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\chapter{Normale und Galoissche Körpererweiterungen}
\label{chap:15}

\section{Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung}

\sideremark{Vorlesung 16}Nun kommen wir endlich zu der Definition, auf die ich
seit der Vorlesung 10 hin gearbeitet habe: die Symmetriegruppe von
Körpererweiterungen, auch bekannt als
Galois\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Evariste_Galois}{Évariste
Galois} (* 25.~Oktober 1811 in Bourg-la-Reine; † 31.~Mai 1832 in Paris) war ein
französischer Mathematiker.  Er starb im Alter von nur 20 Jahren bei einem
Duell, erlangte allerdings durch seine Arbeiten zur Lösung algebraischer
Gleichungen, der sogenannten Galoistheorie, postum Anerkennung.}-Gruppe.  Die
folgende Definition haben wir informell schon an mehreren Stellen diskutiert.

\begin{defn}[Galoisgruppe einer Körpererweiterung]
  Sei $L/K$ eine Körpererweiterung.  Dann ist die Gruppe der $K$-Automorphismen
  $L → L$ wird als \emph{Galoisgruppe der Körpererweiterung
    $L/K$}\index{Galoisgruppe!einer Körpererweiterung} bezeichnet, wobei die
  Gruppenverknüpfung wie üblich die Komposition von Automorphismen ist.  Die
  Schreibweise $\Gal(L/K)$ ist üblich.  Die Ordnung der Gruppe (=Anzahl der
  Elemente) wird oft mit $|\Gal(L/K)|$ oder $\#\Gal(L/K)$ notiert.
\end{defn}

\begin{defn}[Galoisgruppe eines Polynoms]
  Es sei $K$ ein Körper und es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom.  Weiter sei $L$ der
  Zerfällungskörper von $f$ über $K$.  Dann wird die Galoisgruppe der
  Körpererweiterung $L/K$ oft auch mit $\Gal(f)$ notiert und als „Galoisgruppe
  von $f$“ bezeichnet.\index{Galoisgruppe!eines Polynoms}
\end{defn}

Eine wichtige Aufgabe der Algebra, Algebra-Klausur und der mündlichen
Algebra-Prüfung ist es, die Galoisgruppe einer gegebenen Körpererweiterung zu
beschreiben.  Dabei bedeutet „beschreiben“ mindestens, das man die Anzahl der
Elemente angeben kann.  Besser ist es, Erzeuger und Relationen der Gruppe
anzugeben.  Noch besser ist es, die Gruppe mit einer bekannten Gruppe, etwa der
\href{https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN516762672}{Symmetriegruppe eines
schicken platonischen Körpers}, zu identifizieren.  Die allererste Beobachtung
ist, dass die Gruppe in vielen relevanten Fällen zumindest endlich ist.  Wir
können sogar eine Abschätzung für die Größe der Gruppe angeben und die Größe in
einigen Fällen sogar exakt bestimmen.

\begin{beobachtung}[Größenabschätzung für die Galoisgruppe]\label{beob:gg}%
  Wenn $L/K$ eine endliche Körpererweiterung ist, $n := [L:K]$, dann zeigt
  Satz~\vref{Satz_K_Morphismus_Fortsetzung} („Universelle Eigenschaft des
  algebraischen Abschluss“) zusammen mit Satz~\ref{Satz_11_10}, dass es
  höchstens $n$ verschiedene $K$-Morphismen $L → L$ gibt.  Also ist $|\Gal(L/K)|
  ≤ n$.
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}[Einfache Erweiterungen]
  Wenn $L/K$ eine einfache\footnote{Definition~\vref{def:einfach}: einfach = es
  gibt eine Element $a ∈ L$, sodass die Gleichung $L=K(a)$ gilt.}
  Körpererweiterung ist, dann zeigt
  Lemma~\ref{Lemma_Nullstellenanzahl_gleich_anzahl_der_Fortsetzungen}, dass
  $|\Gal(L/K)|$ exakt die Anzahl der Nullstellen ist, die das Minimalpolynom von
  $a$ im Körper $L$ hat.
\end{beobachtung}

\begin{bsp}
  Es sei $K = ℚ$ und es sei $d ∈ ℕ ∖ \{0,1\}$ eine
  quadratfreie\footnote{quadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf} ganze
  Zahl.  Weiter sei $a := \sqrt d ∈ ℝ$ und $L := ℚ(a)$.  Dann hat das
  Minimalpolynom
  \begin{equation*}
    x²-d = (x+a)·(x-a).
  \end{equation*}
  Also hat $\Gal(L/K)$ genau zwei Elemente.  Wir wissen auch schon, welche.  Ein
  Element ist die Identität; diese bildet $a$ auf $a$ ab.  Das andere Element
  heißt „Konjugation“; dies ist der eindeutige $ℚ$-Automorphismus von $L$, der
  $a$ auf $-a$ abbildet.
\end{bsp}

\begin{bsp}\label{bsp:x-1}
  Es sei $K = ℚ$, es sei $a := \sqrt[3]{2} ∈ ℝ$ und $L = ℚ(a)$.  Das
  Minimalpolynom von $a$ ist $x³-2$, die beiden anderen Nullstellen des
  Minimalpolynoms in $ℂ$ sind $ξ·a$ und $ξ²·a$, wobei $ξ = e^{2π i/3}$ ist.
  Es gilt aber $ξ·a$ und $ξ²·a \not ∈ ℝ$.  Somit folgt
  \begin{equation*}
    \Gal \Bigl(\factor{ℚ(a)}{ℚ}\Bigr) = \{\Id\}.
  \end{equation*}
\end{bsp}

\begin{bsp}
  Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$.  Dann ist $K$ ein
  Oberkörper des Primkörpers, und dieser ist isomorph zu $𝔽_p$.  Der
  Frobenius-Morphismus
  \begin{equation*}
    F : K → K, \quad a ↦ a^p
  \end{equation*}
  ist ein $𝔽_p$-Homomorphismus, denn für alle $a ∈ 𝔽_p$ ist $a^p=a$.  Weil $F$
  jetzt aber bijektiv ist, ist $F ∈ \Gal(K/𝔽_p)$.  Wenn $K ≠ 𝔽_p$ ist, dann ist
  $F ≠ \Id$, denn die einzigen Elemente in $K$, die von $F$ festgehalten werden,
  sind die Nullstellen des Polynoms
  \begin{equation*}
    f = x^p-x ∈ K[x]
  \end{equation*}
  und dieses Polynom hat genau $p$ Nullstellen, nämlich die Elemente von
  $𝔽_p ⊂ K$.  Wir werden später in Abschnitt~\ref{sec:klassEK} zeigen, dass die
  Galoisgruppe $\Gal(K/𝔽_p)$ von $F$ erzeugt wird.
\end{bsp}


\section{Normale Körpererweiterungen}

Wir interessieren uns besonders für Körpererweiterungen, die maximal viele
Automorphismen besitzen; diese werden wir in Kürze „Galoisch“ nennen.  Ich muss
aber erst noch kurz den folgenden Begriff einführen, der den Begriff des
„Zerfällungskörpers“ verallgemeinert; wir hatten ja schon gesehen, wie wichtig
Zerfällungskörper in der Diskussion von Symmetrien sind.

\begin{defn}[Normale Körpererweiterung]\label{def:normal}
  Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt \emph{normal}\index{normale
    Körpererweiterung}, wenn sie algebraisch ist und wenn jedes irreduzible
  Polynom $f ∈ K[x]$, das in $L$ eine Nullstelle hat, über $L$ in Linearfaktoren
  zerfällt.
\end{defn}

\begin{bsp}
  Es sei $K$ ein Körper.  Dann ist die Körpererweiterung $\overline{K}/K$
  normal.
\end{bsp}

\begin{bsp}\label{Bsp_zusammenhang_Zerfaellungskoerper_normal}
  Es sei $K$ ein Körper, es sei $f ∈ K[x]$ ein Polynom und es sei $L$ der
  Zerfällungskörper von $f$.  Der folgende Satz zeigt, dass $L/K$ normal ist.
\end{bsp}

Normale Körpererweiterungen lassen sich auf unterschiedliche Arten und Weisen
charakterisieren.

\begin{satz}[Charakterisierung von normalen Erweiterungen]\label{satz:h4}
  Es sei $L/K$ eine algebraische Körpererweiterung.  Dann sind folgende Aussagen
  äquivalent.
  \begin{enumerate}
  \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_1} Die
    Körpererweiterung $L/K$ ist normal.
    
  \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_2} Es existiert eine
    Familie $(f_{λ})_{λ∈Λ}$ von Polynomen, $f_{λ}∈ K[x]$, sodass $L$ aus $K$
    durch Adjunktion sämtlicher Nullstellen der $f_{λ}$ im algebraischen
    Abschluss $\overline{L}$ von $L$ entsteht.
    
  \item\label{Satz_algebraische_Koerpererweiterung_Aussage_3} Für jeden
    $K$-Morphismus $σ: L → \overline{L}$ gilt, dass $σ(L) = L$ ist.  Das heißt:
    $σ$ induziert einen $K$-Automorphismus von $L$.
  \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{16-1}
\end{proof}

\begin{kor}[Normale Zwischenkörper]
  Es sei $K ⊆ Z ⊆ L$ eine Kette von Körpererweiterungen.  Wenn $L/K$ normal ist,
  dann ist auch $L/Z$ normal.  \qed
\end{kor}

Für endliche Körpererweiterungen ist der Begriff „normal“ weniger geheimnisvoll,
als es auf den ersten Blick vielleicht scheint: in diesem Kontext bedeutet
„normal“ nichts anderes als „Zerfällungskörper eines geeigneten Polynoms“.

\begin{satz}\label{satz:x1}
  Eine endliche Körpererweiterung $L/K$ ist genau dann normal, wenn $L$ der
  Zerfällungskörper eines Polynoms $f ∈ K[x]$ ist.
\end{satz}
\begin{proof}[Beweis ``$⇒$'']
  Angenommen, $L/K$ ist endlich und normal.  Dann gibt es per Annahme endlich
  viele $a_1, …, a_n ∈ L$, sodass $L = K(a_1, …, a_n)$ ist.  Bezeichne die
  zugehörigen Minimalpolynome mit $f_1, …, f_n ∈ K[x]$.  Die Nullstellen von
  $f := \prod_{i=1}^{n}f_i$ liegen alle in $L$, weil $L$ nach Annahme normal
  ist.  Also ist $L$ der Zerfällungskörper von $f$ über $K$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis ``$\Leftarrow$'']
  Wenn $L/K$ ein Zerfällungskörper ist, dann haben wir schon in
  Satz~\ref{satz:h4} gesehen, dass $L$ normal ist.
\end{proof}

Ein wesentlicher Fakt zu normalen Erweiterungen ist, dass sich jede
Körpererweiterung immer zu einer normalen Körpererweiterung vergrößern lässt.
Der folgende Satz sagt, dass es unter all diesen Vergrößerungen eine kleinste
gibt, die sogar eindeutig ist.  Dabei bedeutet „eindeutig“ wie meistens in
dieser Vorlesung: eindeutig bis auf nicht-kanonische Isomorphie.

\begin{satzdef}[Normale Hülle einer Körpererweiterung]
  Zu jeder algebraischen Körpererweiterung $L/K$ gibt es eine Körpererweiterung
  $N/L$, sodass Folgendes gilt.
  \begin{enumerate}
  \item\label{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_1} Die Körpererweiterung $N/K$
    ist normal.
    
  \item\label{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_2} Wenn $N ⊇ Z ⊇ L$ ein
    Zwischenkörper ist und wenn $Z/K$ normal ist, dann ist $Z=N$.
  \end{enumerate}
  Zusätzlich gilt: wenn $\tilde{N}$ eine weitere Körpererweiterung ist, sodass
  \ref{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_1} und
  \ref{DefSatz_Koerpererweiterung_Aussage_2} gelten, dann sind $N$ und
  $\tilde{N}$ isomorph.  Man nennt $N$ die \emph{normale Hülle von
    $L/K$}\index{normale Hülle einer Körpererweiterung}.
\end{satzdef}
\begin{proof}
  \video{16-2}
\end{proof}


\section{Galoissche Körpererweiterungen}

Ich sagte es schon: Die besten Körpererweiterungen sind die, die maximal viele
Symmetrien (=Automorphismen) haben.  Dabei bedeutet „maximal“ nach
Beobachtung~\ref{beob:gg}: Die Anzahl der Automorphismen ist gleich dem
Erweiterungsgrad.  Diese Körpererweiterungen werden zu Ehren von Évariste Galois
die „Galoisschen“ Körpererweiterungen genannt.  Das Studium dieser Erweiterungen
und ihrer Symmetriegruppe wird heute mit „Galoistheorie“ bezeichnet.

\begin{satzdef}[Galoische Körpererweiterungen]
  Es sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung.  Dann sind folgende Aussagen
  äquivalent.
  \begin{enumerate}
  \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_1} Die Erweiterung
    $L/K$ ist normal und separabel.
    
  \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} Der Körper $L$
    ist der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$.
    
  \item\label{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_3} Es ist
    $|\Gal(L/K)| = [L:K]$.
  \end{enumerate}
  Solche Körpererweiterungen heißen \emph{Galoisch}\index{Galoissche
    Körpererweiterung}.
\end{satzdef}
\begin{proof}
  \video{16-3}
\end{proof}

\begin{bemerkung}
  Man kann auch einen sinnvollen und interessanten Begriff von Galoisch für
  unendliche Körpererweiterungen definieren, das machen wir in dieser Vorlesung
  aber nicht.  Wir verstehen unter einer Galoiserweiterung immer eine
  \emph{endliche} Körpererweiterung.
\end{bemerkung}

\begin{bsp}
  Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $0$.  Dann ist jedes Polynom separabel
  und die Galoiserweiterungen von $K$ sind gerade die Zerfällungskörper von
  Polynomen aus $K[x]$.
\end{bsp}

\begin{bsp}[Einfachstes Beispiel]\label{bsp:c-r}
  Die einfachste aller Galoiserweiterungen ist $ℂ/ℝ$.  Die Galoisgruppe ist
  $\Gal(ℂ/ℝ) = \{ \Id, \text{Konjugation} \}$.
\end{bsp}

\begin{bsp}\label{Markierung_fuer_Beweis_Hauptsatz_Galois_Aussage_1_1}%
  Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $K ⊆ Z ⊆ L$ ein Zwischenkörper, dann
  ist auch $L/Z$ Galoisch.  Das folgt zum Beispiel so: Der Körper $L$ ist nach
  Punkt~\ref{DefSatz_aequivalent_endliche_Koerpererweiterung_2} der
  Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $f ∈ K[x]$.  Dann ist $L$ aber
  auch der Zerfällungskörper von $f ∈ Z[x]$.  Die Galoisgruppe $\Gal(L/Z)$ ist
  eine Untergruppe von $\Gal(L/K)$, weil jeder $Z$-Morphismus $L → L$ immer auch
  schon ein $K$-Morphismus ist.  \textbf{Aber Achtung:} die Erweiterung $Z/K$
  ist nicht unbedingt Galoisch!  Wir haben im laufenden Kapitel~\ref{chap:15}
  auch schon ein Beispiel gesehen, wo das nicht der Fall ist.  Geben Sie
  \textbf{sofort} durch das Kapitel und finden Sie heraus, welches Beispiel ich
  meine.  Los jetzt!
\end{bsp}

\sideremark{Vorlesung 17}Mit den bisherigen Ergebnissen können wir über die
Galoisgruppe eines Polynoms jetzt schon folgendes sagen.

\begin{lem}
  Es sei $K$ ein Körper und es sei $L$ der Zerfällungskörper eines separablen
  Polynoms $f ∈ K[x]$ vom Grad $n$.  Die Nullstellen von $f$ in $L$ seien $a_1,
  …, a_n$.  Dann gilt Folgendes.
  \begin{enumerate}
  \item\label{il:y1} Jedes Gruppenelement $σ ∈ \Gal(f)$ permutiert die
    Nullstellen $a_1, …, a_n$.  Ein Gruppenelement $σ$ ist durch diese
    Vertauschung eindeutig festgelegt.  Also können wir $\Gal(f)$ als
    Untergruppe der Gruppe $S_n$ der Permutationen der Menge $\{a_1, …, a_n\}$
    auffassen.  Insbesondere gilt
    \begin{equation*}
      |\Gal(f)| ≤ |S_n| = n!.
    \end{equation*}
    
  \item\label{il:y2} Die Nullstellen der irreduziblen Faktoren von $f$ werden
    unter sich permutiert.
    
  \item\label{Bem_Galois_Punkt_3} Wenn $f$ irreduzibel ist, dann operiert
    $\Gal(f)$ transitiv auf der Menge der Nullstellen.  Mit anderen Worten: Für
    jedes Paar $a,b$ von Nullstellen gibt es ein $σ ∈ \Gal(f)$, sodass
    $σ(a) = b$ ist.
    
  \item\label{Bem_Galois_Punkt_4} Wenn $f$ irreduzibel ist, dann ist $n$ ein
    Teiler von $|\Gal(f)|$.
  \end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
  Die Aussagen~\ref{il:y1} und \ref{il:y2} haben wir schon lang bewiesen
  (wo?).  Die anderen Aussagen beweise ich im \video{17-1}.
\end{proof}

Das Wort „Konjugation“ aus Beispiel~\vref{bsp:c-r} wird in der Literatur auch
allgemeiner für beliebige Galoiserweiterungen verwendet.

\begin{defn}[Konjungierte Elemente]
  Es sei $L/K$ eine Galoiserweiterung und $a ∈ L$ sei ein Element.  Die Menge
  \[
    \{ σ(a) \::\: σ ∈ \Gal(L/K) \}
  \]
  ist natürlich gerade die Menge der Nullstellen des Minimalpolynoms von $a$
  über $K$.  Die Elemente dieser Menge heißen die
  \emph{galoiskonjugierten}\index{galoiskonjugierte Elemente} von $a$.
\end{defn}

\begin{bsp}\label{bsp:x-2}%
  Wir setzen das Beispiel~\vref{bsp:x-1} fort.  Dort haben wir schon gesehen,
  dass $ℚ(\sqrt[3]{2})/ℚ$ nicht Galoisch ist.  Der Zerfällungskörper des
  Polynoms $f = x³-2 ∈ ℚ[x]$ ist nämlich\footnote{Preisfrage: warum bezeichne
  ich den Zerfällungskörper mit dem Symbol „$N$“?}
  \[
    N = ℚ\bigl(a, ξ·a, ξ²·a\bigr).
  \]
  Ich behaupte gleich auch, dass $N = ℚ(\sqrt[3]{2},\sqrt3·i)$ ist, denn das
  wird später noch wichtig werden.  Die Erweiterung $N/ℚ$ ist Galoisch, denn
  $[N:ℚ(\sqrt[3]{2})] = 2$, also
  \begin{equation*}
    [N:ℚ] = 2· 3=6.
  \end{equation*}
  Die Gruppe $\Gal(f) = \Gal(N/ℚ)$ können wir als Untergruppe von $S_3$
  auffassen.  Wegen $|\Gal(f)| = [N:ℚ] = 6 = |S_3|$ folgt $\Gal(f) = S_3$.  Jede
  Permutation der Nullstellen $a$, $ξ·a$ und $ξ²·a$ lässt sich also durch ein
  Element aus $\Gal(f)$ realisieren.
\end{bsp}


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
%%% End:
