AlgebraZahlentheorie/08.tex

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\chapter{Anwendung: Konstruktion mit Zirkel und Lineal}

\section{Erinnerung}

Die Ergebnisse, die wir bislang gewonnen haben, können wir direkt auf
Konstruierbarkeitsfragen anwenden.  Ich erinnere noch einmal, was der Stand der
Debatte war.

\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 1, Aufgabe 1.b]
  Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge, die die Elemente $0$ und $1$ enthält.  Dann
  ist die Menge $\Kons(M)$ der mit Zirkel und Lineal aus $M$ konstruierbaren Punkte
  ein Unterkörper von $ℂ$.  \qed
\end{satz}

Der nächste Satz stellt die Verbindung zwischen Körpertheorie und
Konstruierbarkeit her.  Die Formulierung des Satzes verwendet den Begriff
``konjugierte Menge''.  Dabei ist ``konjugiert'' wie immer nur eine bombastische
Formulierung für ``an der reellen Achse gespiegelt''.

\begin{notation}[Konjungierte Menge]
  Es sei $M ⊂ ℂ$ eine Menge.  Dann betrachte die Menge
  $\overline{M} := \{ \overline{m} \::\: m∈ M\}$.  Man nennt $\overline{M}$
  die \emph{zu $M$ konjungierte Menge}\index{konjugierte Menge}.
\end{notation}

\begin{rem}
  Im Fall, wo die Menge $M$ die Elemente $0$ und $1$ enthält, kann man die
  Spiegelung an der reellen Achse mit Zirkel und Lineal konstruieren.  Damit ist
  klar, dass $\overline{M} ⊂ \Kons(M)$ ist.  Es ist in diesem Fall auch
  klar, dass $i ∈ \Kons(M)$ ist.
\end{rem}

\begin{satz}[Hausaufgabe Blatt 2, Aufgabe 3]\label{Satz_von_Seite_69}
  Es sei $\{0,1 \} ⊂ M ⊂ ℂ$ und es sei $z ∈ \Kons(M)$.  Sei weiter
  $K = ℚ(M ∪ \overline{M})$.  Dann existiert eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass die
  Gleichheit
  \begin{equation*}
    [K(z) : K] = 2^k
  \end{equation*}
  gilt.  Insbesondere ist jede aus $\{ 0, 1 \}$ konstruierbare Zahl algebraisch
  über $ℚ$.  \qed
\end{satz}


\section{Verdopplung des Würfels}

Das klassische Konstruktionsproblem ``Verdopplung des Würfels'' ist mit Zirkel
und Lineal nicht möglich, denn mit $M := \{0,1\}$ ist
$ℚ = ℚ(M ∪ \overline{M})$ und
\[
  [ℚ(\sqrt[3]{2}): ℚ ] = 3,
\]
da wir mit unseren Methoden jetzt wissen, dass $x³-2$ das Minimalpolynom von
$\sqrt[3]{2}$ ist.


\section{Dreiteilung des Winkels}

Bevor wir die Frage nach der Dreiteilung des Winkel abschließend beantworten,
beweise ich zuerst ein Satz, der auch später noch von Interesse sein wird.

\begin{satz}\label{Satz_Vor_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
  Es sei $L/K$ eine Körpererweiterung und es sei $a ∈ L$ ein über $K$
  transzendentes Element.  Dann ist $K(a)$ isomorph zum Körper der
  gebrochen-rationalen Funktionen\footnote{Siehe Beispiel~\ref{bsp:2-3-3} im
    Falle $K = ℝ$.} über $K$ in einer Variablen.  Mit anderen Worten:
  \begin{equation*}
    K(a) ≅ K(x) = Q(K[x])
  \end{equation*}
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{9-2}
\end{proof}

Damit lässt sich die Konstruierbarkeitsfrage ganz gut beantworten.

\begin{satz}\label{Satz_Dreiteilung_Zirkel_Lineal}
  Gegeben sei eine reelle Zahl $\varphi ∈ (0, 2·π)$.  Falls $e^{i\varphi}$
  transzendent ist, dann ist
  $e^{(\varphi i)/3} \not ∈ \Kons(\{0,1, e^{\varphi i}\})$.  Die Dreiteilung des
  Winkels $\varphi$ ist also mit Zirkel und Lineal nicht möglich.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{9-3}
\end{proof}

\begin{bemerkung}
  Die Menge $\{ \varphi ∈ (0, 2π) \::\: e^{i\varphi} \text{ ist transzendent}\}$
  ist dicht in $(0, 2π)$.  Insbesondere gibt es kein allgemeines
  Konstruktionsverfahren für die Dreiteilung des Winkels.
\end{bemerkung}
\begin{proof}
  Wenn $z=e^{i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$ ist, dann ist auch
  $\overline{z} = e^{-i\varphi}$ algebraisch über $ℚ$, denn $z$ und
  $\overline{z}$ haben beide dasselbe Minimalpolynom.  Also ist auch der Realteil
  \begin{equation*}
    \operatorname{Re}(z) =\frac12(z+\overline{z})
  \end{equation*}
  algebraisch über $ℚ$.  Das zeigt, dass die Menge $\varphi∈ (0,2π)$, für
  die $e^{i\varphi}$ transzendent ist, in $(0,2π)$ dicht ist.
\end{proof}


\section{Konstruierbarkeit des regelmäßigen $n$-Ecks}

Auf die Frage, ob das regelmäßige $n$-Eck konstruierbar ist, können wir nur eine
unvollständige Antwort geben.

\begin{satz}
  Es sei $p$ eine Primzahl.  Wenn das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist,
  dann gibt eine Zahl $k ∈ ℕ$, sodass $p-1=2^k$ ist.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{9-4}
\end{proof}

Der Satz zeigt insbesondere, dass das regelmäßige $7$-Eck, das $11$-Eck, das
$13$-Eck und das $19$-Eck jeweils nicht konstruierbar ist.  Um die Frage nach
der Konstruierbarkeit des $n$-Ecks vollständig zu beantworten, müssen wir unsere
Methoden noch deutlich verbessern: Es genügt nicht nur, den Grad der
Körpererweiterung zu betrachten; wir müssen auch die Symmetrien verstehen.  Dazu
ist wieder einmal Vorarbeit vonnöten.

      
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