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\chapter{Die Sätze von Sylow}
\label{chap:18}

\sideremark{Vorlesung 20}Die Sätze von Sylow sind ganz wesentliche Aussagen zur
Struktur endlicher Gruppen.  Im Kern geht es um folgenden Punkt: gegeben eine
endliche Gruppe $G$ und eine Untergruppe $H ⊂ G$.  Dann ist wissen wir schon,
dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$.  Aber existiert auch zu jedem Teiler von $|G|$
auch tatsächlich eine Untergruppe?  Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze
von
Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter
Ludwig Mejdell Sylow} (* 12.~Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; †
7.~September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.

\begin{notation}
  Im Folgenden sei $p$ stets eine Primzahl.
\end{notation}


\section{Das zentrale Schlüssellemma und der Satz von Cauchy}

Die zentrale Beobachtung, auf der der ganze Inhalt dieses Kapitels aufbaut, ist
die folgende.

\begin{lemma}[Zentrales Schlüssellemma]\label{lem:zsl}
  Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung $p^m$, die auf einer endlichen Menge $M$
  operiert.  Weiter sei
  \begin{equation*}
    M_0 = \{ m ∈ M \::\: \forall g ∈ G: g· m = m \}
  \end{equation*}
  die Menge der Fixpunkte.  Dann ist
  $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$.
\end{lemma}
\begin{proof}
  Wir betrachten die $G$-Wirkung auf $M$ und interessieren uns für diejenigen
  Bahnen, die mehr als ein Element haben.  Wir bezeichnen diese Bahnen mit
  $B_1, …, B_n$.  Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt:
  \begin{equation*}
    |M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|.
  \end{equation*}
  Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass
  die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind.  Also ist $|B_i|$ ein
  Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung $|M| \equiv |M_0|
  \:\:(\operatorname{mod} p)$.
\end{proof}

Der Satz von
Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis
Cauchy} (* 21.~August 1789 in Paris; † 23.~Mai 1857 in Sceaux) war ein
französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter
Ordnung zu beweisen.

\begin{satz}[Satz von Cauchy]\label{Satz_von_Cauchy}
  Wenn die Ordnung einer endlichen Gruppe durch $p$ teilbar ist, dann existiert
  ein Element von Ordnung $p$.
\end{satz}
\begin{proof}
  Sei $G$ die Gruppe.  Betrachte die Menge
  \begin{equation*}
    M = \bigl\{ (a_1, …, a_p) ∈ G⨯ ⋯ ⨯ G \::\: a_1· a_2 ⋯ a_p = e \bigr\}.
  \end{equation*}
  Gegeben ein Tupel $(a_1, …, a_p) ∈ M$, dann stellen wir erst einmal fest, dass
  der letzte Eintrag des Tupels durch die ersten Einträge eindeutig bestimmt
  ist, $a_p = (a_1⋯ a_{p-1})^{-1}$.  Wir erhalten die folgende Gleichung,
  \begin{equation}\label{eq:x78}
    |M| = |G^{p-1}| = |G|^{p-1}.
  \end{equation}

  Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das
  zentrale Schlüssellemma anwenden.  Dazu lassen wir die zyklische Gruppe
  $ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische
  Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch $b· a =
  e$ gilt.  Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch die
  zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, …
  auch wieder in $M$ liegen.}.  Die Fixpunktmenge dieser Wirkung ist
  \[
    M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}.
  \]
  Wegen $(e, …, e) ∈ M_0$ ist schon einmal klar, dass $M_0 ≠ ∅$ ist.  Auf der
  anderen Seite folgt aus dem zentralen Schlüssellemma, dass
  \[
    |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M|
    \overset{\eqref{eq:x78}}{\equiv} |G|^{p-1} \equiv 0 \:\: (\operatorname{mod}
    p)
  \]
  ist.  Also existiert mindestens ein $a ≠ e$ mit $a^p=e$.  Nach
  Satz~\vref{Satz_Seite_163} hat $a$ dann automatisch die Ordnung $p$.
\end{proof}


\section{\texorpdfstring{$p$}{p}-Gruppen und \texorpdfstring{$p$}{p}-Sylowuntergruppen}

Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen
besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen.  Die
folgende Definition beschreibt den Extremfall.

\begin{definition}[$p$-Gruppe]
  Eine Gruppe $G$ heißt \emph{$p$-Gruppe}\index{p-Gruppe=$p$-Gruppe}, wenn die
  Ordnung jedes Elements eine Potenz von $p$ ist.
\end{definition}

\begin{satz}[An der Gruppenordnung sollt ihr sie erkennen]
  Eine endliche Gruppe ist genau dann eine $p$-Gruppe, wenn es eine Zahl $n ∈ ℕ$
  gibt, sodass $|G|=p^n$ ist.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$
  teilt, also eine Potenz von $p$.  Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann
  gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt.  Nach
  Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} („Satz von Cauchy“) gibt es dann aber auch ein
  Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein.
\end{proof}

\begin{satz}
  Jede endliche $p$-Gruppe $G ≠ \{e\}$ hat ein nicht-triviales Zentrum.
\end{satz}
\begin{proof}
  Wie in Beispiel~\vref{bsp:konju} betrachten wir die Wirkung von $G$ auf sich
  selbst durch Konjugation.  Die Fixpunkte dieser Wirkung bilden gerade das
  Zentrum von $G$.  Wir wissen aus dem zentralen Schlüssellemma~\ref{lem:zsl},
  dass
  \begin{equation*}
    |\Zentralisator(G)| \equiv |G| \equiv 0 \:\:(\operatorname{mod} p).
  \end{equation*}
  Aus $e ∈ \Zentralisator(G)$ folgt dann wieder $|\Zentralisator(G)| ≥ p$.
\end{proof}

Wenn eine gegebene Gruppe $G$ keine $p$-Gruppe ist, dann ist das dumm.  In
dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$
enthalten sind.  Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich
besonders gut.

\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}%
  Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von
  $G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet „maximal“ natürlich „maximal bezüglich
  Inklusion“.  Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil $\{e\}$ eine
  $p$-Untergruppe ist.  Für \emph{endliche} Gruppen ist die Existenz von
  $p$-Sylowuntergruppen klar.
\end{bemerkung}

\begin{lem}
  Es sei $G$ eine endliche beliebige Gruppe, es sei $G_p$ eine
  $p$-Sylowuntergruppe und es sei $g ∈ G$ ein Element.  Dann ist die Untergruppe
  $g·G_p·g^{-1} ⊆ G$ wieder eine $p$-Sylowuntergruppe.  Insbesondere gilt: wenn
  es in $G$ nur eine $p$-Sylowuntergruppe $G_p$ gibt, dann ist $G_p$ ein
  Normalteiler von $G$.
\end{lem}
\begin{proof}
  Die Gruppen $G_p$ und $g·G_p·g^{-1}$ haben gleich viele Elemente.  Um zu
  zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ eine $p$-Sylowuntergruppe ist, müssen wir also nur
  zeigen, dass $g·G_p·g^{-1}$ maximal ist.  Sei also $H ⊆ G$ eine $p$-Gruppe,
  die $g·G_p·g^{-1}$ enthält.  Dann ist $G_p ⊆ g^{-1}·H·g ≅ H$.  Also ist
  $g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}%
  Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$.  Wie in
  Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$.  Dann
  gilt
  \begin{equation*}
    [G:U] \equiv [N(U):U] \:\:(\operatorname{mod} p).
  \end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
  Die Gruppe $U$ wirkt durch Linksmultiplikation auf der Menge $M$ der
  Linksnebenklassen,
  \[
    M := \{ g· U \::\: g ∈ G\}.
  \]
  Wie immer sei $M_0 ⊆ M$ die Menge der Fixpunkte dieser Wirkung.  Wann ist eine
  Nebenklasse $g·U$ ein Fixpunkt dieser Wirkung?  Antwort: es ist
  \begin{align*}
    g·U ∈ M_0 & ⇔ \forall u ∈ U: u·g·U = g·U \\
              & ⇔ \forall u ∈ U: g^{-1}·u·g ∈ U \\
              & ⇔ g^{-1}·U·g = U \\
              & ⇔ g ∈ N(U).
  \end{align*}
  Also ist
  \[
    [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U]. \qedhere
  \]
\end{proof}
      
\begin{kor}
  Mit den gleichen Voraussetzungen wie in
  Satz~\ref{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze} gilt: wenn $p$ den Index $[G:U]$
  teilt, dann ist $U ⊊ N(U)$.
\end{kor}
\begin{proof}
  Es ist auf jeden Fall $e·U ∈ M_0$, also ist $|M_0| ≥ 1$.  Wegen der
  zusätzlichen Voraussetzung ist dann sogar $|M_0| ≥ p$.
\end{proof}


\section{Die Sätze von Sylow}

Die Sätze von Sylow\index{Sylow-Sätze} geben Auskunft über Existenz von
$p$-Sylowuntergruppen in gegebenen endlichen Gruppen.  Sie geben auch Auskunft
darüber, wie die Gruppen ineinander enthalten sind.

\begin{satz}[Erster Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Eins}
  Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Schreibe $|G| = p^n· m$, wobei $p \nmid m$
  sei.  Dann gelten folgende Aussagen.
  \begin{enumerate}
  \item\label{Satz_Sylow_erster_1} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n\}$ existiert
    eine $p$-Untergruppe von $G$ der Ordnung $pⁱ$.
    
  \item\label{Satz_Sylow_erster_2} Für jede Zahl $i ∈ \{0, …, n-1\}$ gilt: Jede
    Untergruppe der Ordnung $pⁱ$ ist Normalteiler einer Untergruppe der Ordnung
    $p^{i+1}$.
  \end{enumerate}
  Insbesondere hat jede $p$-Sylowuntergruppe von $G$ die Ordnung $p^n$.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{20-1}
\end{proof}

\begin{satz}[Zweiter Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Zwei}
  Es sei $G$ eine endliche Gruppe.  Zu jeder $p$-Untergruppe $U ⊂ G$ und zu
  jeder $p$-Sylowuntergruppe $P ⊆ G$ existiert ein $g ∈ G$, sodass
  $g·U·g^{-1} ⊂ P$ ist.  Insbesondere sind je zwei $p$-Sylowuntergruppen von $G$
  zueinander konjugiert.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{20-2}
\end{proof}

\begin{satz}[Dritter Sylow-Satz]\label{Satz_Sylow_Drei}
  Sei $s_p$ die Anzahl der verschiedenen $p$-Sylowuntergruppen einer endlichen
  Gruppe $G$.  Dann ist $s_p$ ein Teiler von $|G|$.  Weiterhin ist
  $s_p \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} p)$.
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{20-3}
\end{proof}


\section{Die Symmetriegruppe des Tetraeders}

Um die bisherigen Ergebnisse zu illustrieren, diskutiere ich noch einmal
ausführlich die Gruppe $G = S_4$, die Gruppe der Permutationen der Menge
$\{1, 2, 3, 4 \}$.  Um später die Galoisgruppe von Polynomen $4.$ Grades
auszurechnen, interessieren uns die besonders für die Untergruppen von $S_4$.


\subsection{Geometrische Interpretation}

Geometrisch lässt sich $S_4$ als Symmetriegruppe des Tetraeders interpretieren,
wie in Abbildung~\ref{fig:tetraeder} dargestellt.  Schauen Sie aber auf jeden
Fall auch einmal in den
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe}{Wikipedia-Eintrag zur
  Tetraedergruppe}.

\begin{figure}
  \centering

  \begin{tikzpicture}[scale=.75]
    \def \hoeheEins {0.25}
    \def \hoeheZwei {2.0}
    \def \weiteEins {0.5}
    \def \weiteZwei {1.5}
    \def \labelshift {.75}
    
    \node [label = {180:$1$}] (1) at (-\weiteZwei,-\hoeheEins) {};
    \node [label = {270:$2$}] (2) at ( \weiteEins,-\hoeheZwei) {};
    \node [label = {000:$3$}] (3) at ( \weiteZwei-\weiteEins, \hoeheEins) {};
    \node [label = {090:$4$}] (4) at (-\weiteEins, \hoeheZwei) {};
    \foreach \X in {1,2,3,4}{
      \fill (\X) circle (0.05);
    }
    \path (1)--(2)--(3)--(4)--(2)--(1)--(3);
    \draw (4)--(1)--(2)--(3)--(4)--(2);
    \draw[dashed] (1)--(3);
  \end{tikzpicture}
  
  \caption{Tetraeder}
  \label{fig:tetraeder}
\end{figure}


\subsection{Die Konjugationsklassen der Permutationsgruppe}

Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation.  Ich
frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt.  Die Antwort kennen Sie
wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im
Zusammenhang mit der Konstruktion von
Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie
Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; †
21.~Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen diskutiert.
Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich die
Sache noch einmal.

\begin{fakt}
  Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der
  Partitionen\footnote{Eine Partition von $n$ ist eine aufsteigende (endliche)
    Folge von positiven, natürlichen Zahlen, deren Summe gleich $n$ ist.
    Beispiel: $(1,2,3)$ und $(3,3)$ sind Partitionen von $6$.} von $n$ und den
  Konjugationsklassen in der Permutationsgruppe $S_n$.  \qed
\end{fakt}

Die Bijektion sieht so aus:
\begin{itemize}
\item Wenn eine Permutation $σ ∈ S_n$ gegeben ist, dann kann man $σ$ immer als
  Produkt disjunkter Zykel schrieben, zum Beispiel so
  \[
    σ = (1)(56)(78)(234) ∈ S_8.
  \]
  Diese Zykel haben in unserem Beispiel die Längen 1, 2, 2 und 3.  Ich erhalte
  die Partition $(1,2,2,3)$ von $8$.  In der Sprache dieser Vorlesung betrachten
  wir die von $σ$ erzeugte zyklische Untergruppe $H = (σ)$.  Diese Gruppe wirkt
  auf der Menge $M_8 := \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}$.  Die Zykel sind dann die Bahnen
  der $H$-Wirkung auf $M_8$.

\item Wenn zwei Permutationen $σ, τ ∈ S_n$ dieselbe Partition liefern, dann sind
  die trivialerweise zueinander konjugiert.  Statt großer Theorie erkläre ich
  das an einem Beispiel.  Gegeben seien
  \[
    σ = (1)(56)(78)(234) \quad\text{und}\quad τ = (4)(17)(58)(236).
  \]
  Dann betrachte die Permutation $g ∈ S_8$ gegeben durch
  \begin{align*}
    g(1) & = 4 & g(2) & = 2 & g(3) & = 3 & g(4) & = 6 \\
    g(5) & = 1 & g(6) & = 7 & g(7) & = 5 & g(8) & = 8
  \end{align*}
  und stelle fest, dass $σ = g^{-1}·τ·g$ ist.  Ich vermute, Sie durchschauen das
  System.  Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt oder verrechnet.
  
\item Jede Partition tritt auf.  Wenn Sie mir zum Beispiel die Partition
  $(2,3,3)$ der Zahl 8 geben, dann nehme ich die Permutation
  $σ = (12)(345)(678)$.
\end{itemize}

Für die Permutationsgruppe $S_4$ ist die Situation in Tabelle~\ref{fig:ks4}
zusammengefasst.

\begin{table}
  \centering

  \begin{tabular}{*{2}{>{$}c<{$}|}l*{2}{|>{$}c<{$}}}%|>{$}r<{$}}
    \text{Partition} & \text{Repräsentant} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.25cm}|}{Geometrische\linebreak Anschauung} & \text{Ordnung} & \multicolumn{1}{>{\centering\arraybackslash}m{3.75cm}}{Anzahl der Elemente\linebreak in der \linebreak Konjugationsklasse}\\
    \hline
    abcd & () & Identität & 1 & 1\\ [.5em]
    aabc & (12) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_reflection_plane_RK01.png}{Spiegelung} & 2 & \binom{4}{2}=6\\[.5em]
    aabb & (12)(34) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_2-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Achse} & 2 & 6/2 = 3\\[.5em]
    aaab & (123) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_3-fold_rotational_axes_RK01.png}{Drehung um Ecke} & 3 & 4· 2 = 8\\[.5em]
    aaaa & (1234) & \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraedergruppe#/media/Datei:Tetrahedron_with_4-fold_rotation-reflection_axis_RK01.png}{Drehspiegelung} & 4 & 3· 2 = 6
  \end{tabular}
  
  \caption{Konjugationsklassen in $S_4$}
  \label{fig:ks4}
\end{table}


\subsection{Die Untergruppen von $S_4$}

Die Gruppe $S_4$ hat Ordnung $1· 2· 3· 4 = 2³ · 3=24$.  Potenzielle Untergruppen
können also nur die folgenden Ordnungen haben.
\begin{description}
\item[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe $S_4$ sein.
  
\item[Ordnung 12:] Die Menge $A_4$ der geraden Permutationen, also der Kern der
  Signums-Abbildung, $\operatorname{sgn} : S_4 → ℤ/(2)$, ist eine Untergruppe
  von Ordnung 12.  Es ist im Moment unklar, ob weitere Untergruppen von Ordnung
  12 existieren.
  
\item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.  Die Anzahl $s_2$
  der 2-Sylow\-untergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} („Dritter
  Sylow-Satz“) ein Teiler von 24 mit $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$,
  also $s_2=1$ oder $s_2=3$.  Wir wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins}
  („Erster Sylow-Satz“), dass jedes Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer
  2-Sylowuntergruppe enthalten ist.  Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16
  solche Elemente gibt. Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.
  Also ist $s_2 = 3$.
  
\item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.
  
\item[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe
  der Ordnung 4.  Es ist im Moment aber unklar, ob weitere solche Untergruppen
  existieren.
  
\item[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von $S_4$ sein.  Diese
  Gruppen haben Ordnung 3 und alle nicht-trivialen Elemente müssen Ordnung 3
  haben.  Also sind die 3-Sylowuntergruppe zyklische Gruppen, die von Drehungen
  um Ecken erzeugt werden.  Es gibt 4 solcher Gruppen (denn es gibt $8$
  Drehungen, eine Gruppe enthält immer genau 2 Drehungen, und zwei zyklische
  Gruppen schneiden sich immer genau in der Einheit).
  
\item[Ordnung 2] Dies sind zyklische Gruppen, die von einem Element der Ordnung
  zwei (=Spiegelung bzw.  Drehung um eine Achse) erzeugt werden
  
\item[Ordnung 1] Dies muss die triviale Untergruppe $\{e\}$ sein.
\end{description}

Um die verbleibenden offenen Fragen zu klären, überlegt man sich am besten, wie
man sich die 2-Sylowuntergruppe vorstellt.  Wenn man in
Abbildung~\vref{fig:tetraeder} nur den Umriss des Tetraeders betrachtet, sieht
man, dass $D_4$ die Symmetriegruppe des Quadrates, eine Untergruppe von $S_4$
ist.  Wegen $|D_4| = 8$ ist das eine 2-Sylowuntergruppe.  Am Tetraeder lässt
sich diese Untergruppe als Stabilisator-Untergruppe der Achse der Drehung
$(13)(24)$ interpretieren.  Die Gruppen der Ordnung 4 findet man als
Untergruppen von $D_4$.  Die Gruppen der Ordnung 6 und 12 findet man durch
Kombinationen der Elemente von Ordnung 3 und 2.  Der Vollständigkeit halber sind
in Tabelle~\ref{fig:ugs4} alle Möglichkeiten der Konjugationsklassen von
Untergruppen von $S_4$ ohne Beweis aufgelistet.  In der Summe sehen Sie 30
Untergruppen.

\begin{fazit}
  Ein Zerfällungskörper eines Polynoms 4.\ Grades mit Galoisgruppe $S_4$ hat 30
  Zwischenkörper.  \qed
\end{fazit}

\begin{table}
  \centering

    \begin{tabular}{>{$}c<{$}|l|c|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}}
    \text{Gruppe} & \text{geometrisch} & Ordnung & Mächtigkeit der konjugierten Gruppen\\
    \hline
    S_4 & Symmetrie des Tetraeders & 24 & 1\\
    A_4 & Drehsymmetrien & 12 & 1\\
    D_4 & Stabilisatoren von Achsen & 8 & 3\\
    S_3 & Isotropiegruppe von Ecken & 6 & 4\\
    ℤ/(4) & Drehspiegelungen & 4 & 3\\
    ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Isotropie von Achsen & 4 & 3\\
    ℤ/(2)⨯ℤ/(2) & Drehungen um alle Achsen & 4 & 1\\
    ℤ/(3) & Drehungen um Ecken & 3 & 4\\
    ℤ/(2) & Drehung um eine Achse & 2 & 3\\
    ℤ/(2) & Spiegelungen & 2 & 6\\
    \{e\} & & 1 & 1\\
  \end{tabular}

  \caption{Untergruppen von $S_4$}
  \label{fig:ugs4}
\end{table}

      
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AlgebraZahlentheorie"
%%% End:
