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\selectlanguage{german}
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\chapter{Tensorprodukte mit mehreren Faktoren}
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\label{sec:tAlg}
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\sideremark{Vorlesung 22}Das laufende Kapitel heißt ``Multilineare Algebra'',
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bislang haben wir bei der Diskussion des Tensorprodukts aber nur Bilinearformen
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betrachtet. Das werden wie jetzt ändern. Die Sätze und Beweise in diesem
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Abschnitt laufen alle ganz analog zu denen, die wir im vorhergehenden Abschnitt
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schon gesehen haben; es gibt also in diesem Abschnitt sehr wenig Neues. Ich
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werde die langweiligen Beweise in diesem langweiligen Abschnitt deshalb meist
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weglassen und mich darauf beschränken, die wesentlichen Sätze einfach nur zu
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nennen.
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\section{Definition, Existenz und Eindeutigkeit}
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Die Definition des Tensorprodukts von zwei Vektorräumen hängt sehr an unserem
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Begriff ``bilineare Abbildung''. Um das Tensorprodukt auch für eine größere
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Zahl von Faktoren zu definieren, betrachten wir ganz analog ``multilineare
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Abbildungen''.
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\begin{defn}[Multilineare Abbildungen]
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien seien $W$ und $V_1, …, V_n$
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jeweils $k$-Vektorräume. Eine Abbildung
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\[
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s: V_1⨯ V_2 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W
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\]
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heißt \emph{multilinear}\index{multilineare Abbildung}, falls für alle
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$1 ≤ i ≤ n$ und alle Vektoren $\vec{v}_1 ∈ V_1, …, \vec{v}_n ∈ V_n$ und alle
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Skalare $λ ∈ k$ und alle $\vec{w} ∈ V_i$ die folgenden Gleichungen gelten:
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\begin{multline*}
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s(\vec{v}_1, …, \vec{v}_{i-1}, \vec{v}_i + λ·\vec{w}, \vec{v}_{i+1}, …, \vec{v}_n) = s(\vec{v}_1, …, \vec{v}_{i-1}, \vec{v}_i, \vec{v}_{i+1}, …, \vec{v}_n) \\
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+ λ·s(\vec{v}_1, …, \vec{v}_{i-1}, \vec{w}, \vec{v}_{i+1}, …, \vec{v}_n).
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\end{multline*}
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\end{defn}
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Mit diesem Begriff von ``Multilinearform'' können wir jetzt ganz allgemein
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Tensorprodukte von mehr als zwei Vektorräumen definieren.
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\begin{defn}[Tensorprodukt]\label{def:16-1-2}
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume
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$V_1, …, V_n$ gegeben. Ein \emph{Tensorprodukt von
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$V_1, …, V_n$}\index{Tensorprodukt!von mehreren Vektorräumen} ist ein
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Vektorraum $T$ zusammen mit einer multilinearen Abbildung
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$τ: V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → T$, so dass für alle multilinearen Abbildungen
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$s: V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$ genau eine lineare Abbildung $η: T → W$ existiert, so
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dass das folgende Diagramm kommutiert
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\[
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\begin{tikzcd}[column sep=2cm]
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V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n \ar[r, "τ\text{, multilin.}"] \ar[d, equal] & T \ar[d, "∃! η\text{, linear}"]\\
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V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n \ar[r, "s\text{, multilin.}"'] & W .
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\end{tikzcd}
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\]
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\end{defn}
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Genau wie in den Sätzen \ref{satz:15-1-2} und \ref{satz:15-1-3} beweist man
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Existenz und Eindeutigkeit des Tensorprodukts.
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\begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:16-1-3}
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume
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$V_1, …, V_n$ gegeben. Weiter seien $τ_1 : V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → T_1$ und
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$τ_1 : V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → T_2$ zwei Tensorprodukte. Dann gibt es einen
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kanonischen Isomorphismus $T_1 ≅ T_2$. \qed
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\end{satz}
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\begin{satz}[Existenz des Tensorproduktes]\label{satz:16-1-4}
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume
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$V_1, …, V_n$ gegeben. Dann existiert ein Tensorprodukt. \qed
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\end{satz}
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\begin{notation}[Notation rund um Tensorprodukte mit mehreren Faktoren]
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume
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$V_1, …, V_n$ gegeben. Wie bei Tensorprodukten mit zwei Faktoren missbrauchen
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wir die Sprache, sprechen von ``dem Tensorprodukt'' und schreiben
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\[
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τ : V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n.
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\]
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Wie zuvor schreiben wir die Bilder $τ(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ als
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$\vec{v}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}_n$ und bezeichnen diese Tensoren als
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\emph{rein}\index{Reine Tensoren}.
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\end{notation}
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\begin{notation}[Mehrfache Produkte]
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Gegeben einen $k$-Vektorraum $V$ und eine Zahl $n$, schreiben wir kurz
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$V^{⊗ n}$ für das $n$-fache Produkt $V ⊗ ⋯ ⊗ V$. Für den Fall $n=0$
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definieren wir zusätzlich: $V⁰ := k$. Entsprechend schreiben wir für einen
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Vektoren $\vec{v} ∈ V$ auch $\vec{v}^{⊗ n}$ für das $n$-fache Produkt
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$\vec{v} ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}$.
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\end{notation}
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\section{Assoziativität}
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Zusätzlich zu ``Existenz'' und ``Eindeutigkeit'' gibt es beim Tensorprodukt mit
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mehreren Faktoren noch eine Frage, die im Fall von zwei Faktoren irrelevant ist:
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die Assoziativität. Der folgende Satz klärt alles.
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\begin{satz}[Assoziativität des Tensorproduktes]
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ und es seien $k$-Vektorräume
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$V_1, …, V_n$ gegeben. Gegeben einen Index $1 ≤ i < n$, dann sind die
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Vektorräume
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\[
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V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n \quad \text{und} \quad V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_{i-1} ⊗ (V_i ⊗ V_{i+1}) ⊗ V_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ V_n
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\]
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kanonisch isomorph.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Ich gebe keinen vollen Beweis sondern diskutiere nur die Idee. Sie sollten an
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dieser Stelle nicht mehr überrascht sein, dass der kanonische Isomorphismus
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aus der universellen Eigenschaft kommt! Sei also ein Index $i$ gegeben.
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Betrachten Sie die Abbildung
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\[
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\begin{matrix}
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φ : & V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n & → & V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_{i-1} ⊗ (V_i ⊗ V_{i+1}) ⊗ V_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ V_n\\
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& (\vec{v}_1, …, \vec{v}_n) & ↦ & \vec{v}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}_{i-1} ⊗ (\vec{v}_i ⊗ \vec{v}_{i+1}) ⊗ \vec{v}_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}_n.
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\end{matrix}
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\]
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und rechnen Sie sofort und auf der Stelle nach, dass diese Abbildung
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multilinear ist. Deshalb liefert uns die universelle Eigenschaft aus
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Definition~\ref{def:16-1-2} eine Abbildung $η$ und ein kommutatives Diagramm
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wie folgt,
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\[
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\begin{tikzcd}[column sep=2cm]
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V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n \ar[r, "τ\text{, multilin.}"] \ar[d, equal] & V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n \ar[d, "∃! η\text{, multilin.}"]\\
|
||
V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n \ar[r, "φ\text{, multilin.}"'] & V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_{i-1} ⊗ (V_i ⊗ V_{i+1}) ⊗ V_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ V_n .
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\end{tikzcd}
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\]
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Wie immer rechne man jetzt nach, dass die Abbildung $η$ ein Isomorphismus ist.
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\end{proof}
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\section{Basen, Tensorprodukte von Abbildungen, Rechenregeln}
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Alle Sätze aus Abschnitt~\ref{sec:TProd} gelten völlig analog auch für
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Tensorprodukte mit mehreren Faktoren. Die Beweise sind praktisch unverändert,
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erfordern aber mehr Schreibaufwand (ich empfehle DIN-A3 quer). Ich zähle
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jeweils ohne Beweis die wesentlichen Punkte auf.
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\begin{itemize}
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\item Alle Tensoren sind endliche Summen von reinen Tensoren.
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\item Gegeben Erzeugendensysteme oder Basen von $V_1$, …, $V_n$ dann finden wir
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Erzeugendensysteme oder Basen von $V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n$.
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\item Gegeben angeordnete Basen von $V_1$, …, $V_n$ dann finden wir eine
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lexikographisch angeordnete Basis von $V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n$.
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\item Falls alle $V_{•}$ endlich-dimensional sind, dann ist
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$\dim V_1 ⊗ ⋯ ⊗ V_n = \prod_i \dim V_i$
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\item Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen induzieren lineare Abbildungen
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zwischen den Tensorprodukten.
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\item Man definiert ein Kronecker-Produkt mit mehr als zwei Faktoren. Die
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induzierte lineare Abbildungen zwischen den Tensorprodukten ist durch das
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Kronecker-Produkt von Matrizen beschrieben.
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\item Satz~\ref{satz:15-5-1} über das Zusammenspiel von Tensorprodukten und
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direkten Summen gilt ganz analog.
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\end{itemize}
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\section{Die Tensoralgebra}
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\label{sec:tAlg2}
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Gegeben einen Körper $k$, einen $k$-Vektorraum $V$ und zwei positive Zahlen $a$
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und $b ∈ ℕ^+$, definieren wir wie folgt eine Abbildung
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\[
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\begin{matrix}
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m_{ab} : & V^{⊗ a} ⨯ V^{⊗ b} & → & V^{⊗ (a+b)} \\
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& \bigl( (\vec{v}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}_a), (\vec{w}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{w}_b)\bigr) & ↦ & \vec{v}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}_a ⊗ \vec{w}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{w}_b
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\end{matrix}
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\]
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Zusätzlich definieren wir noch die trivialen Randfälle
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\[
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\begin{matrix}
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m_{0b} : & V^{⊗ 0} ⨯ V^{⊗ b} & → & V^{⊗ b} \\
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& \bigl( λ, (\vec{w}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{w}_b)\bigr) & ↦ & λ·(\vec{w}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{w}_b)
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\end{matrix}
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\]
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und
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\[
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\begin{matrix}
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m_{a0} : & V^{⊗ a} ⨯ V^{⊗ 0} & → & V^{⊗ a} \\
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& \bigl( (\vec{v}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}_a), λ\bigr) & ↦ & λ·(\vec{v}_1 ⊗ ⋯ ⊗ \vec{v}_a)
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\end{matrix}
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||
\]
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||
und
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\[
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\begin{matrix}
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||
m_{00} : & V^{⊗ 0} ⨯ V^{⊗ 0} & → & V^{⊗ 0} \\
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& (λ,ν) & ↦ & λ·ν.
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\end{matrix}
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\]
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Diese ``Definitionen'' verwenden die schreckliche Notation~\ref{15-2-7}.
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Schauen Sie sich die Notation noch einmal an und rechnen Sie als Hausaufgabe
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nach, dass die Abbildung wohldefiniert ist! Was war dazu noch einmal genau zu
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zeigen? Die Abbildung $m_{ab}$ sieht ein bisschen aus wie eine
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Multiplikationsabbildung. Der relevante Begriff ist der einer $k$-Algebra: dies
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ist ein Vektorraum, der um eine mit der Vektorraumstruktur verträgliche
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Multiplikation erweitert wurde.
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\begin{defn}[Algebra über einem Körper]
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Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{$k$-Algebra}\index{Algebra} oder
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\emph{Algebra über $k$} ist ein $k$-Vektorraum $V$ zusammen mit einer
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bilinearen Abbildung
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\[
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m : V ⨯ V → V.
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\]
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Zusätzlich:
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\begin{itemize}
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\item Die Algebra heißt \emph{kommutativ}\index{kommutative
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Algebra}\index{Algebra!kommutativ}, wenn für alle Vektoren $\vec{v}_1$,
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$\vec{v}_2 ∈ V$ die Gleichheit
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$m(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = m(\vec{v}_2, \vec{v}_1)$ gilt.
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\item Die Algebra heißt \emph{assoziativ}\index{assoziative
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Algebra}\index{Algebra!assoziativ}, wenn für alle Vektoren $\vec{v}_1$,
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$\vec{v}_2$, $\vec{v}_3 ∈ V$ die Gleichheit
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$m\bigl(\vec{v}_1, m(\vec{v}_2, \vec{v}_3)\bigr) = m\bigl(m(\vec{v}_1,
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\vec{v}_2), \vec{v}_3 \bigr)$ gilt.
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\item Man sagt, die Algebra \emph{besitzt eine Eins}\index{Algebra!mit Eins},
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falls es ein Element $\vec{e} ∈ V$ gibt, so dass für alle Vektoren
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$\vec{v} ∈ V$ die Gleichheit
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$m(\vec{e}, \vec{v}) = m(\vec{v}, \vec{e}) = \vec{v}$ gilt.
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\end{itemize}
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\end{defn}
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Beispiele für Algebren kennen Sie schon.
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\begin{bsp}[Polynome]
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $V := k[x]$, der Vektorraum der Polynome in
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der Variablen '$x$' mit Koeffizienten in $k$. Die Abbildung $m$ sei die
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Multiplikation von Polynomen. Diese Algebra ist kommutativ, assoziativ und
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besitzt eine Eins.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Stetige Funktionen]
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Es sei $V := C^{∞}([0,1])$ der reelle Vektorraum der stetigen Funktionen auf
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dem Einheitsintervall. Die Abbildung $m$ sei die Multiplikation von
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Funktionen. Diese Algebra ist kommutativ, assoziativ und besitzt eine Eins.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Matrizen]
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $n$ eine Zahl und es sei $V := \Mat(n⨯ n, k)$,
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der Vektorraum der $(n⨯ n)$-Matrizen. Die Abbildung $m$ sei die
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Matrixmultiplikation. Diese Algebra ist nicht kommutativ, aber assoziativ und
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besitzt eine Eins.
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\end{bsp}
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Jetzt definieren wir die Tensoralgebra.
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\begin{konstruktion}[Tensoralgebra]
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $V$ ein $k$-Vektorraum. Betrachte den
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Vektorraum
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\[
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T := \bigoplus_{n ∈ ℕ} V^{⊗ n}
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\]
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und die Abbildung
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\[
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m : T ⨯ T → T, \quad \bigl( (\vec{v}_a)_{a ∈ ℕ}, (\vec{w}_b)_{b ∈ ℕ} \bigr)
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↦ \sum^{∞}_{c=0}\sum^c_{a+b=c} m_{ab}(\vec{v}_a, \vec{w}_b).
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\]
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Erinnern Sie sich dazu noch einmal an die Definition der direkten Summe und
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vergewissern Sie sich, dass die Summen alle endlich sind! Ich behaupte ohne
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Beweis, dass dies eine assoziative Algebra mit Eins definiert. Diese wird in
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der Literatur \emph{Tensoralgebra}\index{Tensoralgebra} genannt.
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\end{konstruktion}
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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