forked from kebekus/LineareAlgebra2
90 lines
3.2 KiB
TeX
90 lines
3.2 KiB
TeX
% spell checker language
|
||
\selectlanguage{german}
|
||
|
||
\chapter{Bilineare und multilineare Abbildungen}
|
||
|
||
\sideremark{Vorlesung 20}Ich beende die Vorlesung mit einem Kapitel über
|
||
``multilineare Algebra''. In diesem Kapitel werden wir multilineare Abbildungen
|
||
und multilineare Algebra systematisch einführen. Der zentrale Begriff ist das
|
||
``Tensorprodukt''. Bevor wir richtig ``multi'' werden, diskutiere ich erst noch
|
||
einmal bilineare Abbildungen und Funktionen. Einige Beispiele für Bilinearität
|
||
kennen Sie schon.
|
||
|
||
\begin{bsp}[Bilineare Funktion]
|
||
Skalarprodukte auf Euklidischen Vektorräumen sind bilinear. Das bedeutet, die
|
||
Abbildung $V ⨯ V → ℝ$ ist im ersten und im zweiten Argument linear.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
Die folgende Definition sollte jetzt keine Überraschung mehr sein.
|
||
|
||
\begin{defn}[Bilineare Abbildungen]
|
||
Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume. Eine
|
||
\emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung
|
||
$s: U ⨯ V → W$, so dass Folgendes gilt.
|
||
\begin{description}
|
||
\item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle
|
||
$\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U, \vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
|
||
\[
|
||
s(\vec{u}_1 + λ·\vec{u}_2, \vec{v}) = s(\vec{u}_1, \vec{v}) +
|
||
λ·s(\vec{u}_2, \vec{v}).
|
||
\]
|
||
\item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle
|
||
$\vec{u} ∈ U, \vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
|
||
\[
|
||
s(\vec{u}, \vec{v}_1 + λ \vec{v}_2) = s(\vec{u}, \vec{v}_1) + λ
|
||
s(\vec{u}, \vec{v}_2).
|
||
\]
|
||
\end{description}
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
Beispiele für bilineare Abbildungen kennen wir in Hülle und Fülle.
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $k$ ein Körper, es seien $V, W$ zwei $k$-Vektorräume und es seien
|
||
lineare Funktionale $f ∈ V^*$ und $g ∈ W^*$ gegeben. Dann ist die folgende
|
||
Abbildung bilinear,
|
||
\[
|
||
V ⨯ W → k, \quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦ f(\vec{v}) · g(\vec{w}).
|
||
\]
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $k$ ein Körper, es seien $V$, $W$ und $U$ drei $k$-Vektorräume. Dann
|
||
ist die folgende Abbildung bilinear,
|
||
\[
|
||
\Hom_k(V, W) ⨯ \Hom_k(W, U) → \Hom_k(V, U), \quad (f, g) ↦ g ◦ f.
|
||
\]
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $k$ ein Körper, es seien $V, W$ zwei $k$-Vektorräume. Dann ist
|
||
folgende Abbildung bilinear,
|
||
\[
|
||
V^*⨯W → \Hom_k(V, W), \quad (f, \vec{w}) ↦ \big(\vec{v} ↦ f(\vec{v})·\vec{w}\big).
|
||
\]
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\subsection*{Multilineare Abbildungen}
|
||
|
||
Sie können es sich sicher schon denken: multilineare Abbildungen sind
|
||
Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, so dass …. Ich habe vom Tippen
|
||
schon wunde Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst
|
||
zusammenbekommen. Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel.
|
||
|
||
\begin{bsp}[$n$-lineare Funktion]
|
||
Betrachte die Determinantenabbildung
|
||
\[
|
||
\det : \Mat(n⨯ n, k) → k.
|
||
\]
|
||
Indem wir Matrizen als Folge von Spaltenvektoren schreiben, können wir den
|
||
Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum
|
||
$V ⨯ ⋯ ⨯ V$ identifizieren. Wir erhalten also eine Abbildung
|
||
\[
|
||
\det : \underbrace{V ⨯ ⋯ ⨯ V}_{n ⨯} → k.
|
||
\]
|
||
Aus dem ersten Semester wissen wir: diese Abbildung ist in jeder Komponente
|
||
linear.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
% !TEX root = LineareAlgebra2
|