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\chapter{Wiederholung}

\section{Endomorphismen, Eigenwerte, Eigenvektoren}

\sideremark{Vorlesung 1}Am Ende der Vorlesung „Lineare Algebra I“ hatten wir
folgende Situation betrachtet.

\begin{situation}\label{sit:LA1}%
  Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum und es
  sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus des Vektorraumes $V$, also eine
  $k$-lineare Abbildung $f : V → V$.
\end{situation}

Das Ziel war, eine angeordnete Basis $B$ von $V$ zu finden, sodass die Matrix
$\Mat^B_B(f)$ möglichst einfach wird.  Am besten wäre es, wenn die Matrix
Diagonalgestalt hat.

\begin{defn}[Diagonalisierbarer Endomorphismus]
  In Situation~\ref{sit:LA1}: der Endomorphismus $f$ heißt
  \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Endomorphismus}, falls es eine
  Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B(f)$ eine Diagonalmatrix ist.
\end{defn}

Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert.

\begin{defn}[Diagonalisierbare Matrix]
  Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine $(n ⨯ n)$-Matrix $A$ heißt
  \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Matrix}, falls sie einer
  Diagonalmatrix ähnlich ist, d.  h.  $∃S ∈ GL_n(k)$, sodass $SAS^{-1}$ eine
  Diagonalmatrix ist.
\end{defn}

Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren „Eigenwert“, „Eigenvektor“
und „Eigenraum“.

\begin{defn}[Eigenwert]
  Situation wie in \ref{sit:LA1}.  Ein Skalar $λ ∈ k$ heißt \emph{Eigenwert von
    $f$}\index{Eigenwert}, wenn es einen Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$
  gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
\end{defn}

\begin{defn}[Eigenraum]
  Situation wie in \ref{sit:LA1}.  Gegeben ein Skalar $λ ∈ k$, dann nenne
  $$
  V_{λ} := \{ \vec{v} ∈ V \:|\: f(\vec{v}) = λ \vec{v} \}
  $$
  den \emph{Eigenraum von $f$ zum Eigenwert $λ$}\index{Eigenraum}.
\end{defn}

\begin{defn}[Eigenvektor]
  Situation wie in \ref{sit:LA1}.  Ein Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$ heißt
  \emph{Eigenvektor von $f$}\index{Eigenvektor}, wenn es ein Skalar $λ ∈ k$
  gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
\end{defn}

Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist.  In
der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte
auszurechnen: Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des
charakteristischen Polynoms
\[
  χ_f(t) := \det \bigl( f - t \Id_V \bigr).
\]
\textbf{Achtung!} Die Definition des charakteristischen Polynoms ist in der
Literatur nicht ganz einheitlich.  Manche Autoren bezeichnen auch das Polynom
$\det \bigl( t \Id_V - f \bigr)$ als charakteristisches Polynom.  In der Praxis
macht das keinen Unterschied, weil sich die beiden Polynome höchstens um ein
Vorzeichen unterscheiden und wir sowieso nur an den Nullstellen interessiert
sind.  Ich werde versuchen, durchgehend die Konvention $χ_f(t) := \det \bigl( f
- t \Id_V \bigr)$ zu verwenden\footnote{Wie ich mich kenne, wird das aber nicht
immer gelingen.  Bitte informieren Sie mich, wenn Sie irgendwo einen
Vorzeichenfehler sehen.  Ich wurde gefragt, welche Konvention in Übungsaufgaben
und in der Klausur verwendet werden sollen.  Der Einheitlichkeit und Einfachheit
halber wäre es schön, wenn alle die oben angegebene Konvention nutzen, aber
eigentlich ist mir die Konvention egal.  Hauptsache, ihre Lösung ist richtig und
wir können verstehen, was Sie machen!  Melden Sie sich, wenn Ihnen irgendwo
Punkte abgezogen wurden.}.

\begin{erinnerung}[Komplexe Polynome zerfallen in Linearfaktoren]
  Für $k = ℂ$ gilt: Jedes Polynom hat eine Nullstelle.  Insbesondere gilt, dass
  ich jedes Polynom über $ℂ$ als Produkt von linearen Polynomen schreiben kann.
  Zum Beispiel ist
  $$
  g(z) = (z - i)·(z + i)·(z + i)·(z + i)·(z - 2)·(z - 3).
  $$
  Also ist $\deg(g) = 6$ und die Nullstellen von $g$ sind $i$, $2$ und $3$
  (jeweils mit Vielfachheit 1) sowie $-i$ (mit Vielfachheit 3).
\end{erinnerung}


\section{Algebraische und geometrische Vielfachheit}

Zurück zur Situation~\ref{sit:LA1}.  Wenn ich nun einen Skalar $λ ∈ k$ gegeben
habe, kann ich die folgenden zwei Zahlen betrachten.
\begin{itemize}
\item Die \emph{algebraische Vielfachheit von
  $λ$}\index{Vielfachheit!algebraische} ist die Vielfachheit von $λ$ als
  Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
  
\item Die \emph{geometrische Vielfachheit von
  $λ$}\index{Vielfachheit!geometrische} ist die Dimension des Vektorraumes
  $V_{λ}$.
\end{itemize}

\begin{bsp}\label{bsp:1.1}
  Es sei $k = ℂ$, es sei $V = ℂ²$ und es sei $f : V → V$ gegeben durch die
  Matrix
  $$
  \begin{pmatrix}
    2 & 3 \\ 0 & 2
  \end{pmatrix}.
  $$
  Dann ist $χ_f(t) = (2 - t)²$.  Wir betrachten das Skalar $λ = 2$.  Dies ist
  eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und die algebraische
  Vielfachheit von $λ$ ist zwei.  Auf der anderen Seite ist
  $$
  V_2 = ℂ · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
  $$
  Also ist die geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich eins.
\end{bsp}

\begin{prop}[Vergleich von alg.\ und geom.~Vielfachheit]
  In Situation~\ref{sit:LA1} sei $λ ∈ k$ ein Skalar, dann gilt:
  $$
  \text{algebraische Vielfachheit } ≥ \text{ geometrische Vielfachheit}
  $$
\end{prop}
\begin{proof}
  Sei ein Skalar $λ$ gegeben.  Falls die geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich
  Null ist, ist nichts zu zeigen.  Sei also die geometrische Vielfachheit $d$
  größer als Null.  Das bedeutet: Es gibt eine linear unabhängige (angeordnete)
  Teilmenge $\{ \vec{v}_1, … , \vec{v}_d \} ⊂ V$, die ich zu einer
  (angeordneten) Basis $B$ von $V$ ergänzen kann.  Dann ist die zugehörige
  Matrix von der Form
  $$
  \Mat^B_B (f) = \left(
    \begin{array}{lll|l}
      λ & & & \\
        & \ddots & & * \\
        & & λ \\
      \hline
        & 0 & & *
    \end{array}\right).
  $$
  Als Konsequenz ergibt sich, dass das charakteristische Polynom $χ_f$ von $f$
  die folgende Form hat,
  $$
  χ_f (t) = (t - λ)^d · \text{(weiteres, unbekanntes Polynom)}.
  $$
  Also ist die algebraische Vielfachheit von $λ$ ist mindestens gleich $d$.
\end{proof}


\section{Diagonalisierbarkeit}

Wie hängen Diagonalisierbarkeit und die algebraischen/geometrischen
Vielfachheiten zusammen?  Der folgende Satz gibt eine erste Antwort, zumindest
über den komplexen Zahlen.  Im folgenden Kapitel werden wir eine bessere Antwort
kennenlernen.

\begin{satz}[Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten]\label{satz:1.1}
  In Situation~\ref{sit:LA1} sind die folgenden Aussagen äquivalent.
  \begin{enumerate}
  \item Der Endomorphismus $f$ ist diagonalisierbar.
    
  \item Das charakteristische Polynom $χ_f(t)$ zerfällt in Linearfaktoren und
    für jeden Eigenwert $λ$ stimmen geometrische und algebraische Vielfachheit
    überein.  \qed
  \end{enumerate}
\end{satz}

Als direkte Anwendung von Satz~\ref{satz:1.1} ergibt sich, dass die Matrix aus
Beispiel~\ref{bsp:1.1} nicht diagonalisierbar ist.  Der Beweis von
Satz~\ref{satz:1.1} verwendet folgendes Lemma.

\begin{lemma}\label{lem:1.1}%
  In Situation~\ref{sit:LA1} seien $λ_1, …, λ_d$ unterschiedliche Eigenwerte von
  $f$.  Weiter seien $\vec{v}_1, …, \vec{v}_d$ seien zugehörige Eigenvektoren.
  Dann ist die Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_d \}$ linear unabhängig.  \qed
\end{lemma}

Sie sollten versuchen, Satz~\ref{satz:1.1} und Lemma~\ref{lem:1.1} selbst zu
beweisen.  Der Beweis von Lemma~\ref{lem:1.1} funktioniert mit Induktion nach
$d$.  Die Auflösung finden Sie in \video{1-1} und \video{1-2}.

% !TEX root = LineareAlgebra2