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\chapter{Quadratische Reziprozität}
\label{chap:24}

\sideremark{Vorlesung 25}

In diesem Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' hatten wir bislang
noch sehr wenig Zahlentheorie.  Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch
ändern.  Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz
darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl
ist.

\begin{definition}[Quadratischer Rest]
  Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl, weiter sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$.  Die Zahl
  $a$ heißt \emph{quadratischer Rest modulo $p$}\index{quadratischer
    Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung
  \[
    x² \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)
  \]
  in $ℤ$ lösbar ist.  Andernfalls heißt \emph{quadratischer Nichtrest modulo
    $p$}.
\end{definition}

Wikipedia schreibt sinngemäß ``Die Entdeckung des quadratischen
Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in
den
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones
  Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die
Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.''.  Tatsächlich
handelt es sich um einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte,
von dem wir hier aber nur die Oberfläche ankratzen.  Schauen Sie einmal in das
Buch der Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz
  \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.}
\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare
Beweise und historische Anmerkungen.

\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}
  Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl.  Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ ℤ$ ein
  quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von
  $a$ in $𝔽_p$ ab.  Man nennt erweitert daher den Begriff von ``quadratischem
  Rest'' häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn
  die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist.  Die quadratischen Reste sind also
  die Elemente von
  \[
    (𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x²
    \Bigr) ⊂ 𝔽^*_p.
  \]
\end{bemerkung}

Wie viele quadratische Reste gibt es überhaupt?  Die Antwort ist einfach.

\begin{lem}\label{lem:24-0-3}
  Es sei $p ∈ ℕ$ eine ungerade Primzahl.  Dann gibt es in $𝔽_p$ genauso viele
  quadratische Reste wie Nichtreste.  Die (multiplikative) Untergruppe
  $(𝔽^*_p)² ⊂ 𝔽^*_p$ hat den Index 2.
\end{lem}
\begin{proof}
  Der surjektive Gruppenhomomorphismus
  \[
    𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x²
  \]
  hat den Kern $\{±1\}$.  Weil $p$ ungerade ist, hat der Kern genau 2 Elemente.
\end{proof}


\section{Das Legendre-Symbol}

Um den Begriff ``quadratischer Rest'' etwas quantitativer zu erfassen, führen
wir das
Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie
    Legendre} (* 18.  September 1752 in Paris; † 9.  Januar 1833 ebenda) war ein
  französischer Mathematiker.}-Symbol ein.

\begin{definition}[Legendre-Symbol]
  Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$.  Dann schreibe
  \[
    \left(\frac{a}{p}\right) :=
    \begin{cases}
      1 & \text{falls $a$ quadratischer Rest modulo $p$ ist} \\
      -1 & \text{falls $a$ quadratischer Nichtrest modulo $p$ ist} \\
      0 & \text{falls $a$ ein Vielfaches von $p$ ist}.
    \end{cases}
  \]
  Der Ausdruck wird als \emph{Legendre-Symbol} bezeichnet.  Analog zur
  Bemerkung~\ref{bem:qrmp} verwendet man das Symbol nicht nur für Zahlen
  $a ∈ ℤ$, sondern auch für Elemente $a ∈ 𝔽_p$.
\end{definition}

\begin{beobachtung}
  Weil es nach Lemma~\ref{lem:24-0-3} genau so viele quadratische Reste wie
  Nichtreste gibt, ist $\sum_{k=1}^{p-1} \left(\frac{k}{p}\right) = 0$ und
  deshalb
  \begin{equation}\label{eq:g4.2}
    \sum_{k=1}^{p-2} \left(\frac{k}{p}\right) = -\left(\frac{p-1}{p}\right) = -\left(\frac{-1}{p}\right) ∈ F.
  \end{equation}
\end{beobachtung}

Wir können noch etwas mehr über das Legendre-Symbol sagen.

\begin{lem}[Das Legendre-Symobl ist multiplikativ]\label{lem:lsim}
  Es sei $p$ eine ungerade Primzahl.  Die Abbildung
  \[
    𝔽^*_p → \{±1\}, \quad a ↦ \left(\frac{a}{p}\right)
  \]
  ist ein Gruppenhomomorphismus.
\end{lem}
\begin{proof}
  Erinnern Sie sich an Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164}:
  die multiplikative Gruppe $𝔽^*_p$ ist zyklisch!  Die Gruppe $𝔽^*_p$ hat genau
  $p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $ℤ/(p-1)$.  Wir
  beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit
  den geradzahligen Elementen von $ℤ/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl
  $(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff ``geradzahligen Elementen von
  $ℤ/(p-1)$'' sinnvoll verwendet werden kann.
  
  Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden
  Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht
    wollen Sie kurz nachrechnen, dass dies tatsächlich wohldefiniert ist!},
  \[
    ℓ : \factor{ℤ}{(2n)} → \factor{n·ℤ}{(2n)}, \quad a ↦ n·a.
  \]
  Die Gruppe $\factor{n·ℤ}{(2n)}$ hat genau zwei Elemente und kann deshalb mit
  der Gruppe $\{\pm1\}$ identifiziert werden.  Mit diesen Identifikationen
  schickt der Gruppenmorphismus $ℓ$ ein Element $a ∈ 𝔽^*_p ≅ ℤ/(2n)$ genau dann
  auf das neutrale Element $1 ∈ \{\pm1\}$, wenn $a ∈ ℤ/(2n)$ gerade ist, oder
  anders gesagt, wenn $a ∈ 𝔽^*_p$ ein quadratischer Rest modulo $p$ ist.  Der
  Gruppenmorphismus $ℓ$ \emph{ist} das Legendre-Symbol!
\end{proof}

\begin{lem}[Euler-Kriterium für das Legendre-Symobl]\label{lem:EK}
  Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$.  Dann
  gilt die Gleichung
  \[
    \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} \:\:(\operatorname{mod}
    p).
  \]
\end{lem}
\begin{proof}
  Noch einmal: die Gruppe $𝔽^*_p$ ist zyklisch von Ordnung $p-1$.  Also gilt für
  jede Zahl $b ∈ ℤ$, die teilerfremd zu $p$ ist stets die Gleichung
  \[
    b^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p).
  \]
  Wenn die Zahl $a$ ein quadratischer Rest Modulo $p$ ist, also von der Form
  $a \equiv b² \:\:(\operatorname{mod} p)$, dann gilt
  \[
    a^{\frac{p-1}{2}} \equiv b^{p-1} \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p).
  \]

  Als Nächstes sehen wir, dass das Polynom $x^{\frac{p-1}{2}} -1 ∈ 𝔽_p[x]$
  höchstens $\frac{p-1}{2}$ Nullstellen hat.  Das sind wohl genau die
  quadratischen Reste, von denen es nach Lemma~\ref{lem:24-0-3} ja genau
  $\frac{p-1}{2}$ viele gibt.  Wenn $a$ also ein quadratischer Nichtrest modulo
  $p$ ist, dann ist
  \[
    a^{\frac{p-1}{2}} \not \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p) \quad\text{und}\quad a^{p-1} \equiv (a^{\frac{p-1}{2}})² \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} p).
  \]
  Also muss wohl $a^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1 \:\:(\operatorname{mod} p)$ sein.
  Damit ist das Euler-Kriterium in jedem Fall bewiesen.
\end{proof}


\section{Quadratische Reziprozität}

Mit diesen Vorbereitungen können wir das quadratische Reziprozitätsgesetz
formulieren.

\begin{satz}[Quadratisches Reziprozitätsgesetz]\label{satz:qrg}
  Es seien $p$ und $q$ zwei unterschiedliche, ungerade Primzahlen.  Dann gilt
  die Gleichung
 \[
   \left(\frac{p}{q}\right)·\left(\frac{q}{p}\right) =
   (-1)^{\frac{p-1}{2}·\frac{q-1}{2}}.
 \]
\end{satz}

\begin{rem}
  Das quadratische Reziprozitätsgesetz ist höchst erstaunlich, denn es ist
  überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und
  $\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben!  Es gibt in der
  Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer
  ``Reziprozitätsgesetze'', bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr
  tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt.
\end{rem}

Für die Zwecke von Übungsaufgaben und Klausuren halten wir fest, dass man mit
dem quadratischen Reziprozitätsgesetz Legendre-Symbole sehr einfach und
effizient ausrechnen kann.  Statt großer Theorie mache ich einfach ein Beispiel.

\begin{bsp}[Effiziente Berechnung von Legendre-Symbolen]
  Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17?
  \begin{align*}
    \left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\
                              & = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3)
  \end{align*}
  Also ist die Antwort: ``nein!''
\end{bsp}


\subsection{Beweis des Reziprozitätsgesetzes}

Für das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt es viele Beweise.  Gauß selbst war
so begeistert, dass er acht unterschiedliche Beweise vorlegte, Eisenstein
lieferte fünf weitere.  Das Buch \cite[Appendix~B]{MR1761696} nennt 196
unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der
Mathematik seit Gauß und Euler.  Das Buch der Beweise
\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} stellt zwei der Schönsten vor, der hier
gezeigte Beweis ist im Wesentlichen aus dem Buch \cite{zbMATH06333926}
abgeschrieben.  Wenn Sie den Beweis nicht mögen, finden Sie in den
hervorragenden Skripten des Bayreuther Kollegen
\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/}{Michael Stoll} einen
\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/EinfZAS-WS2014/Skript-EinfZAS-pub-screen.pdf}{anderen
  Beweis}.  Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen
\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Beweis
  mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}.

\bigskip

Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen.  Der Primkörper von $F$
is $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$.  Nach
Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative
Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen.  Nach dem kleinen
Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und
Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches
von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von
Cauchy'') ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$.  Wir beobachten schon einmal,
dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit
$ξ ∈ F^*$ nicht ändert.  Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt,
\begin{equation}\label{eq:g4.1}
  \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F.
\end{equation}

Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
\[
  G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F.
\]

\begin{behauptung}\label{beh:0}
  Es sei $n ∈ ℤ$ kein Vielfaches von $p$.  Dann gelten im Körper $F$ die
  Gleichungen
  \[
    \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n}
    \quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ =
    \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}
  \]
\end{behauptung}
\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}]
  Die Annahme, dass $n ∈ ℤ$ kein Vielfaches von $p$ ist, bedeutet, dass die
  Abbildung
  \begin{equation}\label{eq:xcvx}
    𝔽_p → 𝔽_p, \quad x → n·x
  \end{equation}
  bijektiv ist.  Weil die Elemente $\left(\frac{in}{p}\right)$ und $ξ^{i·n}$
  jeweils nur von der Restklasse von $i·n$ modulo $p$ abhängen zeigt
  Bijektivität von \eqref{eq:xcvx} daher, dass sich die linken und die rechten
  Seiten der Gleichungen nur um die Summationsreihenfolge unterscheiden.
  \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:0})}
\end{proof}

\begin{behauptung}\label{beh:1}
  Im Körper $F$ gilt die Gleichung $G^q = \left(\frac{q}{p}\right)·G$.
\end{behauptung}
\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:1}]
  Wir rechnen die Behauptung direkt nach.
  \begin{align*}
    G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\
        & = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\
        & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\
        & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}
  \end{align*}
  Damit ist die Behauptung bewiesen.  \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})}
\end{proof}

\begin{behauptung}\label{beh:2}
  Im Körper $F$ gilt die Gleichung $G² = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p$.  Insbesondere
  ist $G ≠ 0$ in $F$.
\end{behauptung}
\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:2}]
  Der Beweis der Behauptung~\ref{beh:2} ist eine direkte, aber ziemlich lästige
  Rechnung, die alle bisherigen Beobachtungen nutzt.
  \begin{align*}
    G² & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^j \right) \\
       & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^j \right) \right) \\
       & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{ji}{p}\right)·ξ^{ji} \right) \right) && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}\\
       & = \sum_{i=1}^{p-1} \left( \left(\frac{i²}{p}\right)·\left( \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^{(j+1)i} \right) \right) && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\
       & = \sum_{i=1}^{p-1} \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)·ξ^{(j+1)i} && i²\text{ ist quadratischer Rest} \\
       & = \sum_{j=1}^{p-1} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\
       & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\
       & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\
       & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\
       & = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
  \end{align*}
  Damit ist die Behauptung bewiesen.  \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})}
\end{proof}

Alles, was wir nun noch machen müssen, ist, das Körperelement $G^q ∈ F$ mithilfe
der Behauptungen \ref{beh:1} und \ref{beh:2} auf zwei unterschiedliche Arten
auszudrücken, und die so entstandenen Formeln zu vergleichen.
\begin{align*}
  \left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\
                               & = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\
                               & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\
                               & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
\end{align*}
Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir
kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung.  \qed


\section{Die Ergänzungssätze}

Der Vollständigkeit halber erwähne ich noch zwei Sätze, die das Rechnen mit
Legendre-Symbolen und der quadratischen Reziprozität vereinfachen.  Die Beweise
sind uninspirierend und werden deshalb weggelassen.

\begin{satz}[1.~Ergänzungssatz]
  Für jede ungerade Primzahl $p ∈ ℕ$ gilt
  \[
    \left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} =
    \begin{cases}
      1 & \text{falls } p \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 4) \\
      -1 & \text{sonst}
    \end{cases} \eqno \qed
  \]
\end{satz}

\begin{satz}[2.~Ergänzungssatz]
  Für jede ungerade Primzahl $p ∈ ℕ$ gilt
  \[
    \left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p²-1}{8}} =
    \begin{cases}
      1 & \text{falls } p \equiv \pm1 \:\:(\operatorname{mod} 8) \\
      -1 & \text{sonst}
    \end{cases} \eqno \qed
  \]
\end{satz}


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