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Book/Basics.lean

@@ -49,13 +49,13 @@ example (x y : ℚ) (h : x = y) : x + 1 = y + 1 := by
 
 Definition 2.1.1 des Skripts:
 
-> *Definition (Gruppe).* Eine Gruppe ist eine nicht-leere Menge `G`
-> mit einer Abbildung `m : G ⨯ G → G`, sodass folgende Eigenschaften
-> gelten.  _Assoziativität:_ … _Neutrales Element:_ Es gibt genau ein
-> Element `e` aus `G`, sodass für alle `a` aus `G` gilt:
-> `m(e,a) = m(a,e) = a`.  _Inverse Elemente:_ Für alle `a` aus `G`
-> gibt es genau ein Element `b` aus `G`, sodass `m(a,b) = m(b,a) = e`
-> ist.
+> *Definition (Gruppe).* Eine Gruppe ist eine nicht-leere Menge $`G`
+  mit einer Abbildung $`m : G \times G \to G`, sodass folgende
+  Eigenschaften gelten.  _Assoziativität:_ … _Neutrales Element:_ Es
+  gibt genau ein Element $`e` aus $`G`, sodass für alle $`a` aus $`G`
+  gilt: $`m(e,a) = m(a,e) = a`.  _Inverse Elemente:_ Für alle $`a`
+  aus $`G` gibt es genau ein Element $`b` aus $`G`, sodass
+  $`m(a,b) = m(b,a) = e` ist.
 
 In Mathlib ist eine Gruppe eine Typklasse `Group G`.  Die Verknüpfung
 schreibt sich `a * b`, das neutrale Element `1`, das Inverse `a⁻¹`;
@@ -68,9 +68,10 @@ Widerspruch — die Eindeutigkeit folgt aus den übrigen Axiomen.  Genau
 das beweisen wir jetzt, mit dem Standardargument aus der linearen
 Algebra:
 
-> Es sei `e` ein weiteres Element, das von links neutral wirkt.  Weil
-> `1` neutral ist, gilt `e·1 = e`.  Weil `e` neutral wirkt, gilt
-> `e·1 = 1`.  Zusammen folgt `e = e·1 = 1`.
+> Es sei $`e` ein weiteres Element, das von links neutral wirkt.
+  Weil $`1` neutral ist, gilt $`e \cdot 1 = e`.  Weil $`e` neutral
+  wirkt, gilt $`e \cdot 1 = 1`.  Zusammen folgt
+  $`e = e \cdot 1 = 1`.
 
 Der Lean-Beweis benutzt die Taktik `calc`, die eine Kette von
 Gleichungen Schritt für Schritt abarbeitet — das Lean-Gegenstück zur
@@ -87,9 +88,13 @@ theorem neutral_eindeutig {G : Type*} [Group G] (e : G)
 
 # Übungsaufgabe
 
-Zeigen Sie ebenso die Eindeutigkeit des Inversen: Wenn `a·b = 1` ist,
-dann ist `b` bereits _das_ Inverse `a⁻¹`.  Das Standardargument:
-`b = 1·b = (a⁻¹·a)·b = a⁻¹·(a·b) = a⁻¹·1 = a⁻¹`.  Öffnen Sie
+Zeigen Sie ebenso die Eindeutigkeit des Inversen: Wenn
+$`a \cdot b = 1` ist, dann ist $`b` bereits _das_ Inverse $`a^{-1}`.
+Das Standardargument:
+
+$$`b = 1 \cdot b = (a^{-1} \cdot a) \cdot b = a^{-1} \cdot (a \cdot b) = a^{-1} \cdot 1 = a^{-1}`
+
+Öffnen Sie
 `AlgebraInLean/Basics.lean` und ersetzen Sie das `sorry` durch einen
 Beweis — `calc` und die Lemmata `one_mul`, `inv_mul_cancel`,
 `mul_assoc`, `mul_one` genügen.