L$.
\end{beobachtung}

Mithilfe dieser Beobachtung können wir jetzt den kleinsten Unterkörper
definieren.

\begin{definition}[Primkörper]
  Sei $K$ ein Körper.  Der Durchschnitt über alle Unterkörper von $K$ heißt
  \emph{Primkörper}\index{Primkörper} von $K$.
\end{definition}

\begin{notation}
  Sei $p ∈ ℤ$ eine Primzahl.  Dann ist $(p) ⊂ ℤ$ ein maximales Ideal
  und $ℤ/(p)$ ist ein Körper, der mit $𝔽_p$ bezeichnet wird.
\end{notation}

Für Primkörper gibt es gar nicht viele Möglichkeiten.

\begin{satz}[Klassifikation der Primkörper]\label{Satz_Primkoerper_Isomorphie}
  Es sei $K$ ein Körper.  Dann ist der Primkörper von $K$ entweder isomorph zu
  $ℚ$ oder zu einem $𝔽_p$, wobei $p$ eine Primzahl ist.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{12-1}
\end{proof}

\begin{definition}[Charakteristik]
  Es sei $K$ ein Körper.  Falls der Primkörper von $K$ isomorph zu $ℚ$ ist, so
  sagt, man der Körper $K$ hat \emph{Charakteristik
    $0$}\index{Charakteristik!eines Körpers}.  Falls der Primkörper von $K$
  isomorph zu $𝔽_p$ ist, so sagt man, der Körper $K$ hat \emph{Charakteristik
    $p$}.  Die Schreibweise $\operatorname{char}(K)$ ist üblich.
\end{definition}

\begin{satz}
  Es sei $K$ ein endlicher Körper.  Dann hat $K$ hat positive Charakteristik,
  $p = \operatorname{char}(K) > 0$, und es gibt eine Zahl $m ∈ ℕ$, so das
  $K$ genau $p^m$ Elemente hat.
\end{satz}
\begin{proof}
  Ein endlicher Körper kann nicht $ℚ$ als Unterkörper besitzen.  Also ist
  $p = \operatorname{char}(K) > 0$.  Weil $K$ endlich ist, ist der
  Erweiterungsgrad $m := [K:𝔽_p] = \dim_{𝔽_p} K$ ebenfalls endlich.  Ein
  $m$-dimensionaler Vektorraum über $𝔽_p$ hat aber $p^m$ viele Elemente.
\end{proof}

Ich erinnere noch einmal an einige Körper, die wir in den vergangenen Kapiteln
diskutierten.

\begin{itemize}
\item $𝔽_p$, $ℚ$, $ℝ$ sowie $ℂ$ sind Körper.
  
\item Ist $L/K$ eine Körpererweiterung und $A⊂ L$ eine Menge, dann ist
  $K(A)$ ein Körper.
  
\item Quotientenkörper von Integritätsringen sind Körper.
    
\item Ist $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $m$ ein maximales Ideal, dann
  ist $R/m$ ein Körper.
    
\item Ist $R$ ein Ring und $p ⊂ R$ ein Primideal, dann ist $R/p$ ein
  Integritätsring und $Q(R/p)$ ist ein Körper.
\end{itemize}

In der Mathematik sind die folgenden Körper am interessantesten.
\begin{itemize}
\item Zahlenkörper, also Zwischenkörper $ℚ ⊂ K ⊂ ℂ$, wobei $K/Q$
  algebraisch ist.
  
\item Funktionenkörper, also endliche algebraische Oberkörper von $ℂ(x)$.
  
\item In den letzten Jahrzehnten gab es große Fortschritte beim Studium von
  endlichen algebraischen Körpererweiterungen von $ℚ(x)$.
  
\item Endliche Körper und ihre (endlichen) Körpererweiterungen spielen in der
  Kodierungstheorie eine zentrale Rolle.
\end{itemize}


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