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\selectlanguage{german}
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\chapter{Das Tensorprodukt}
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\label{sec:TProd}
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\sideremark{Vorlesung 21}
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\section{Worum geht es?}
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Wie immer sei $k$ ein Körper. Das Tensorprodukt von zwei $k$-Vektorräumen $U$
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und $V$ ist ein neuer Vektorraum, genannt $U⊗V$, dessen wichtigste Eigenschaft
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es ist, dass all bilinearen Abbildungen von $U⨯V → W$ ``von $U⊗V$ kommen'', und
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zwar für jeden Vektorraum $W$. Die folgende Definition, die das Tensorprodukt
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mal wieder durch eine universelle Eigenschaft definiert, macht diese Bemerkung
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präzise.
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\begin{defn}[Tensorprodukt]
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Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Ein
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\emph{Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!von Vektorräumen} von $U$ und $V$ ist
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ein $k$-Vektorraum $T$ zusammen mit einer bilineare Abbildung $τ: U⨯V → T$, so
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dass folgende Eigenschaft gilt: für alle bilinearen Abbildungen $s: U⨯V → W$
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gibt es genau eine lineare Abbildung $η: T → W$, so dass das folgende Diagramm
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kommutiert:
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\[
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\begin{tikzcd}[column sep=2cm]
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U⨯V \ar[r, "τ\text{, bilinear}"] \ar[d, equal] & T \ar[d, "∃!η\text{, linear}"]\\
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U⨯V \ar[r, "s\text{, bilinear}"'] & W .
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\end{tikzcd}
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\]
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\end{defn}
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Wie immer folgt aus der universellen Eigenschaft, dass Tensorprodukte, falls sie
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überhaupt existieren, eindeutig sind bis auf kanonische Isomorphie.
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\begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:15-1-2}
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Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Weiter
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seien $τ_1 : U⨯ V → T_1$ und $τ_1 : U⨯ V → T_2$ zwei Tensorprodukte. Dann
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gibt es einen kanonischen Isomorphismus $T_1 ≅ T_2$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{21-1}
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\end{proof}
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Für die Existenz von Tensorprodukten müssen wir relativ hart arbeiten.
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\begin{satz}[Eindeutigkeit des Tensorproduktes]\label{satz:15-1-3}
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Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Dann
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existiert ein Tensorprodukt.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{21-2}
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\end{proof}
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\begin{notation}[Tensorproduktraum]\label{not:15-1-3}
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Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Wegen
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Satz~\ref{satz:15-1-2} und Satz~\ref{satz:15-1-3} werde ich (unter leichtem
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Missbrauch der Sprache) von \emph{dem Tensorprodukt} sprechen und jede
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Tensorproduktraum mit $U⊗V$ bezeichnen. Die Elemente von $U⊗V$ heißen in der
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Literatur oft \emph{Tensoren}\index{Tensor}.
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\end{notation}
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\begin{notation}[Produkt von Vektoren]\label{not:15-1-4a}
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In der Situation von Notation~\ref{not:15-1-3} seien Vektoren $\vec{u} ∈ U$
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und $\vec{v} ∈ V$ gegeben. Dann wird der Tensor
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$τ\bigl( (\vec{u}, \vec{v}) \bigr) ∈ U⊗V$ auch \emph{Tensorprodukt der
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Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$}\index{Tensorprodukt!von Vektoren} genannt
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und mit $\vec{u}⊗\vec{v}$ bezeichnet.
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\end{notation}
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\begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]
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Betrachten Sie den Vektorraum $ℝ²$ mit der Standardbasis
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$\{ \vec{e}_1, \vec{e}_2 \}$ und beweisen Sie direkt mit Hilfe der Definition,
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dass die Tensoren
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\[
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\vec{e}_1⊗\vec{e}_1,\quad \vec{e}_1⊗\vec{e}_2,\quad \vec{e}_2⊗\vec{e}_1,
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||
\quad\text{und}\quad \vec{e}_2⊗\vec{e}_2
|
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\]
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linear unabhängig sind.
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\end{aufgabe}
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\section{Reine Tensoren}
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Im Moment haben wir wahrscheinlich noch keine Vorstellung vom Tensorproduktraum
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$T$; wir wissen noch nicht einmal, wie viele Elemente der Tensorproduktraum
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überhaupt hat. Die einzigen Element, die wir direkt sehen, sind die Elemente
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der Form $\vec{u}⊗ \vec{v}$ --- von denen wir aber im Moment noch nicht einmal
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wissen, ob sie Null sind oder nicht.
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\begin{notation}[Reine Tensor]\label{not:15-1-4b}
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In der Situation von Notation~\ref{not:15-1-3} sei ein Tensor $\vec{τ} ∈ U⊗V$
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gegeben. Man nennt $\vec{τ}$ einen \emph{reinen
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Tensor}\index{Tensor!reiner}\index{reiner Tensor}, wenn es Vektoren
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$\vec{u} ∈ U$ und $\vec{v} ∈ V$ gibt, so dass $\vec{τ} = \vec{u}⊗\vec{v}$ ist.
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\end{notation}
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\begin{bemerkung}[Darstellung von reinen Tensoren ist nicht eindeutig]
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Selbst wenn ein gegebener $\vec{τ} = \vec{u}⊗\vec{v} ∈ U⊗V$ ein reiner Tensor
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ist, ist die Darstellung als Tensorprodukt von Vektoren nicht eindeutig.
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Trivialbeispiel: Es folgt direkt aus der Bilinearität von der Abbildung
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$τ : U⨯V → U⊗V$, dass für jedes Skalar $λ ∈ k∖ \{0\}$ die Gleichheit
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\[
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\vec{u}⊗\vec{v} = (λ·\vec{u})⊗ (λ^{-1}·\vec{v})
|
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\]
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gilt. Es gibt aber auch noch komplizierte Beispiele.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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Betrachte die Situation aus Situation von Notation~\ref{not:15-1-4b}. Selbst
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für relativ einfache Vektorräume $U$ und $V$ ist die Frage, ob ein gegebener
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Tensor $\vec{τ} ∈ U⊗ V$ rein ist, im Allgemeinen nicht leicht zu beantworten.
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Im Spezialfall, wo $U = V$ ist, kann die Frage, ob für gegebene Vektoren
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$\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ V$ die Gleichheit
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$\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 = \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ in $V⊗V$ gilt, ebenfalls
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überraschend schwer sein.
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\end{bemerkung}
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\begin{aufgabe}[Machen Sie sich mit Tensorprodukten vertraut!]
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Beweisen Sie, dass der Tensor
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$\vec{e}_1⊗\vec{e}_1 + \vec{e}_2⊗\vec{e}_2 ∈ ℝ² ⊗ ℝ²$ \emph{kein} reiner
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Tensor ist! Finden Sie unterschiedliche Vektoren $\vec{v}_1$,
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$\vec{v}_2 ∈ ℝ^2$, so dass die Gleichheit
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$\vec{v}_1⊗\vec{v}_2 = \vec{v}_2⊗\vec{v}_1$ gilt! Finden Sie Vektoren, so
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dass die Gleichheit nicht gilt!
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\end{aufgabe}
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In Tensorprodukten sind im Allgemeinen nicht alle Tensoren rein. Es gilt aber
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die Tatsache, dass jeder Tensor eine Linearkombination von reinen Tensoren sind.
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Das ist beruhigend, denn das bedeutet zumindest, dass wir alle Tensoren
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hinschreiben können.
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\begin{satz}[Reine Tensoren erzeugen des Tensorprodukt]\label{satz:15-2-5}
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Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei $k$-Vektorräume. Dann
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ist die Menge der reinen Tensoren,
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\[
|
||
R := \{ \vec{u}⊗ \vec{v} ∈ U⊗ V \:|\: \vec{u} ∈ U \text{ und } \vec{v} ∈
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V\},
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\]
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||
ein Erzeugendensystem von $U⊗ V$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\video{21-3}
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}[Jeder Tensor ist Summe von reinen Tensoren]
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Satz~\ref{satz:15-2-5} sagt, dass ich jeden Tensor $\vec{τ} ∈ U⊗V$ als
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Linearkombination von reinen Tensoren schreiben kann. Also gibt es Skalare
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$a_i$ und Vektoren $\vec{u}_i$ und $\vec{v}_i$, so dass die folgende Gleichung
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gilt,
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\[
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||
\vec{τ} = \sum_i a_i·(\vec{u_i}⊗\vec{v_i}).
|
||
\]
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||
Wegen der Bilinearität der Tensorproduktabbildung $τ$ gilt aber für jeden
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Index $i$ die Gleichung
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$a_i·(\vec{u_i}⊗\vec{v_i}) = (a_i·\vec{u_i})⊗\vec{v_i}$. Es ist also nicht
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nur richtig, dass ich jeden Tensor als Linearkombination von reinen Tensoren
|
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schreiben kann, es gilt sogar, dass ich jeden Tensor als Summe von reinen
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Tensoren schreiben kann.
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\end{bemerkung}
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\begin{notation}[Lineare Abbildungen von Tensorprodukten]\label{15-2-7}
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In der Situation von Satz~\ref{satz:15-2-5} sei $W$ ein weiterer
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$k$-Vektorraum. In der Literatur (besonders in der physikalischen Literatur)
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hat sich die Unart eingebürgert, lineare Abbildungen $Ψ: V⊗W → X$ durch einen
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Text der folgenden Art zu definieren:
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\[
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||
Ψ: U⊗V → X, \quad \vec{u}⊗\vec{v} ↦ (\text{Formel mit } \vec{u} \text{ und } \vec{v}).
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||
\]
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||
Es wird also nur gesagt, was die Bilder der reinen Tensoren sein sollen!
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||
Gemeint ist mit dieser ``Definition'' folgendes: gegeben einen Tensor
|
||
$\vec{τ} ∈ U⊗V$, schreibe $\vec{τ}$ auf irgendeine Weise als Linearkombination
|
||
von reinen Tensoren,
|
||
\[
|
||
\vec{τ} = \sum a_i·\vec{v}_i⊗\vec{w}_i
|
||
\]
|
||
und setze
|
||
\[
|
||
Ψ(\vec{τ}) := \sum a_i· Ψ(\vec{v}_i⊗\vec{w}_i).
|
||
\]
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||
Das kann man das als Definition einer linearen Abbildung $Ψ$ akzeptieren, wenn
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man sich zuerst von der \emph{Wohldefiniert} überzeugt hat: der so
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``definierte'' Wert von $Ψ(\vec{τ})$ darf nicht von der Wahl der
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Linearkombination abhängen! Wie sie sich vorstellen können, wird dieser Punkt
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in der Literatur eigentlich immer übergangen. Schreckliche Fehler sind die
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folge.
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\end{notation}
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\section{Erzeugendensysteme und Basen}
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Satz~\ref{satz:15-2-5} erlaubt es, jeden Tensor als Linearkombination von reinen
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Tensoren zu schreiben. Das ist aber nicht das letzte Wort. Die nächsten beiden
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Korollar zeigen, wie man Erzeugendensysteme und sogar Basen für den
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Tensorproduktraum erhält.
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\begin{kor}[Erzeugendensystem für Tensorprodukt]\label{kor:15-2-6}
|
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In der Situation von Satz~\ref{satz:15-2-5} seien $(\vec{u}_i)_{i ∈ I} ⊂ U$
|
||
und $(\vec{v}_j)_{j ∈ J} ⊂ V$ jeweils Erzeugendensysteme. Dann ist die
|
||
folgende Menge von reinen Tensoren,
|
||
\begin{align}\label{system}
|
||
P := \big( \vec{u}_i⊗\vec{v}_j \big)_{(i,j) ∈ I⨯ J}
|
||
\end{align}
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||
ein Erzeugendensystem für $U⊗V$.
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||
\end{kor}
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||
\begin{proof}
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||
Wir müssen zeigen, dass jedes Element von $U⊗V$ eine Linearkombination von
|
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Elementen aus $P$ ist. Da jedes Element von $U⊗V$ Linearkombination von
|
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reinen Tensoren ist, genügt es zu zeigen, dass jeder reine Tensor eine
|
||
Linearkombination des obigen Systems ist. Sei also $\vec{u}⊗\vec{v} ∈ U⊗V$
|
||
ein reiner Tensor. Per Annahme gibt es Linearkombinationen
|
||
\[
|
||
\vec{u} = \sum_{i ∈ I} a_i·\vec{u}_i,\quad \vec{v} = \sum_{j ∈ J}
|
||
b_j·\vec{v}_j.
|
||
\]
|
||
Dann ist
|
||
\begin{align*}
|
||
\vec{u}⊗\vec{v} &= \left(\sum_{i ∈ I} a_i·\vec{u}_i \right)⊗\vec{v} && \text{Einsetzen}\\
|
||
&= \sum_{i ∈ I} a_i·\big( \vec{u}_i⊗\vec{v} \big) && \text{Linearität von $τ$ in 1.~Komponente}\\
|
||
&= \sum_{i ∈ I} a_i·\Big( \vec{u}_i⊗\Big( \sum_{j ∈ J} b_j·\vec{v}_j \Big) \Big) && \text{Einsetzen}\\
|
||
&= \sum_{(i,j) ∈ I⨯ J} a_ib_j· \big(\vec{u}_i⊗\vec{b}_j \big). && \text{Linearität von $τ$ in 2.~Komponente}
|
||
\end{align*}
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||
Das beweist die Behauptung.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Basen für Tensorprodukt]\label{kor:15-2-7}
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In der Situation von Korollar~\ref{kor:15-2-6} seien $(\vec{u}_i)_{i ∈ I} ⊂ U$
|
||
und $(\vec{v}_j)_{j ∈ J} ⊂ V$ Basen von $U$ und von $V$. Dann ist die Menge
|
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$P$ eine Basis von $U⊗V$.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Um zu zeigen, dass die Menge $P$ eine Basis ist, müssen wir die lineare
|
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Unabhängigkeit beweisen. Als Vorbereitung für den Beweis der linearen
|
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Unabhängigkeit betrachten wir die dualen Basen
|
||
$(\vec{u}^{\:*}_i)_{i ∈ I} ⊂ U^*$ und $(\vec{v}^{\:*}_j)_{j ∈ J} ⊂ V^*$ und
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||
beachten, dass für jedes Paar $(i,j) ∈ I⨯ J$ von Indices die Abbildung
|
||
\[
|
||
s_{ij} : U⨯V → k, \quad (\vec{u}, \vec{v}) ↦ \vec{u}^{\:*}_i(\vec{u}) ·
|
||
\vec{v}^{\:*}_i(\vec{v})
|
||
\]
|
||
bilinear ist. Entsprechend der universellen Eigenschaft erhalten wir also
|
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eine lineare Abbildung $η_{ij}: U⊗V → k$, so dass für alle $(α,β) ∈ I⨯ J$ gilt
|
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\begin{align*}
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η_{ij} (\vec{u}_α⊗\vec{v}_β) &= s_{ij}\bigl((\vec{u}_α, \vec{v}_β)\bigr) && \text{univ.~Eigenschaft} \\
|
||
& = \vec{u}^{\:*}_i(\vec{u}_α) · \vec{v}^{\:*}_i(\vec{v}_β) && \text{Definition von } s_{ij} \\
|
||
& = δ_{iα} · δ_{jβ} = δ_{(αβ)(ij)}. && \text{Definition von dualer Basis}
|
||
\end{align*}
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Zurück zum Beweis der linearen Unabhängigkeit: es sei eine lineare Relation
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\begin{equation}\label{eq:fgh}
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\vec{0}_{U⊗V} = \sum_{(α,β) ∈ I⨯ J} a_{αβ}· \vec{u}_α⊗\vec{v}_β
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||
\end{equation}
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gegeben. Dann gilt für jedes Paar $(i,j) ∈ I⨯J$ von Indizes, dass
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\begin{align*}
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0_k &= η_{ij}\bigl(\vec{0}_{U⊗V}\bigr) \\
|
||
&= η_{ij} \left( \sum_{(α,β) ∈ I⨯ J} a_{αβ}· \vec{u}_α⊗\vec{v}_β \right) && \text{Relation \eqref{eq:fgh} eingesetzt}\\
|
||
&= \sum_{(α,β) ∈ I⨯ J} a_{αβ}·η_{ij}\big( \vec{u}_α⊗\vec{v}_β \big) && \text{Linearität von }η_{ij}\\
|
||
&= a_{ij}
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\end{align*}
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Damit ist die Relation \eqref{eq:fgh} offenbar trivial.
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\end{proof}
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\begin{kor}[Dimensionsformel für Tensorprodukte]
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||
Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
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||
$k$-Vektorräume. Dann ist $\dim (U⊗V) = (\dim U)·(\dim V)$. \qed
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\end{kor}
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Wir haben oben gesehen, wie man auch zwei Basen für die Vektorräume $U$ und $V$
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eine Basis für den Tensorproduktraum macht. Das geht auch mit angeordneten
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Basen.
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\begin{konstruktion}[Lexikografisch angeordnete Basen für Tensorprodukte]
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||
Es sei $k$ ein Körper und des seien $U$ und $V$ zwei endlich-dimensionale
|
||
$k$-Vektorräume, mit Basen $\vec{u}_1, …, \vec{u}_n$ von $U$ und
|
||
$\vec{v}_1, …, \vec{v}_m$ von $V$. Dann können wir die zugehörende Basis für
|
||
das Tensorprodukt $U⊗ V$ wie folgt anordnen:
|
||
\[
|
||
\underbrace{\vec{u}_1⊗ \vec{v}_1, …, \vec{u}_1⊗ \vec{v}_m}_{\text{beginnt mit }\vec{u}_1},
|
||
\underbrace{\vec{u}_2⊗ \vec{v}_1, …, \vec{u}_2⊗ \vec{v}_m}_{\text{beginnt mit }\vec{u}_2},
|
||
…,
|
||
\underbrace{\vec{u}_n⊗ \vec{v}_1, …, \vec{u}_n⊗ \vec{v}_m}_{\text{beginnt mit }\vec{u}_n}.
|
||
\]
|
||
Diese Anordnung heiße \emph{lexikographische Anordnung}\index{lexikographische
|
||
Anordnung}, weil das Verfahren daran erinnert, wie die Einträge in einem
|
||
Lexikon oder einem Telefonbuch\footnote{Eine historische Erläuterung des
|
||
Wortes finden Sie \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Telefonbuch}{hier}.
|
||
Wie sie wissen, komme ich aus einem anderen Zeitalter.} angeordnet sind.
|
||
\end{konstruktion}
|
||
|
||
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||
\section{Tensorprodukte von Abbildungen}
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Die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts garantiert sehr schnell, dass
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||
Abbildungen zwischen Vektorräumen auch Abbildungen zwischen den Tensorprodukten
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||
induzieren. Der folgende Satz macht diese Aussage präzise.
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\begin{satz}[Tensorprodukte von Abbildungen]\label{satz:15-4-1}
|
||
Es sei $k$ ein Körper, und es seien $f_1: U_1 → V_1$ und $f_2: U_2 → V_2$
|
||
lineare Abbildungen von $k$-Vektorräumen. Dann gibt es genau eine lineare
|
||
Abbildung
|
||
\[
|
||
ν : U_1⊗U_2 → V_1⊗V_2 ,
|
||
\]
|
||
so dass das folgende Diagramm kommutiert:
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}[column sep=2cm]
|
||
U_1⨯U_2 \ar[d, "τ_1"'] \ar[r, "f_1⨯f_2"] & V_1⨯V_2 \ar[d, "τ_2"]\\
|
||
U_1⊗U_2 \ar[r, "∃! ν"'] & V_1⊗V_2 .
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
Dabei sind $τ_{•}$ die Abbildungen, die zu den Tensorprodukten gehören und
|
||
$f_1⨯f_2$ ist die komponentenweise Abbildung, also
|
||
\[
|
||
f_1⨯f_2: U_1⨯U_2 → V_1⨯V_2, \quad (\vec{u}_1, \vec{u_2}) ↦ \bigl(f_1(\vec{u}_1), f_2( \vec{u}_2)\bigr).
|
||
\]
|
||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
Rechnen Sie nach, dass die Abbildung $τ_2◦(f_1⨯f_2): U_1⨯U_2 → V_1⊗V_2$
|
||
bilinear ist. Existenz und Eindeutigkeit von $ν$ folgt dann direkt aus der
|
||
universellen Eigenschaft des Tensorprodukts.
|
||
\end{proof}
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||
|
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\begin{notation}[Tensorprodukte von Abbildungen]
|
||
In der Situation von Satz~\ref{satz:15-4-1} wird die Abbildung $ν$ oft als
|
||
\emph{Tensorprodukt der Abbildungen $f_1$ und $f_2$}\index{Tensorprodukt!von
|
||
Abbildungen} genannt und mit dem Symbol $f_1⊗f_2$ bezeichnet.
|
||
\end{notation}
|
||
|
||
Das Tensorprodukt von Abbildungen lässt sich natürlich auch auf dem Niveau von
|
||
Matrizen diskutieren.
|
||
|
||
\begin{konstruktion}
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||
Es sei $k$ ein Körper, und es seien Zahlen $a_1$, $a_2$, $b_1$ und $b_2$ sowie
|
||
Matrizen
|
||
\[
|
||
A_1 ∈ \Mat(a_1⨯ b_1, k) \quad\text{und}\quad A_2 ∈ \Mat(a_2⨯ b_2, k)
|
||
\]
|
||
gegeben. Wir betrachten die zugehörigen linearen Abbildungen
|
||
\[
|
||
\varphi_{A_1} : k^{b_1} → k^{a_1},\quad %
|
||
\varphi_{A_2} : k^{b_2} → k^{a_2} \quad\text{und}\quad %
|
||
\varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1} : k^{b_1}⊗ k^{b_1} → k^{a_1}⊗ k^{a_2}
|
||
\]
|
||
Wir statten die Räume $k^{a_1}$, $k^{a_2}$, $k^{b_1}$ und $k^{b_2}$ jeweils
|
||
mit den kanonischen Standardbasen aus, wählen die lexikographisch angeordneten
|
||
Produktbasen auf $k^{a_1}⊗ k^{a_2}$ und $k^{b_1}⊗ k^{b_2}$ und betrachten die
|
||
zugehörende darstellende Matrix von $\varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1}$ bezüglich
|
||
dieser Produktbasen. Diese Matrix wird häufig als
|
||
\[
|
||
A_1⊗A_2 ∈ \Mat((a_1·a_2)⨯ (b_1·b_2), k)
|
||
\]
|
||
geschrieben und als \emph{Kronecker-Produkt}\index{Kronecker-Produkt} oder
|
||
\emph{Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!von Matrizen} der Matrizen $A_1$ und
|
||
$A_2$ bezeichnet.
|
||
\end{konstruktion}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
Das Kronecker-Produkt ist also eine unangenehme Abbildung
|
||
\[
|
||
•⊗• : \Mat(a_1⨯ b_1, k)⨯\Mat(a_2⨯ b_2,
|
||
k) → \Mat\bigl((a_1·a_2)⨯ (b_1·b_2), k\bigr)
|
||
\]
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Auf \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Produkt}{Wikipedia} ist
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erklärt, wie man das Kronecker Produkt ausrechnet; dort sind auch einige
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elementare Eigenschaften genannt. Der Leser wendet sich mit Grausen.
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\end{bemerkung}
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\begin{prop}
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In der Situation von Satz~\ref{satz:15-4-1} seien angeordnete Basen
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$\mathcal{B}_{U, •}$ von $U_{•}$ und $\mathcal{B}_{V, •}$ von $V_{•}$ gegeben.
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Weiter seien $\mathcal{B}_{U, 1⨯ 2}$ und $\mathcal{B}_{V, 1⨯ 2}$ die
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lexikographisch angeordneten Produktbasen von $U_1⨯U_2$ und $V_1⨯V_2$. Dann
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gilt für die darstellenden Matrizen die Gleichung
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\[
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\Mat^{\mathcal{B}_{U,1⨯ 2}}_{\mathcal{B}_{V,1⨯ 2}}(f_1⊗ f_2) =
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\Mat^{\mathcal{B}_{U,1}}_{\mathcal{B}_{V,1}}(f_1)⊗\Mat^{\mathcal{B}_{U,2}}_{\mathcal{B}_{V,2}}(f_2)
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\]
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Keine Lust mehr.
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\end{proof}
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\section{Rechenregeln für Tensorprodukträume}
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Ich nenne noch einige Eigenschaften der Tensorproduktkonstruktion. Den Beweis
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des nächsten Satzes lasse ich weg; natürlich ist der Satz wieder einmal eine
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Folge der universellen Eigenschaften.
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\begin{satz}[Tensorprodukt und direkte Summe]\label{satz:15-5-1}
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Es sei $k$ ein Körper und $(U_i)_{i ∈ I}$ sei eine Familie von
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$k$-Vektorräumen, zusätzlich sei $V$ ein weiterer $k$-Vektorraum. Dann gibt
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es eine kanonische Isomorphie zwischen den direkten Summen
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\[
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\big( \bigoplus_{i ∈ I} U_i \big)⊗V \simeq \bigoplus_{i ∈ I} (U_i⊗V)
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\eqno\qed
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\]
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\end{satz}
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\begin{satz}
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Es sei $k$ und Körper und es sei $V$ ein $k-$Vektorraum. Dann gibt es einen
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kanonischen Isomorphismus zwischen den Vektorräumen $k⊗V$ und $V$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Die skalare Multiplikation
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\[
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m: k⨯V → V, \quad (λ, \vec{v}) ↦ λ·\vec{v}
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\]
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ist bilinear. Also gibt es gemäß der universellen Eigenschaft des
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Tensorprodukts genau eine lineare Abbildung $η$, so dass das folgende Diagramm
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kommutiert,
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\[
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\begin{tikzcd}
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k⨯V \ar[d, equals] \ar[r, "τ"] & k⊗V \ar[d, "∃! η"]\\
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k⨯V \ar[r, "m"] & V.
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\end{tikzcd}
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\]
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Die Abbildung $η$ ist surjektiv, denn wenn ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ gegeben
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ist, dann ist $\vec{v} = m(1, \vec{v})$. Die Abbildung $η$ ist aber auch
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injektiv. Sei nämlich $\vec{x} ∈ k⨯V$ im Kern von $η$. Dann kann ich
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$\vec{x}$ darstellen als Summe von reinen Tensoren,
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\[
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\vec{x} = \sum λ_i⊗\vec{v}_i = \sum 1⊗(λ_i \vec{v}_i) = 1 ⊗\big (\sum λ_i
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\vec{v}_i \big).
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\]
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Wir wissen dann $\vec{0}_V = η(\vec{x}) = 1 · (\sum λ_i \vec{v}_i)$.
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Insgesamt gilt
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\[
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\vec{x} = 1⊗\vec{0}_V = 1⊗(0_k · \vec{0}_V) = 0_k · (1⊗\vec{0}_V) =
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\vec{0}_{k⊗V}.
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\]
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Die Injektivität von $η$ folgt also.
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\end{proof}
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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