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\chapter{Der Satz von Cayley-Hamilton}


\section{Der Einsetzungsmorphismus}

\sideremark{Vorlesung 6}Wir betrachten wieder die folgende Situation.

\begin{situation}\label{sit:4-0-1}
  Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und
  es sei $f ∈ \End(V)$ ein linearer Endomorphismus.
\end{situation}

In der Situation~\ref{sit:4-0-1} gibt es noch mehr Endomorphismen, zum Beispiel
\[
  f⁰ = \Id_V, \quad f², \quad f³, \quad\text{oder}\quad f⁵-7·f²+12·f-5·f⁰.
\]
Das funktioniert natürlich nicht nur mit den Polynomen $x⁰$, $x²$, $x³$ und
$x⁵-7·x²+12·x-5$, sondern ganz allgemein.  Die passende Definition kommt sofort,
aber zuerst erinnern wir uns an eine einige Definitionen zum Thema „Polynome“.

\begin{defn}[Polynome]
  Gegeben einen Körper $k$, dann bezeichne mit $k[t]$ die Menge der Polynome mit
  Koeffizienten im Körper $k$.  Gegeben ein Polynom
  $p(t) = \sum a_i·tⁱ ∈ k[t]$, dann nenne
  \[
    d :=
    \left\{
      \begin{matrix}
        -1 && \text{falls } p = 0 \\
        \max \{ i ∈ ℕ \:|\: a_i \ne 0\} && \text{sonst}
      \end{matrix}
    \right.
  \]
  den Grad\index{Grad eines Polynoms} des Polynoms, in Formeln $\deg(f)$.  Falls
  $\deg(p) ≥ 0$, dann nenne $a_{\deg(p)}$ den
  Leitkoeffizienten\index{Leitkoeffizient} von $p$.  Ein Polynom heißt
  normiert\index{normiert!Polynom}, falls der Leitkoeffizient gleich 1 ist.
\end{defn}

\begin{bsp}
  Es ist $t²+π·t- \sqrt{2} ∈ ℝ[t]$, aber nicht in $ℚ[t]$.
\end{bsp}

Ich wiederhole die Warnung aus „Lineare Algebra I“.  Wie wir in der Schule
gelernt haben, liefert jedes Polynom $p(t) ∈ k[t]$ eine Abbildung $k → k$, $λ ↦
p(λ)$, die man oft irreführenderweise ebenfalls mit $p$ bezeichnet.  Beachten
Sie aber, dass Polynome zwar Abbildungen liefern, aber keine Abbildungen sind!
Wenn $𝔽_2$ der bekannte Körper mit zwei Elementen ist, dann sind die Polynome
$t$, $t²$, $t³$, … alle unterschiedlich (denn sie haben ja unterschiedlichen
Grad).  Die zugehörigen Abbildungen sind aber alle gleich. Insgesamt gibt es
unendliche viele Polynome, aber natürlich nur endlich viele Selbstabbildungen
des endlichen Körpers $𝔽_2$.

\begin{defn}[Einsetzungsabbildung für Endomorphismen]
  In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei ein Polynom $p(t) = \sum_{i=0}^n a_i·tⁱ$ aus
  $k[t]$ gegeben -- dabei sind die Koeffizienten $a_i$ per Definition Elemente
  des Körpers $k$.  Dann bezeichne mit $p(f) ∈ \End(V)$ den Endomorphismus
  \[
    p(f) := \sum_{i=0}^n a_i·fⁱ.
  \]
  Wir erhalten so eine Abbildung
  \[
    s: k[t] → \End(V), \quad p ↦ p(f),
  \]
  genannt
  \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Endomorphismen}.
  Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in $k$ und
  ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ definieren wir völlig analog eine Matrix $p(A)$ und
  eine \emph{Einsetzungsabbildung}\index{Einsetzungsabbildung!Matrizen} $s: k[t]
  → \Mat(n⨯n, k)$ durch $s(A) = p(A)$.
\end{defn}

\begin{beobachtung}[Einsetzungsabbildung bei ähnlichen Matrizen]\label{beob:4-0-6}%
  Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine $(n⨯n)$-Matrix $A$ mit Einträgen in $k$ und
  ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$.  Wenn wir noch eine invertierbare Matrix $S ∈
  GL_n(k)$ haben, dann ist
  \[
    p(S·A·S^{-1}) = S·p(A)·S^{-1}.
  \]
\end{beobachtung}

Der Satz von Cayley\footnote{Arthur Cayley (* 16.~August 1821 in Richmond upon
Thames, Surrey; † 26.~Januar 1895 in Cambridge) war ein englischer Mathematiker.
Er befasste sich mit sehr vielen Gebieten der Mathematik von der Analysis,
Algebra, Geometrie bis zur Astronomie und Mechanik, ist aber vor allem für seine
Rolle bei der Einführung des abstrakten Gruppenkonzepts
bekannt.}-Hamilton\footnote{Sir William Rowan Hamilton (* 4.~August 1805 in
Dublin; † 2.~September 1865 in Dunsink bei Dublin) war ein irischer Mathematiker
und Physiker, der vor allem für seine Beiträge zur Mechanik und für seine
Einführung und Untersuchung der Quaternionen bekannt ist.} sagt, dass jeder
Endomorphismus Nullstelle seines eigenen charakteristischen Polynoms ist.  Wie
cool ist das?

\begin{satz}[Satz von Cayley-Hamilton]\label{satz:CayleyHamilton}
  In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei $χ_f(t) ∈ k[t]$ das charakteristische
  Polynom des Endomorphismus $f$.  Dann ist
  \[
    χ_f(f) = 0 ∈ \End(V).
  \]
\end{satz}

\begin{bemerkung}
  Der Satz von Cayley-Hamilton funktioniert genau so für Matrizen.
\end{bemerkung}

\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:CayleyHamilton}]
  Der Satz von Cayley-Hamilton gilt für beliebige Körper $k$.  Der vollständige
  Beweis verwendet aber Begriffe der Algebra (den „algebraischen Abschluss eines
  Körpers“), die uns derzeit noch nicht zur Verfügung stehen. Deshalb beweisen
  wir den Satz im folgenden Video nur im Spezialfall $k = \bC$.
  \video{6-1}
\end{proof}


\section{Das Minimalpolynom}

Wir bleiben in Situation~\ref{sit:4-0-1}.  Dann wissen wir schon, dass $f$ eine
Nullstelle von $χ_f$ ist.  Wir fragen uns, ob es nicht noch ein einfacheres
Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gibt, sodass $p(f) = 0$ ist.  Und nein, wir wollen nicht
das Nullpolynom betrachten.

\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-7}%
  In Situation~\ref{sit:4-0-1}, wenn ein Polynom $p(t) ∈ k[t]$ gegeben ist mit
  $p(f) = 0$ und wenn $λ ∈ k ∖ \{0\}$ dann ist $q := λ·p$ auch wieder ein
  Polynom und $q(f) = 0$.  Konsequenz: bei unserer Suche nach möglichst
  einfachen Polynomen können wir immer annehmen, dass der Leitkoeffizient gleich
  1 ist.
\end{beobachtung}

\begin{beobachtung}\label{beob:4-0-8}%
  In Situation~\ref{sit:4-0-1} seien $p_1(t)$ und $p_2(t) ∈ k[t]$ zwei
  unterschiedliche Polynome mit $p_1(f) = p_2(f) = 0$.  Angenommen, die Grade
  von $p_1$ und $p_2$ seien gleich und beide Polynome seien normiert.  Setzt $q
  := p_1-p_2$.  Dann gilt Folgendes.
  \begin{itemize}
  \item Das Polynome $q$ ist nicht das Nullpolynom.
  \item Es ist $q(f) = p_1(f) - p_2(f) = 0 - 0 = 0 ∈ \End(V)$.
  \item Es ist $\deg q < \deg p_1 = \deg p_2$.
  \end{itemize}
\end{beobachtung}

Diese Beobachtungen legen folgende Definition nahe.

\begin{defn}[Minimalpolynom]
  Gegeben Situation~\ref{sit:4-0-1} ein Polynom $m(t) ∈ k[t]$ heißt
  \emph{Minimalpolynom des Endomorphismus
    $f$}\index{Minimalpolynom!Endomorphismus}, falls Folgendes gilt.
  \begin{itemize}
  \item Das Polynom $m$ ist nicht das Nullpolynom.
  \item Das Polynom $m$ ist normiert.
  \item Der Grad von $m$ ist minimal unter den Graden aller Polynome, die $f$
    als Nullstelle haben.
  \end{itemize}
  Das Minimalpolynom einer quadratischen Matrix ist analog
  definiert\index{Minimalpolynom!Matrix}.
\end{defn}

\begin{bemerkung}
  Beobachtung~\ref{beob:4-0-7} und der Satz~\ref{satz:CayleyHamilton} von
  Cayley-Hamilton sagen, dass Minimalpolynome für jeden Endomorphismus und für
  jede quadratische Matrix existieren.  Beobachtung~\ref{beob:4-0-8} sagt, dass
  das Minimalpolynom eindeutig bestimmt ist.
\end{bemerkung}

\begin{bsp}
  Betrachte die reelle Matrix
  \[
    A :=
    \begin{pmatrix}
      5 & 1 & 0 \\
      0 & 5 & 0 \\
      0 & 0 & 5
    \end{pmatrix}.
  \]
  Da die Matrix $A$ kein Vielfaches von $\Id_{3⨯3}$, ist das
  Minimalpolynom von $A$ ganz sicher nicht linear.  Auf der anderen Seite ist
  \[
    A² =
    \begin{pmatrix}
      25 & 10 & 0 \\
      0 & 25 & 0 \\
      0 & 0 & 25
    \end{pmatrix}.
  \]
  Also ist $A²-10·A+25·\Id_{3⨯3} = 0$.  Also ist
  $p(t) = t²-10·t+25 = (t-5)²$ ein normiertes Polynom, das $A$ als Nullstelle
  hat.  Das muss dann wohl das Minimalpolynom sein.
\end{bsp}

\begin{bsp}
  Es sei $A$ ein Jordanblock der Form $A = J(λ,n)$.  Dann ist $p(t) = (t-λ)^n$
  ein normiertes Polynom, das $A$ als Nullstelle hat.  Überlegen Sie sich als
  Hausaufgabe, dass $P$ tatsächlich das Minimalpolynom ist.
\end{bsp}

\begin{beobachtung}
  Beobachtung~\ref{beob:4-0-6} zeigt: Ähnliche Matrizen haben dasselbe
  Minimalpolynom.
\end{beobachtung}

Der folgende Satz liefert eine erste Beschreibung des Minimalpolynoms.

\begin{satz}[Andere Polynome mit $f$ als Nullstelle]
  In Situation~\ref{sit:4-0-1} sei $p(t)$ das Minimalpolynom von $f$, und $q(t)$
  sei ein weiteres, nicht-verschwindendes Polynom, das $f$ als Nullstelle hat.
  Dann ist $q$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms $p$.  Das bedeutet: Es gibt
  ein Polynom $r(t)$, sodass $q(t) = r(t)·p(t)$ ist.
\end{satz}
\begin{proof}
  Ich führe einen Widerspruchsbeweis und nehme an, die Aussage sei falsch.  Dann
  gibt es ein Polynom $q(t)$ mit $q(f) = 0$, welches kein Vielfaches von $p$
  ist.  Wir können gleich noch Folgendes annehmen.
  \begin{enumerate}
  \item Das Polynom $q$ ist normiert.
  \item Der Grad von $q$ ist minimal unter den Graden aller Polynome, die $f$
    als Nullstelle haben und die kein Vielfaches von $p$ sind.
  \end{enumerate}
  Dann ist ganz klar per Definition von „Minimalpolynom“ $\deg q ≥ \deg p$.  Es
  sei $d := \deg q - \deg p$.  Man beachte, dass $t^d·p$ ebenfalls normiert ist
  und $f$ als Nullstelle hat.  Also hat
  \[
    r(t) = q(t) - t^d·p(t)
  \]
  ebenfalls $f$ als Nullstelle.  Weiterhin ist $r$ kein Vielfaches von $p$ (…denn
  sonst wäre auch $q$ ein Vielfaches von $p$).  Zusätzlich gilt:
  $\deg r < \deg q$, im Widerspruch zur Annahme, dass der Grad von $q$ minimal
  sei.
\end{proof}

\begin{satz}[Nullstellen des Minimalpolynoms]
  Es sei $k$ ein Körper, $A$ eine $(n⨯n)$-Matrix mit Werten in $k$ und $λ ∈ k$.
  TFAE:
  \begin{enumerate}
  \item Das Skalar $λ$ ist ein Eigenwert von $A$.
    
  \item Das Skalar $λ$ ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms
    $χ_A$.
    
  \item Das Skalar $λ$ ist eine Nullstelle des Minimalpolynoms von $A$.
  \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{6-2}
\end{proof}

Über den komplexen Zahlen können wir die Frage nach dem Minimalpolynom
vollständig beantworten.

\begin{satz}[Beschreibung des Minimalpolynoms über $ℂ$]
  Es sei $A$ eine $(n⨯n)$-Matrix über den komplexen Zahlen.  Bezeichne die
  Eigenwerte von $A$ mit $λ_1$, …, $λ_d$ und schreibe für jeden Index $i$
  \[
    m_i := \text{Länge des längsten Jordanblocks zum Eigenwert } λ_i.
  \]
  Dann ist das Minimalpolynom von $A$ gegeben als
  \[
    p(t) = (t-λ_1)^{m_1}·(t-λ_2)^{m_2}⋯ (t-λ_d)^{m_d}.
  \]
\end{satz}
\begin{proof}
  \video{6-3}
\end{proof}

% !TEX root = LineareAlgebra2
