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\selectlanguage{german}
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\chapter{Die Jordansche Normalform}
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\label{chapt:Jordan}
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\section{Einleitung}
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\sideremark{Vorlesung 2}Wir hatten im letzten Kapitel ein Beispiel~\ref{bsp:1.1}
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für einen Endomorphismus gesehen, der nicht diagonalisierbar ist. Aus der
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Traum. In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass es aber stets eine Basis gibt,
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sodass die zugehörende Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest,
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solange wir über den komplexen Zahlen arbeiten. Genauer gesagt: wir werden
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zeigen, dass es eine Basis gibt, sodass die Matrix „Jordansche Normalform“
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hat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie Ennemond
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Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; † 21.~Januar
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1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}, also „fast“ eine
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Diagonalmatrix ist.
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Vielleicht schauen Sie auch einmal in den entsprechenden Eintrag in der
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform}{Wikipedia}. Es gibt
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auch eine Menge Videos auf
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\href{https://www.youtube.com/results?search_query=jordansche+normalform}{YouTube}.
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\begin{defn}[Jordanblock]
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Es sei $k$ ein Körper, $λ ∈ k$ ein Körperelement und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl.
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Der \emph{$(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der
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Diagonalen}\index{Jordanblock} ist die $(n ⨯ n)$-Matrix $A = (a_{ij})$ mit
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$$
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a_{ij} =
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\begin{cases}
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λ & \text{falls } j=i \\
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1 & \text{falls } j=i+1 \\
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0 & \text{sonst.}
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\end{cases}
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$$
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Der $(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der Diagonalen wird oft mit
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$J(λ,n)$ bezeichnet.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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Die folgenden Matrizen mit Werten in $ℂ$ sind Jordanblöcke.
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$$
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J(12, 1) =
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\begin{pmatrix}
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||
12
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||
\end{pmatrix}, \quad
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J(47,2) =
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\begin{pmatrix}
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47 & 1 \\
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||
0 & 47
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\end{pmatrix}, \quad
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J(i,5) =
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\begin{pmatrix}
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i & 1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & i & 1 & 0 & 0 \\
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||
0 & 0 & i & 1 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & i & 1 \\
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||
0 & 0 & 0 & 0 & i
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||
\end{pmatrix}
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$$
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\end{bsp}
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\begin{defn}[Jordansche Normalform]
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||
Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl. Eine $n ⨯ n$-Matrix $A =
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(a_{ij})$ hat \emph{Jordansche Normalform}\index{Jordansche Normalform}, falls
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$A$ Blockgestalt hat, wobei auf der Diagonalen Jordanblöcke stehen und alle
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anderen Blöcke gleich Null sind.
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\end{defn}
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\begin{bsp}
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||
Jeder Jordanblock hat Jordansche Normalform. Die folgenden Matrizen haben
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Jordansche Normalform.
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$$
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||
J(12,1) =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
12
|
||
\end{pmatrix}, \quad
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
J(12,1) & 0 \\
|
||
0 & J(47,2)
|
||
\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
12 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 47 & 1 \\
|
||
0 & 0 & 47
|
||
\end{pmatrix},
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||
$$
|
||
$$
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||
\begin{pmatrix}
|
||
J(5,2) & 0 & 0 \\
|
||
0 & J(7,1) & 0 \\
|
||
0 & 0 & J(i,5)
|
||
\end{pmatrix} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
5 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & i & 1 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & i & 1 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 1 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & i
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
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||
\end{bsp}
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Das Ziel dieses Kapitels ist jetzt, den folgenden Satz zu beweisen.
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\begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF}%
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Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und
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es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Dann gibt es eine angeordnete Basis
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$\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche
|
||
Normalform hat.
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\end{satz}
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\begin{notation}
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Situation wie in Satz~\ref{satz:JNF}. Eine
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||
\emph{Jordanbasis}\index{Jordanbasis} ist eine angeordnete Basis $\mathcal{B}$
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von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform
|
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hat.
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\end{notation}
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||
Wir beweisen Satz~\ref{satz:JNF} nach einigen Vorbereitungen im
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Abschnitt~\vref{ssec:pjnf}. Wir betrachten für den Rest des Kapitels meistens
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die folgende Situation.
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\begin{situation}\label{sit:2-1-6}%
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Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, $n
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:= \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus.
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\end{situation}
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\section{Vorbereitung: Haupträume}
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\label{sec:HR}
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Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an.
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\begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}%
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und
|
||
es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$
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||
\emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$
|
||
existiert, sodass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist. Die kleinste
|
||
solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von
|
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$f$}\index{Nilpotenzindex!Endomorphismus}.
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||
\end{defn}
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\begin{defn}[Nilpotente Matrizen]
|
||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $( n⨯ n)$-Matrix
|
||
mit Werten in $k$. Nenne die Matrix $A$
|
||
\emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert,
|
||
sodass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt
|
||
\emph{Nilpotenzindex von $A$}\index{Nilpotenzindex!Matrix}.
|
||
\end{defn}
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||
\begin{beobachtung}
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||
In der Situation von Definition~\ref{def:NEnd} sei $B$ eine angeordnete Basis
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und $m ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
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||
\begin{itemize}
|
||
\item Der Endomorphismus $f$ ist nilpotent mit Nilpotenzindex $m$.
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||
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||
\item Die Matrix $\Mat^B_B(f)$ ist nilpotent mit Nilpotenzindex $m$.
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||
\end{itemize}
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||
\end{beobachtung}
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||
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||
\begin{beobachtung}
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||
Matrizen, die ähnlich zu einer nilpotenten Matrix sind, sind selbst nilpotent.
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||
Genauer: Sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N :=
|
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SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$. Dann ist
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$$
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||
0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}.
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||
$$
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||
Also ist $A^m = S^{-1}·0·S = 0$.
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||
\end{beobachtung}
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||
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||
\begin{bsp}
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||
Überzeugen Sie sich durch eigene Rechnung von den folgenden Tatsachen.
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Jordanblöcke sind genau dann nilpotent, wenn auf der Diagonalen die 0
|
||
steht. Genauer: $J(0, r)$ ist nilpotent von Index $r$.
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||
\item Es sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix in oberer Dreiecksform mit 0en auf der
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Diagonalen. Dann ist $A$ nilpotent.
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||
\end{enumerate}
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||
\end{bsp}
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||
\begin{defn}[Hauptraum eines Endomorphismus]\label{def:2-2-6}%
|
||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und
|
||
es sei $f ∈ \End(V)$. Gegeben $λ ∈ k$, dann betrachte
|
||
$$
|
||
\Hau_f(λ) := \bigcup_{n ∈ ℕ} \ker \Bigl( (f - λ · \Id_V )^n \Bigr)
|
||
$$
|
||
Man nennt dies den \emph{Hauptraum}\index{Hauptraum!Endomorphismus} oder
|
||
\emph{verallgemeinerten Eigenraum zum Eigenwert $λ$}%
|
||
\index{verallgemeinerter Eigenraum!Endomorphismus}.
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||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{defn}[Hauptraum einer Matrix]\label{def:2-2-6b}%
|
||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix. Gegeben $λ ∈ k$,
|
||
dann betrachte
|
||
$$
|
||
\Hau_A(λ) := \bigcup_{n ∈ ℕ} \ker \Bigl( (A - λ · \Id_{n⨯ n} )^n
|
||
\Bigr),
|
||
$$
|
||
wobei $\Id_{n⨯ n}$ die Einheitsmatrix bezeichnet. Man nennt dies den
|
||
\emph{Hauptraum}\index{Hauptraum!Matrix} oder \emph{verallgemeinerten
|
||
Eigenraum zum Eigenwert $λ$}\index{verallgemeinerter Eigenraum!Matrix}.
|
||
\end{defn}
|
||
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||
\begin{beobachtung}
|
||
In der Situation von Definition~\ref{def:2-2-6} sei ein Vektor $\vec{v} ∈ V$
|
||
gegeben. Falls es eine Zahl $n ∈ ℕ$ gibt, sodass $(f - λ · \Id_V )^n(\vec{v})
|
||
= \vec{0}$ ist, dann ist auch $(f - λ · \Id_V )^{n+1}(\vec{v}) = \vec{0}$.
|
||
Also ist
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||
$$
|
||
\ker(f - λ · \Id_V ) ⊆ \ker \Bigl( (f - λ · \Id_V )² \Bigr) ⊆ \ker \Bigl( (f -
|
||
λ · \Id_V )³ \Bigr) ⊆ ⋯.
|
||
$$
|
||
Insbesondere folgt, dass $\Hau_f(λ)$ ein Untervektorraum von $V$ ist.
|
||
\end{beobachtung}
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||
|
||
Haupträume und Eigenräume hängen eng zusammen. Die folgende Beobachtung
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rechtfertigt den Namen „verallgemeinerter Eigenraum“.
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||
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||
\begin{beobachtung}
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||
In der Situation von Definition~\ref{def:2-2-6} gilt:
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\begin{align*}
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||
\text{$λ$ ist kein Eigenwert von $f$} & ⇔ \ker(f - λ · \Id_V ) = \{ \vec{0} \} \\
|
||
& ⇔ (f - λ · \Id_V ) \text{ ist isomorph}\\
|
||
& ⇔ (f - λ · \Id_V )^n \text{ ist isomorph für alle $n$} \\
|
||
& ⇔ \ker \Bigl( (f - λ · \Id_V )^n \Bigr) = \{ \vec{0} \} \text{ für alle $n$} \\
|
||
& ⇔ \Hau_f(λ) = \{ \vec{0} \}
|
||
\end{align*}
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
Falls wir über den komplexen Zahlen arbeiten, ist der Zusammenhang von Hauptraum
|
||
und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
|
||
„algebraischen Multiplizität“.
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||
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||
\begin{satz}[Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität]\label{satz:2-2-10}%
|
||
In Situation~\ref{sit:2-1-6} sei $λ ∈ ℂ$ ein Eigenwert von $f$ mit
|
||
algebraischer Multiplizität $r$. Dann gilt Folgendes.
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||
\begin{enumerate}
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||
\item\label{il:2-2-10-1} Der Hauptraum ist gegeben als $\Hau_f(λ) = \ker
|
||
\bigl( (f - λ·\Id)^r \bigr)$.
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||
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||
\item Die Dimension des Hauptraumes ist $\dim \Hau_f(λ) = r$.
|
||
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||
\item\label{il:2-2-10-3} Die Abbildung $f$ bildet den Hauptraum auf den
|
||
Hauptraum ab: $f \bigl(\Hau_f(λ) \bigr) ⊆ \Hau_f(λ)$. Insbesondere liefert
|
||
die Einschränkung von $f$ einen Endomorphismus des Hauptraumes,
|
||
$f|_{\Hau_f(λ)} ∈ \End \bigl( \Hau_f(λ) \bigr)$.
|
||
|
||
\item Das charakteristische Polynom der Einschränkung ist
|
||
$χ_{f|_{\Hau_f(λ)}}(t) = ±(t - λ)^r$.
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||
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||
\item\label{il:2-2-10-5} Es ist $(f|_{\Hau_f(λ)} -λ · \Id_{\Hau_f(λ)})^r = 0$.
|
||
\end{enumerate}
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||
\end{satz}
|
||
\begin{proof}
|
||
Wir zerlegen den Beweis in mehrere Schritte.
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||
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||
\bigskip\noindent\emph{Schritt 1 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} Wähle
|
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einen Eigenvektor $\vec v_1$ von $f$ zum Eigenwert $λ$ und ergänze zu einer
|
||
Basis $B = \{\vec v_1, \vec v_2, …, \vec v_n\}$. Dann ist die zugehörende
|
||
Matrix von der Form
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||
$$
|
||
\Mat^B_B (f) = \left(
|
||
\begin{array}{l|l}
|
||
λ & * \\
|
||
\hline
|
||
0 & A
|
||
\end{array}\right).
|
||
$$
|
||
Es ist $χ_f(t) = (t-λ)·χ_A(t)$ und deshalb ist $λ$ eine $(r-1)$-fache
|
||
Nullstelle des Polynoms $χ_A$.
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||
|
||
|
||
\bigskip\noindent\emph{Schritt 2 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:} Ich
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||
werde jetzt per Induktion nach $r$ zeigen, dass es eine Basis $B$ von $V$
|
||
gibt, sodass die zu $f$ gehörende Matrix die folgende Form hat,
|
||
$$
|
||
\Mat^B_B (f) = \left(
|
||
\begin{array}{lll|l}
|
||
λ & & * & \\
|
||
& \ddots & & * \\
|
||
0 & & λ \\
|
||
\hline
|
||
& 0 & & A
|
||
\end{array}\right),
|
||
$$
|
||
dabei hat die obere Dreiecksmatrix oben links das Format $r ⨯ r$ und die
|
||
Matrix $A$ hat $λ$ nicht als Eigenvektor.
|
||
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||
\begin{description}
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||
\item[Induktionsstart] Im Fall $r = 1$ erfüllt die in Schritt 1 gefundene
|
||
Basis bereits alle Bedingungen.
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||
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||
\item[Induktionsschritt] Sei jetzt $r > 1$ und sei die Behauptung für alle
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||
Endomorphismen und Eigenwerte mit algebraischer Multiplizität kleiner $r$
|
||
bereits bewiesen. Betrachte wieder die Basis $B$ aus Schritt 1, die diesmal
|
||
aber vielleicht noch nicht die gesuchten Eigenschaften hat. Betrachte auch
|
||
den Untervektorraum
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||
$$
|
||
W := \langle \vec v_2, …, \vec v_n \rangle ⊂ V.
|
||
$$
|
||
Die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen liefert eine
|
||
Endomorphismus $g ∈ \End(W)$, der bezüglich der Basis $B_W := \vec v_2, …,
|
||
\vec v_n ∈ W$ die Matrix $A$ hat. Per Induktionsannahme gibt es aber auch
|
||
eine Basis $B'_W := \vec v'_2, …, \vec v'_n ∈ W$, sodass
|
||
$$
|
||
\Mat^{B'_W}_{B'_W} (g) = \left(
|
||
\begin{array}{lll|l}
|
||
λ & & * & \\
|
||
& \ddots & & * \\
|
||
0 & & λ \\
|
||
\hline
|
||
& 0 & & A'
|
||
\end{array}\right),
|
||
$$
|
||
dabei hat die obere Dreiecksmatrix oben links das Format $(r-1) ⨯ (r-1)$ und
|
||
die Matrix $A'$ hat $λ$ nicht als Eigenvektor. Man rechne jetzt nach, dass
|
||
$B' = \vec v_1, \vec v'_2, …, \vec v'_n ∈ V$ eine Basis von $V$ ist und dass
|
||
$$
|
||
\Mat^{B'}_{B'} (f) = \left(
|
||
\begin{array}{l|l}
|
||
λ & * \\
|
||
\hline
|
||
0 & \Mat^{B'_W}_{B'_W} (g)
|
||
\end{array}\right)
|
||
$$
|
||
ist. Damit hat $\Mat^{B'}_{B'} (f)$ die gesuchte Form.
|
||
\end{description}
|
||
|
||
|
||
\bigskip\noindent\emph{Schritt 3 im Beweis von Satz~\ref{satz:2-2-10}:}
|
||
\sideremark{Vorlesung 3}Der Beweis des Satzes wird in \video{3-1} beendet.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{kor}\label{kor:2-2-11}%
|
||
In Situation~\ref{sit:2-1-6} seien $λ_1, …, λ_k ∈ ℂ$ die Eigenwerte von $f$
|
||
mit algebraischen Multiplizitäten $r_1, …, r_k$. Seien $W_1, …, W_k$ die
|
||
zugehörenden Haupträume. Dann ist
|
||
\[
|
||
V = \Hau_f(λ_1) ⊕ ⋯ ⊕ \Hau_f(λ_k).
|
||
\]
|
||
\end{kor}
|
||
\begin{proof}
|
||
\video{3-2} beweist ein vorbereitendes Lemma. Der Beweis des Korollars wird
|
||
dann in \video{3-3} beendet.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{kor}\label{kor:2-2-12}%
|
||
In der Situation von Korollar~\ref{kor:2-2-11} sei
|
||
\begin{align*}
|
||
\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1} & \quad \text{eine Basis von } W_1 \\
|
||
\vec{v}²_1, …, \vec{v}²_{r_2} & \quad \text{eine Basis von } W_2 \\
|
||
… \\
|
||
\vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} & \quad \text{eine Basis von } W_k.
|
||
\end{align*}
|
||
Dann ist $\mathcal{B} := \{\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1}, \vec{v}²_1, …,
|
||
\vec{v}²_{r_2}, …, \vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} \}$ eine (angeordnete)
|
||
Basis von $V$ und bezüglich dieser Basis ist die Matrix von $f$ von der Form
|
||
$$
|
||
\Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f) =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
A_1 & & & 0 \\
|
||
& A_2 & \\
|
||
& & \ddots \\
|
||
0 & & & A_k
|
||
\end{pmatrix}
|
||
$$
|
||
wobei für jeden Index $i$ gilt: $A_i$ ist quadratische Matrix der Größe $r_i ⨯
|
||
r_i$ und $A_i$ ist von der Form
|
||
$$
|
||
A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i,
|
||
$$
|
||
wobei $\Id_{r_i}$ die Einheitsmatrix ist und $N_i$ eine nilpotente Matrix ist.
|
||
\end{kor}
|
||
\begin{proof}
|
||
Korollar~\ref{kor:2-2-11} sagt exakt, dass $\mathcal{B}$ eine Basis von $V$
|
||
ist. Die Blockgestalt von $\Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f)$ folgt aus
|
||
\ref{il:2-2-10-3}. Die Beschreibung $A_i = λ_i·\Id_{r_i} +
|
||
(\text{nilpotent})$ ist \ref{il:2-2-10-5}.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
|
||
\subsection{Diskussion: wo sind wir}
|
||
\label{ssec:dusk}
|
||
|
||
Ich erinnere daran, dass unser Ziel ist, den Satz~\ref{satz:JNF} über die
|
||
Jordansche Normalform zu zeigen. Die Korollare~\ref{kor:2-2-11} und
|
||
\ref{kor:2-2-12} vereinfachen das Problem massiv.
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Um eine Basis zu finden, in der die Matrix von $f$ Jordansche Normalform
|
||
hat, genügt es, die Haupträume $W_i$ einzeln zu betrachten und Basen
|
||
$\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu betrachten, sodass die Matrizen
|
||
$A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$ Jordansche
|
||
Normalform haben. Das Problem reduziert sich also auf den Fall, wo den
|
||
Endomorphismus $f$ nur einen einzigen Hauptraum besitzt.
|
||
|
||
\item Um eine Basis $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu finden, sodass
|
||
die Matrix $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$
|
||
Jordansche Normalform hat, genügt es, eine Basis zu finden, sodass die Matrix
|
||
$N_i$ der nilpotenten Abbildung $f|_{W_i} - λ_i·\Id_{W_i}$ Jordansche
|
||
Normalform hat (… denn dann hat auch $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i$ Jordansche
|
||
Normalform)
|
||
\end{enumerate}
|
||
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||
Zusammenfassend stellen wir fest: Wir können die Aufgabe „finde eine Basis,
|
||
sodass die Matrix von $f$ Jordansche Normalform hat“ lösen, sobald wir wissen,
|
||
wie wir die Aufgabe für nilpotente Endomorphismen lösen. Das machen wir im
|
||
nächsten Abschnitt.
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\section{Klassifikation nilpotenter Matrizen}
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\label{sec:class}
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Wir betrachten das Problem „finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$
|
||
Jordansche Normalform hat“ jetzt also für nilpotente Endomorphismen.
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\begin{situation}\label{sit:2-3-1}%
|
||
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, $n
|
||
:= \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein nilpotenter Endomorphismus.
|
||
\end{situation}
|
||
|
||
Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, sodass
|
||
\begin{equation}\label{eq:gh}
|
||
\Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f) =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
J(0, n_1) & & & 0 \\
|
||
& J(0, n_2) & \\
|
||
& & \ddots \\
|
||
0 & & & J(0, n_l)
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\end{equation}
|
||
ist. Falls das geht, kann ich durch geeignete Anordnung der Basis auch gleich
|
||
erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
|
||
|
||
\begin{beobachtung}\label{rem:2-3-2}%
|
||
Wenn ich das Problem gelöst habe, dann ist $\sum_{i=1}^l n_i = \dim V$. In
|
||
Schlausprech sage ich „$(n_1, n_2, …, n_l)$ ist eine
|
||
Partition\footnote{Erinnerung: „Partition“ bedeutet: endliche, absteigende
|
||
Folge, sodass die Summe der Folgenglieder gleich $\dim V$
|
||
ist.}\index{Partition} von $\dim V$“. Die Matrix in \eqref{eq:gh} ist
|
||
natürlich eindeutig durch die Partition festgelegt. Überlegen Sie sich jetzt
|
||
folgendes: das Ziel („finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$ Jordansche
|
||
Normalform hat“) lässt sich deshalb auch so ausdrücken: Wir suchen eine
|
||
Bijektion zwischen
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\begin{itemize}
|
||
\item den Äquivalenzklassen nilpotenter Matrizen bezüglich der
|
||
Äquivalenzrelation „ähnlich“, und
|
||
|
||
\item den Partitionen von $\dim V$.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
\begin{prop}\label{prop:2-3-4}%
|
||
In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$. Dann gilt
|
||
Folgendes.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$.
|
||
|
||
\item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass $\vec{v} ∈ V^p ⇔
|
||
f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$.
|
||
|
||
\item\label{il:2-3-4-3} Setze $V⁰ = \{\vec{0}\}$. Dann gilt alle Indizes $p >
|
||
1$: Die Abbildung $f$ induziert eine injektive Abbildung zwischen den
|
||
Quotientenvektorräumen,
|
||
\[
|
||
\begin{tikzcd}
|
||
\overline{f} : \factor{V^p}{V^{p-1}} \ar[r] & \factor{V^{p-1}}{V^{p-2}}
|
||
\end{tikzcd}
|
||
\]
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{prop}
|
||
|
||
\begin{beobachtung}
|
||
Eigenschaft~\ref{il:2-3-4-2} zeigt insbesondere, dass $f (V^p ) ⊆ V^{p-1}$ und
|
||
dass $f^{-1}( V^{p-1}) = V^p$ ist.
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
\begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:2-3-4}]
|
||
\video{3-4}. Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$
|
||
auf Repräsentantenniveau zu definieren. Was müssen Sie genau zeigen, um
|
||
Wohldefiniertheit zu erhalten? Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern
|
||
in Klausur und mündlichen Prüfungen stelle?
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
\begin{beobachtung}
|
||
In der Situation von Proposition~\ref{prop:2-3-4} definiere für jeden Index
|
||
$p$ die Zahl $m_p := \dim (V^p/V^{p-1})$. Überlegen Sie sich folgendes: die
|
||
Injektivität von $\overline{f}$ zeigt, dass die $m_p$ eine absteigende Folge
|
||
bilden. Die Dimensionsformel zeigt, dass $\sum_p m_p = \dim V$ ist. Also ist
|
||
$(m_1, m_2, …)$ eine Partition von $\dim V$.
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
Partitionen wurden schon in Beobachtung~\vref{rem:2-3-2} diskutiert. Jeder
|
||
Leser von Kriminalromanen erkennt sofort, dass das kein Zufall sein
|
||
kann.\sideremark{Vorlesung 4} Allerdings ist die Partition $(m_1, m_2, …)$ noch
|
||
nicht die, von der in Beobachtung~\ref{rem:2-3-2} die Rede war: Wir müssen erst
|
||
zur „dualen Partition“ übergehen.
|
||
|
||
\begin{defn}[Duale Partition]\label{def:dualePart}%
|
||
\index{Partition!duale}\index{duale Partition}Es sein $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $P
|
||
= (m_1, m_2, …)$ sei eine Partition von $n$. Gegeben einen Index $i$, setze
|
||
\[
|
||
n_i := \# \{ j \:|\: m_j ≥ i \}.
|
||
\]
|
||
Nenne die Folge $P^* = (n_1, n_2, …)$ die \emph{zu $P$ duale Partition}.
|
||
\end{defn}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es sei $n = 19$ und $P = (5, 5, 4, 2, 2, 1)$. Dann ist $P^* = (6, 5, 3, 3,
|
||
2)$ wieder eine Partition der Zahl 19. Abbildung~\vref{fig:part}
|
||
veranschaulicht den Zusammenhang.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
\begin{figure}[t]
|
||
\centering
|
||
\[
|
||
\begin{array}{c|cccccc}
|
||
6 & * & * & * & * & * & * \\
|
||
5 & * & * & * & * & * \\
|
||
3 & * & * & * \\
|
||
3 & * & * & * \\
|
||
2 & * & * \\
|
||
\hline
|
||
& 5 & 5 & 4 & 2 & 2 & 1
|
||
\end{array}
|
||
\]
|
||
|
||
\caption{Partition und duale Partition}
|
||
\label{fig:part}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\begin{bemerkung}
|
||
In der Situation von Definition~\ref{def:dualePart}, überlegen Sie sich, dass
|
||
$P^*$ wieder eine Partition von $n$ ist. Überlegen Sie sich auch, dass für
|
||
jede Partition $P$ die Gleichheit $(P^*)^* = P$ gilt. Abbildung~\ref{fig:part}
|
||
kann ihnen dabei helfen.
|
||
\end{bemerkung}
|
||
|
||
\begin{prop}[Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen]\label{prop:JNF}%
|
||
In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$ und $m_p := \dim
|
||
(V^p/V^{p-1})$. Es sei $P$ die Partition $P = (m_1, m_2, …)$ von $\dim V$ und
|
||
es sei $P^* := (n_1, n_2, …, n_l)$ die zu $P$ duale Partition. Dann gibt es
|
||
eine angeordnete Basis $\mathcal{B} := \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, … \}$ eine
|
||
(angeordnete) Basis von $V$, sodass die Matrix von $f$ die folgende Form hat,
|
||
\begin{equation}\label{eq:sdfg}
|
||
\Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f) =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
J(0, n_1) & & & 0 \\
|
||
& J(0, n_2) & \\
|
||
& & \ddots \\
|
||
0 & & & J(0, n_l)
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
\end{equation}
|
||
\end{prop}
|
||
\begin{proof}
|
||
Der Beweis ist von der Notation her ein wenig aufwändig. Daher werde ich den
|
||
Beweis nur im Spezialfall aufschreiben, wo die Partition $P$ die Form $P =
|
||
(5,5,4,2,2,1)$ hat. Der Beweis funktioniert natürlich für jede beliebige
|
||
Partition. Ich habe den Beweis in mehrere Schritte unterteilt.
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 1, Konstruktion}
|
||
|
||
Es sei $q$ der Nilpotenzindex von $f$, sodass $V^q = V$ ist.
|
||
Proposition~\ref{prop:2-3-4} liefert eine Kette von Abbildungen
|
||
\[
|
||
\factor{V^q}{V^{q-1}} \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V^{q-1}}{V^{q-2}} \xrightarrow{\overline{f}} ⋯ \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V¹}{V⁰}.
|
||
\]
|
||
Jetzt wählen wir (auf relativ komplizierte Weise) für jeden Index $p$ genau
|
||
$m_p$ Vektoren aus $V$ und konstruieren damit ein Diagramm von Vektoren, das
|
||
ausschaut wie die grafische Darstellung der Partition aus
|
||
Abbildung~\ref{fig:part}. Nämlich so:
|
||
\[
|
||
\begin{array}{c|cccccc}
|
||
n_1 & f⁵(\vec v⁶_1) & f⁴(\vec v⁶_1) & f³(\vec v⁶_1) & f²(\vec v⁶_1) & f(\vec v⁶_1) & \vec v⁶_1 \\
|
||
n_2 & f⁴(\vec v⁵_1) & f³(\vec v⁵_1) & f²(\vec v⁵_1) & f(\vec v⁵_1) & \vec v⁵_1 \\
|
||
n_3 & f²(\vec v³_1) & f(\vec v³_1) & \vec v³_1 \\
|
||
n_4 & f²(\vec v³_2) & f(\vec v³_2) & \vec v³_2 \\
|
||
n_5 & f(\vec v¹_1) & \vec v¹_1 \\
|
||
\hline
|
||
& m_1 & m_2 & m_3 & m_4 & m_5 & m_6
|
||
\end{array}
|
||
\]
|
||
Das Diagramm soll die Eigenschaft haben, dass für jeden Index $p$ Folgendes
|
||
gilt.
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Die Vektoren aus der $p$.ten Spalte kommen aus dem Vektorraum $V^p$.
|
||
|
||
\item Die Restklassen der Vektoren aus der $p$.ten Spalte bilden eine Basis
|
||
des Quotientenvektorraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$.
|
||
\end{itemize}
|
||
Wir konstruieren das Diagramm induktiv, Spalte für Spalte, wobei wir mit der
|
||
rechten Spalte beginnen.
|
||
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 1.1, Induktionsstart, Konstruktion der rechten Spalte}
|
||
|
||
Wähle eine Folge von Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$, sodass die
|
||
Restklassen $[\vec v^q_1], …, [\vec v^q_{m_q}]$ eine Basis des Quotientenraums
|
||
$\factor{V^q}{V^{q-1}}$ bilden. Die Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$
|
||
bilden die rechte Spalte. Nach Konstruktion bilden die Restklassen dieser
|
||
Vektoren eine Basis von $\factor{V^q}{V^{q-1}}$.
|
||
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 1.2, Induktionsschritt, Konstruktion der $p$.ten Spalte}
|
||
|
||
Sei ein Index $p$ gegeben und sei die $(p+1)$.te Spalte schon konstruiert. Die
|
||
Vektoren aus der $(p+1)$.ten Spalte bezeichnen wir provisorisch mit $\vec w_1,
|
||
…, \vec w_a$. Beachte, dass die Abbildung
|
||
\[
|
||
\overline{f} : \factor{V^{p+1}}{V^p} → \factor{V^p}{V^{p-1}}
|
||
\]
|
||
injektiv ist. Insbesondere sind die Bilder $\overline{f}([w_1]), …,
|
||
\overline{f}([w_a])$ linear unabhängige Vektoren des Quotientenraums
|
||
$\factor{V^p}{V^{p-1}}$. Nach dem Basisergänzungssatz können wir jetzt aber
|
||
Vektoren $\vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a}$ aus $V$ finden, sodass
|
||
\[
|
||
\overline{f}([\vec w_1]), …, \overline{f}([\vec w_a]), [\vec v^p_1], …,
|
||
[\vec v^p_{m_p-a}]
|
||
\]
|
||
eine Basis des Quotientenraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden. Schreibe jetzt
|
||
die Vektoren
|
||
\[
|
||
\overline{f}(\vec w_1), …, \overline{f}(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec
|
||
v^p_{m_p-a}
|
||
\]
|
||
in die $p$.te Spalte des Diagramms. Nach Punkt~\ref{il:2-3-4-2} von
|
||
Proposition~\ref{prop:2-3-4} kommen alle diese Vektoren aus $V^p$.
|
||
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 2, Lineare Unabhängigkeit}
|
||
|
||
Ich zeige in diesem Schritt folgende Aussage per Induktion: für jeden Index
|
||
$p$ gilt, dass die Menge aller Vektoren aus den Spalten $1$, …, $p$ eine Basis
|
||
des Vektorraumes $V^p$ ist.
|
||
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 2.1, Induktionsstart, erste Spalte}
|
||
|
||
Per Konstruktion bilden die Restklassen der Einträge aus der ersten Spalte
|
||
eine Basis von $V¹/V⁰$. Es ist aber $V⁰ = \{ 0 \}$.
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 2.2, Induktionsschritt}
|
||
|
||
Sei ein Index $p>1$ gegeben. Induktionsannahme: die Vektoren $\vec{α}_1, …,
|
||
\vec{α}_a$ aus den ersten $(p-1)$ Spalten bilden eine Basis von $V^{p-1}$.
|
||
Seien $\vec{β}_1, …, \vec{β}_b$ die Vektoren der $p$.ten Spalte und sei
|
||
\[
|
||
W^p := \langle \vec{α}_1, …, \vec{α}_a, \vec{β}_1, …, \vec{β}_b \rangle
|
||
⊂ V^p
|
||
\]
|
||
der von allen Vektoren gemeinsam aufgespannte Untervektorraum. Nach
|
||
Konstruktion ist die verkettete Abbildung $γ$
|
||
\[
|
||
W^p → V^p → \factor{V^p}{V^{p-1}}
|
||
\]
|
||
surjektiv, also ist nach der Dimensionsformel
|
||
\[
|
||
\dim W^p = \dim \factor{V^p}{V^{p-1}} + \dim \ker γ.
|
||
\]
|
||
Außerdem ist per Induktionsannahme $V^{p-1} ⊆ W^p$, also
|
||
\[
|
||
\ker γ = V^{p-1} \quad \text{und} \quad \dim W^p = m_p + \dim V^{p-1} = \dim V^p.
|
||
\]
|
||
Also ist die Menge ein Erzeugendensystem. Weil sie aber genau $(\dim
|
||
V^p)$-viele Elemente enthält, muss es sich um eine Basis handeln.
|
||
|
||
|
||
\paragraph{Schritt 3, Ende des Beweises}
|
||
|
||
Nach Schritt 2 wissen wir, dass die Elemente des Diagramms eine Basis von
|
||
$V^q=V$ bilden. Nummeriere die Elemente des Diagramms jetzt wie folgt:
|
||
\[
|
||
\begin{array}{c|cccccc}
|
||
n_1 & \vec v_1 & \vec v_2 & \vec v_3 & \vec v_4 & \vec v_5 & \vec v_6 \\
|
||
n_2 & \vec v_{7} & \vec v_{8} & \vec v_9 & \vec v_{10} & \vec v_{11} \\
|
||
n_3 & \vec v_{12} & \vec v_{13} & \vec v_{14} \\
|
||
n_4 & \vec v_{15} & \vec v_{16} & \vec v_{17} \\
|
||
n_5 & \vec v_{18} & \vec v_{19} \\
|
||
\hline
|
||
& m_1 & m_2 & m_3 & m_4 & m_5 & m_6
|
||
\end{array}
|
||
\]
|
||
Dann ist klar, dass $f(\vec v_1) = \vec 0$, $f(\vec v_2) = \vec v_1$, …,
|
||
$f(\vec v_6) = \vec v_5$, $f(\vec v_7)=\vec 0$, … und insgesamt ergibt sich,
|
||
dass die Matrix von $f$ bezüglich dieser angeordneten Basis die Form
|
||
\eqref{eq:sdfg} hat. Damit ist Proposition~\ref{prop:JNF} bewiesen.
|
||
\end{proof}
|
||
|
||
Wie wir im Abschnitt~\vref{ssec:dusk} gesehen haben, beendet
|
||
Proposition~\ref{prop:JNF} den Beweis von Satz~\ref{satz:JNF}. Der nächste
|
||
Abschnitt fasst den Beweis noch einmal zusammen.
|
||
|
||
|
||
\section{Beweis von Satz~\ref*{satz:JNF} („Jordansche Normalform“)}
|
||
\label{ssec:pjnf}
|
||
|
||
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und
|
||
es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Weiter seien $λ_1, …, λ_k$ die
|
||
Eigenwerte von $f$. Nach Korollar~\ref{kor:2-2-11} schreiben wir
|
||
\begin{equation}\label{eq:dfgd}
|
||
V = \bigoplus_{i=1}^k \Hau_f(λ_i).
|
||
\end{equation}
|
||
Für jeden Index $i$ betrachte
|
||
\[
|
||
g_i := \bigl(f-λ_i·\Id_V\bigr)|_{\Hau_f(λ_i)} : \Hau_f(λ_i) → V.
|
||
\]
|
||
Nach Punkt~\ref{il:2-2-10-3} von Satz~\ref{satz:2-2-10} wissen wir schon, dass
|
||
$g_i$ den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ in den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ abbildet. Wir
|
||
können $g_i$ also als Endomorphismus $g_i ∈ \End\bigl(\Hau_f(λ_i)\bigr)$
|
||
auffassen. Per Definition von „Hauptraum“ ist jeder Endomorphismus $g_i$
|
||
nilpotent. Das erlaubt, Proposition~\ref{prop:JNF} anzuwenden; dies liefert uns
|
||
für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis
|
||
\[
|
||
\mathcal{B}_i = \{ \vec{w}_{i,1}, …, \vec{w}_{i,r_i}\}.
|
||
\]
|
||
Wegen der Zerlegung \eqref{eq:dfgd} von $V$ als direkte Summe ist klar, dass
|
||
\[
|
||
\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, \vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …,
|
||
\vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, \vec{w}_{k,r_k} \}
|
||
\]
|
||
eine angeordnete Basis von $V$ ist. Nach Wahl der Basis in
|
||
Proposition~\ref{prop:JNF} ist klar, dass es sich dabei um eine Jordanbasis
|
||
handelt. Damit ist Satz~\ref{satz:JNF} bewiesen. \qed
|
||
|
||
|
||
\section{Praktische Methode zur Berechnung}
|
||
|
||
Der Beweis von Satz~\ref{satz:JNF} ist so konkret, dass sich daraus eine
|
||
praktisch nützliche Methode zur Berechnung einer Jordanbasis ergibt. Es sei
|
||
also $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und es
|
||
sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Um eine Jordanbasis zu finden, gehe wie
|
||
folgt vor.
|
||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Es seien $λ_1, …, λ_k$ die Eigenwerte von $f$ --- diese bestimmen wir,
|
||
indem wir die Nullstellen des charakteristischen Polynoms suchen.
|
||
|
||
\item Für jeden Index $i$ sei $r_i$ die algebraische Multiplizität des
|
||
Eigenwertes --- da wir über den komplexen Zahlen arbeiten, wissen wir schon,
|
||
dass das charakteristische Polynom von $f$ in Linearfaktoren zerfällt. Wir
|
||
müssen also schauen, wie oft der Term $t-λ_i$ das charakteristische Polynom
|
||
teilt.
|
||
|
||
\item Für jeden Index $i$ bestimme den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ von $f$ zum
|
||
Eigenwert $λ_i$ --- Punkt~\ref{il:2-2-10-1} von Satz~\ref{satz:2-2-10}
|
||
(„Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität“) sagt, wie das geht:
|
||
Der Hauptraum ist gegeben als
|
||
\[
|
||
\Hau_f(λ_i) = \ker \bigl( (f - λ_i·\Id)^{r_i} \bigr).
|
||
\]
|
||
Um die Länge der Notation im Rahmen zu halten, schreibe $W_i := \Hau_f(λ_i)$.
|
||
|
||
\item Für jeden Index $i$ betrachte $g_i := (f - λ·\Id_V)|_{W_i}$ --- wir wissen
|
||
schon, dass dies ein nilpotenter Endomorphismus von $W_i$ ist.
|
||
|
||
\item Für jeden Index $i$ bestimme die zu $g_i$ gehörende Partition $P_i$ und
|
||
die duale Partition
|
||
\[
|
||
P^*_i = (n_{i,1}, n_{i,2}, …, n_{i,l_i})
|
||
\]
|
||
dazu muss man mit LA1-Methoden die Dimensionen der Räume $W^p_i :=
|
||
\ker(g^p_i)$ ausrechnen und dann die Dimensionen der Quotientenvektorräume
|
||
bestimmen. Um die duale Partition auszurechnen, empfiehlt es sich, ein Bild
|
||
wie in Abbildung~\ref{fig:part} zu malen.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
Falls Sie nur daran interessiert sind, wie die Jordansche Normalform des
|
||
Endomorphismus $f$ aussieht, sind sie jetzt fertig: Die Jordansche Normalform
|
||
von $f$ hat Blockgestalt,
|
||
\[
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
A_1 \\
|
||
& \ddots \\
|
||
& & A_k
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
|
||
wobei jeder Block $A_i$ eine quadratische Matrix von der Form
|
||
\[
|
||
A_i =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
J(λ_i, n_{i,1}) & & & 0 \\
|
||
& J(λ_i, n_{i,2}) & \\
|
||
& & \ddots \\
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||
0 & & & J(λ_i, n_{i,l_i})
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\end{pmatrix}
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\]
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ist. In der Praxis ist man aber an diesem Punkt meist noch nicht fertig. Es
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bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben.
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\begin{enumerate}
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\item Schauen Sie sich den Beweis von Proposition~\ref{prop:JNF} noch einmal an
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und erkennen Sie, dass Sie die Schritte dort konkret nachvollziehen können.
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Finden Sie so für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis $\mathcal{B}_i = \{
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\vec{w}_{i,1}, …, \vec{w}_{i,r_i}\}$, sodass die Matrix von $g_i$ die Form
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\[
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\begin{pmatrix}
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J(0, n_{i,1}) & & & 0 \\
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& J(0, n_{i,2}) & \\
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& & \ddots \\
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0 & & & J(0, n_{i,l_i})
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\end{pmatrix}
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\]
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hat.
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\end{enumerate}
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Wie wir oben gesehen haben, ist
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$$
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\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, \vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, \vec{w}_{k,r_k} \}
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$$
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dann eine Jordanbasis.
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\subsection{Beispiele}
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Das Internet ist voll von Beispielen. Hier nennen wir nur einige, die wir bei
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einer Suche sofort gefunden haben. Wenn Sie noch andere gute Beispiele finden,
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melden Sie sich doch bitte bei uns.
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\begin{itemize}
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\item \url{https://metaphor.ethz.ch/x/2017/hs/401-1151-00L/Beispiel_JNF.pdf}
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\item \url{http://www.math.kit.edu/iag2/lehre/la2mathe20122012s/media/tutorium02_l\%C3\%B6sungshinweise.pdf}
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\item \url{https://www.youtube.com/watch?v=hPAQdmEPU_k}
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\item \url{https://www3.math.tu-berlin.de/Vorlesungen/WS10/LinAlg2/BerechnungJNF.pdf}
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\item \url{https://www.youtube.com/watch?v=S31sSZ2FbRo}
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\end{itemize}
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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