brackenhofer/LineareAlgebra2
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Stefan Kebekus 2025-04-09 13:06:20 +02:00
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@ -1 +1,20 @@
Diagonalgestalt
Vielfachheit
Diagonalisierbarkeit
Vielfachheiten
Jordansche
Camille
Jordanblock
Jordanblöcke
Jordanbasis
Nilpotenzindex
Multiplizitäten
nilpotent
Schlausprech
Quotientenvektorräumen
Dimensionsformel
.ten
Quotientenvektorraums
.te
Erzeugendensystem
Quotientenvektorräume

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@ -0,0 +1 @@
KARDINALZAHLEN

6
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@ -0,0 +1,6 @@
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qdenn dann hat auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Jordansche Normalform)\\E$"}
{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 4 Allerdings ist die Partition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q noch nicht die, von der in Beobachtung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Rede war: Wir müssen erst zur „dualen Partition“ übergehen.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QNämlich so: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Das Diagramm soll die Eigenschaft haben, dass für jeden Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Folgendes gilt.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSchritt 2, Lineare Unabhängigkeit.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QNummeriere die Elemente des Diagramms jetzt wie folgt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Dann ist klar, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, …, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, … und insgesamt ergibt sich, dass die Matrix von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bezüglich dieser angeordneten Basis die Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat.\\E$"}
{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QFür jeden Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bestimme den Hauptraum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zum Eigenwert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q — Punkt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität” ) sagt, wie das geht: der Hauptraum ist gegeben als \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

44
01-Wiederholung.tex
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@ -5,7 +5,7 @@
\section{Endomorphismen, Eigenwerte, Eigenvektoren}
\sideremark{Vorlesung 1}Am Ende der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' hatten wir
\sideremark{Vorlesung 1}Am Ende der Vorlesung „Lineare Algebra I“ hatten wir
folgende Situation betrachtet.
\begin{situation}\label{sit:LA1}%
@ -29,17 +29,17 @@ Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert.
\begin{defn}[Diagonalisierbare Matrix]
Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine $n ⨯ n$-Matrix $A$ heißt
\emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Matrix}, falls sie einer
Diagonalmatrix ähnlich ist, d. h. $∃S ∈ Gl_n(k)$, so dass $SAS^{-1}$ eine
Diagonalmatrix ähnlich ist, d. h. $∃S ∈ Gl_n(k)$, sodass $SAS^{-1}$ eine
Diagonalmatrix ist.
\end{defn}
Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren ``Eigenwert'',
``Eigenvektor'' und ``Eigenraum''.
Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren „Eigenwert“, „Eigenvektor“
und „Eigenraum“.
\begin{defn}[Eigenwert]
Situation wie in \ref{sit:LA1}. Ein Skalar $λ ∈ k$ heißt \emph{Eigenwert von
$f$}\index{Eigenwert}, wenn es einen Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$
gibt, so dass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
\end{defn}
\begin{defn}[Eigenraum]
@ -53,12 +53,12 @@ Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren ``Eigenwert'',
\begin{defn}[Eigenvektor]
Situation wie in \ref{sit:LA1}. Ein Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$ heißt
\emph{Eigenvektor von $f$}\index{Eigenvektor}, wenn es ein Skalar $λ ∈ k$
gibt, so dass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
\end{defn}
Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist.
In der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte
auszurechnen: die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des
Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. In
der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte
auszurechnen: Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des
charakteristischen Polynoms
\[
χ_f(t) := \det \bigl( f - t \Id_V \bigr).
@ -93,14 +93,14 @@ Punkte abgezogen wurden.}.
\section{Algebraische und geometrische Vielfachheit}
Zurück zur Situation~\ref{sit:LA1}. Wenn ich nun ein Skalar $λ ∈ k$ gegeben
habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich
habe, kann ich die folgenden zwei Zahlen betrachten.
\begin{itemize}
\item Die \emph{algebraische Vielfachheit von
$λ$}\index{Vielfachheit!algebraische} ist die Vielfachheit von $λ$ als
$λ$}\index{Vielfachheit!algebraische} ist die Vielfachheit von $λ$ als
Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
\item Die \emph{geometrische Vielfachheit von
$λ$}\index{Vielfachheit!geometrische} ist die Dimension des Vektorraumes
$λ$}\index{Vielfachheit!geometrische} ist die Dimension des Vektorraumes
$V_{λ}$.
\end{itemize}
@ -110,13 +110,13 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich
$$
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\ 0 & 2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}.
$$
Dann ist $χ_f(t) = (2 - t)²$. Wir betrachten das Skalar $λ = 2$. Dies ist
eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und die algebraische
Vielfachheit von $λ$ ist zwei. Auf der anderen Seite ist
$$
V_2 = ℂ · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
V_2 = ℂ · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
$$
Also ist die geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich eins.
\end{bsp}
@ -130,7 +130,7 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich
\begin{proof}
Sei ein Skalar $λ$ gegeben. Falls geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich
Null ist, ist nichts zu zeigen. Sei also die geometrische Vielfachheit $d$
größer als Null. Das bedeutet: es gibt eine lineare unabhängige (angeordnete)
größer als Null. Das bedeutet: Es gibt eine lineare unabhängige (angeordnete)
Teilmenge $\{ \vec{v}_1, … , \vec{v}_d \} ⊂ V$, die ich zu einer
(angeordneten) Basis $B$ von $V$ ergänzen kann. Dann ist die zugehörige
Matrix von der Form
@ -142,12 +142,12 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich
& & λ \\
\hline
& 0 & & *
\end{array}\right)
\end{array}\right).
$$
Als Konsequenz ergibt sich, dass das charakteristische Polynom $χ_f$ von $f$
die folgende Form hat,
$$
χ_f (t) = (t - λ)^d · \text{(weiteres, unbekanntes Polynom)}
χ_f (t) = (t - λ)^d · \text{(weiteres, unbekanntes Polynom)}.
$$
Also ist die algebraische Vielfachheit von $λ$ ist mindestens gleich $d$.
\end{proof}
@ -158,12 +158,12 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich
Wie hängen Diagonalisierbarkeit und die algebraischen/geometrischen
Vielfachheiten zusammen? Der folgende Satz gibt eine erste Antwort, zumindest
über den komplexen Zahlen. Im folgenden Kapitel werden wir eine bessere Antwort
kennen lernen.
kennenlernen.
\begin{satz}[Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten]\label{satz:1.1}
In Situation~\ref{sit:LA1} sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
\item Der Endormorphismus $f$ ist diagonalisierbar.
\item Der Endomorphismus $f$ ist diagonalisierbar.
\item Das charakteristische Polynom $χ_f(t)$ zerfällt in Linearfaktoren und
für jeden Eigenwert $λ$ stimmen geometrische und algebraische Vielfachheit
@ -175,10 +175,10 @@ Als direkte Anwendung von Satz~\ref{satz:1.1} ergibt sich, dass die Matrix aus
Beispiel~\ref{bsp:1.1} nicht diagonalisierbar ist. Der Beweis von
Satz~\ref{satz:1.1} verwendet folgendes Lemma.
\begin{lemma}\label{lem:1.1}
\begin{lemma}\label{lem:1.1}%
In Situation~\ref{sit:LA1} seien $λ_1, …, λ_d$ unterschiedliche Eigenwerte von
$f$ und $\vec{v}_1, …, \vec{v}_d$ seien zugehörige Eigenvektoren. Dann ist
die Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_d \}$ linear unabhängig. \qed
$f$. Weiter seien $\vec{v}_1, …, \vec{v}_d$ seien zugehörige Eigenvektoren.
Dann ist die Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_d \}$ linear unabhängig. \qed
\end{lemma}
Sie sollten versuchen, Satz~\ref{satz:1.1} und Lemma~\ref{lem:1.1} selbst zu

225
02-Jordan.tex
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@ -9,13 +9,13 @@
\sideremark{Vorlesung 2}Wir hatten im letzten Kapitel ein Beispiel~\ref{bsp:1.1}
für einen Endomorphismus gesehen, der nicht diagonalisierbar ist. Aus der
Traum. In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass es aber stets eine Basis gibt,
so dass die zugehörende Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest,
sodass die zugehörende Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest,
solange wir über den komplexen Zahlen arbeiten. Genauer gesagt: wir werden
zeigen, dass es eine Basis gibt, so dass die Matrix ``Jordansche Normalform''
zeigen, dass es eine Basis gibt, sodass die Matrix „Jordansche Normalform“
hat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie Ennemond
Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5. Januar 1838 in Lyon; †
21. Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}, also ``fast''
eine Diagonalmatrix ist.
Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; † 21.~Januar
1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}, also „fast“ eine
Diagonalmatrix ist.
Vielleicht schauen Sie auch einmal in den entsprechenden Eintrag in der
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform}{Wikipedia}. Es gibt
@ -32,7 +32,7 @@ auch eine Menge Videos auf
\begin{cases}
λ & \text{falls } j=i \\
1 & \text{falls } j=i+1 \\
0 & \text{sonst}
0 & \text{sonst.}
\end{cases}
$$
Der $(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der Diagonalen wird oft mit
@ -110,15 +110,15 @@ Das Ziel dieses Kapitels ist jetzt, den folgenden Satz zu beweisen.
\begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF}
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und
es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus. Dann gibt es eine angeordnete Basis
$\mathcal{B}$ von $V$, so dass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$
es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Dann gibt es eine angeordnete Basis
$\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$
Jordansche Normalform hat.
\end{satz}
\begin{notation}
Situation wie in Satz~\ref{satz:JNF}. Eine
\emph{Jordanbasis}\index{Jordanbasis} ist eine angeordnete Basis $\mathcal{B}$
von $V$, so dass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform
von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform
hat.
\end{notation}
@ -126,9 +126,9 @@ Wir beweisen Satz~\ref{satz:JNF} nach einigen Vorbereitungen im
Abschnitt~\vref{ssec:pjnf}. Wir betrachten für den Rest des Kapitels meistens
die folgende Situation.
\begin{situation}\label{sit:2-1-6}
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen,
$n := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus.
\begin{situation}\label{sit:2-1-6}%
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, $n
:= \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus.
\end{situation}
@ -137,20 +137,20 @@ die folgende Situation.
Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an.
\begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}
\begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}%
Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und
es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$
es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$
\emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$
existiert, so dass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist. Die kleinste
existiert, sodass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist. Die kleinste
solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von
$f$}\index{Nilpotenzindex!Endomorphismus}.
$f$}\index{Nilpotenzindex!Endomorphismus}.
\end{defn}
\begin{defn}[Nilpotente Matrizen]
Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix
mit Werten in $k$. Nenne die Matrix $A$
\emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert,
so dass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt
sodass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt
\emph{Nilpotenzindex von $A$}\index{Nilpotenzindex!Matrix}.
\end{defn}
@ -166,12 +166,12 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an.
\begin{beobachtung}
Matrizen, die ähnlich zu einer nilpotenten Matrix sind, sind selbst nilpotent.
Genauer: Sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, so dass
$N := SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$. Dann ist
Genauer: Sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N :=
SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$. Dann ist
$$
0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}
0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}.
$$
Also $A^m = S^{-1}·0·S = 0$.
Also ist $A^m = S^{-1}·0·S = 0$.
\end{beobachtung}
\begin{bsp}
@ -210,18 +210,18 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an.
\begin{beobachtung}
In der Situation von Definition~\ref{def:2-2-6} sei ein Vektor $\vec{v} ∈ V$
gegeben. Falls es eine Zahl $n ∈ ℕ$ gibt, so dass
$(f - λ · \Id_V )^n(\vec{v}) = \vec{0}$ ist, dann ist auch
$(f - λ · \Id_V )^{n+1}(\vec{v}) = \vec{0}$. Also ist
gegeben. Falls es eine Zahl $n ∈ ℕ$ gibt, sodass $(f - λ · \Id_V )^n(\vec{v})
= \vec{0}$ ist, dann ist auch $(f - λ · \Id_V )^{n+1}(\vec{v}) = \vec{0}$.
Also ist
$$
\ker(f - λ · \Id_V ) ⊆ \ker \Bigl( (f - λ · \Id_V )² \Bigr) ⊆ \ker \Bigl( (f -
λ · \Id_V )³ \Bigr) ⊆ ⋯
λ · \Id_V )³ \Bigr) ⊆ ⋯.
$$
Insbesondere folgt, dass $\Hau_f(λ)$ ein Untervektorraum von $V$ ist.
\end{beobachtung}
Haupträume und Eigenräume hängen eng zusammen. Die folgende Beobachtung
rechtfertigt den Namen ``verallgemeinerter Eigenraum''.
rechtfertigt den Namen „verallgemeinerter Eigenraum“.
\begin{beobachtung}
In der Situation von Definition~\ref{def:2-2-6} gilt:
@ -235,15 +235,15 @@ rechtfertigt den Namen ``verallgemeinerter Eigenraum''.
\end{beobachtung}
Falls wir über den komplexen Zahlen arbeiten, ist der Zusammenhang von Hauptraum
und Eigenraum viel enger: der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
``algebraischen Multiplizität''.
und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
„algebraischen Multiplizität“.
\begin{satz}[Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität]\label{satz:2-2-10}
\begin{satz}[Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität]\label{satz:2-2-10}%
In Situation~\ref{sit:2-1-6} sei $λ ∈ ℂ$ ein Eigenwert von $f$ mit
algebraischer Multiplizität $r$. Dann gilt Folgendes.
\begin{enumerate}
\item\label{il:2-2-10-1} Der Hauptraum ist gegeben als
$\Hau_f(λ) = \ker \bigl( (f - λ·\Id)^r \bigr)$.
\item\label{il:2-2-10-1} Der Hauptraum ist gegeben als $\Hau_f(λ) = \ker
\bigl( (f - λ·\Id)^r \bigr)$.
\item Die Dimension des Hauptraumes ist $\dim \Hau_f(λ) = r$.
@ -272,20 +272,19 @@ und Eigenraum viel enger: der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
\]
\end{kor}
\begin{proof}
\video{3-2} beweist ein vorbereitendes Lemma. Der Beweis des Korollares wird
\video{3-2} beweist ein vorbereitendes Lemma. Der Beweis des Korollars wird
dann in \video{3-3} beendet.
\end{proof}
\begin{kor}\label{kor:2-2-12}
\begin{kor}\label{kor:2-2-12}%
In der Situation von Korollar~\ref{kor:2-2-11} sei
\begin{align*}
\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1} & \quad \text{eine Basis von } W_1 \\
\vec{v}²_1, …, \vec{v}²_{r_2} & \quad \text{eine Basis von } W_2 \\
… \\
\vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} & \quad \text{eine Basis von } W_k
\vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} & \quad \text{eine Basis von } W_k.
\end{align*}
Dann ist
$\mathcal{B} := \{\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1}, \vec{v}²_1, …,
Dann ist $\mathcal{B} := \{\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1}, \vec{v}²_1, …,
\vec{v}²_{r_2}, …, \vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} \}$ eine (angeordnete)
Basis von $V$ und bezüglich dieser Basis ist die Matrix von $f$ von der Form
$$
@ -322,21 +321,21 @@ Jordansche Normalform zu zeigen. Die Korollare~\ref{kor:2-2-11} und
\begin{enumerate}
\item Um eine Basis zu finden, in der die Matrix von $f$ Jordansche Normalform
hat, genügt es, die Haupträume $W_i$ einzeln zu betrachten und Basen
$\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu betrachten, so dass die
Matrizen $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$
Jordansche Normalform haben. Das Problem reduziert sich also auf den Fall, wo
den Endomorphismus $f$ nur einen einzigen Hauptraum besitzt.
$\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu betrachten, sodass die Matrizen
$A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$ Jordansche
Normalform haben. Das Problem reduziert sich also auf den Fall, wo den
Endomorphismus $f$ nur einen einzigen Hauptraum besitzt.
\item Um eine Basis $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu finden, so
dass die Matrix $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$
Jordansche Normalform hat, genügt es, eine Basis zu finden, so dass die Matrix
\item Um eine Basis $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu finden, sodass
die Matrix $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$
Jordansche Normalform hat, genügt es, eine Basis zu finden, sodass die Matrix
$N_i$ der nilpotenten Abbildung $f|_{W_i} - λ_i·\Id_{W_i}$ Jordansche
Normalform hat (… denn dann hat auch $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i$ Jordansche
Normalform)
\end{enumerate}
Zusammenfassend stellen wir fest: wir können die Aufgabe ``finde eine Basis, so
dass die Matrix von $f$ Jordansche Normalform hat'' lösen, sobald wir wissen,
Zusammenfassend stellen wir fest: Wir können die Aufgabe „finde eine Basis,
sodass die Matrix von $f$ Jordansche Normalform hat“ lösen, sobald wir wissen,
wie wir die Aufgabe für nilpotente Endomorphismen lösen. Das machen wir im
nächsten Abschnitt.
@ -344,15 +343,15 @@ nächsten Abschnitt.
\section{Klassifikation nilpotenter Matrizen}
\label{sec:class}
Wir betrachten das Problem ``finde eine Basis, so dass die Matrix von $f$
Jordansche Normalform hat'' jetzt also für nilpotente Endomorphismen.
Wir betrachten das Problem „finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$
Jordansche Normalform hat“ jetzt also für nilpotente Endomorphismen.
\begin{situation}\label{sit:2-3-1}
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen,
$n := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein nilpotenter Endomorphismus.
\end{situation}
Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, so dass
Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, sodass
\begin{equation}\label{eq:gh}
\Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f) =
\begin{pmatrix}
@ -365,19 +364,19 @@ Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, so dass
ist. Falls das geht, kann ich durch geeignete Anordnung der Basis auch gleich
erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
\begin{beobachtung}\label{rem:2-3-2}
\begin{beobachtung}\label{rem:2-3-2}%
Wenn ich das Problem gelöst habe, dann ist $\sum_{i=1}^l n_i = \dim V$. In
Schlausprech sage ich ``$(n_1, n_2, …, n_l)$ ist eine
Partition\footnote{Erinnerung: ``Partition'' bedeutet: endliche, absteigende
Folge, so dass die Summer der Folgenglieder gleich $\dim V$
ist.}\index{Partition} von $\dim V$''. Die Matrix in \eqref{eq:gh} ist
Schlausprech sage ich „$(n_1, n_2, …, n_l)$ ist eine
Partition\footnote{Erinnerung: „Partition“ bedeutet: endliche, absteigende
Folge, sodass die Summe der Folgenglieder gleich $\dim V$
ist.}\index{Partition} von $\dim V$“. Die Matrix in \eqref{eq:gh} ist
natürlich eindeutig durch die Partition festgelegt. Überlegen Sie sich jetzt
folgendes: das Ziel (``finde eine Basis, so dass die Matrix von $f$ Jordansche
Normalform hat'') lässt sich deshalb auch so ausdrücken: wir suchen eine
folgendes: das Ziel („finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$ Jordansche
Normalform hat“) lässt sich deshalb auch so ausdrücken: Wir suchen eine
Bijektion zwischen
\begin{itemize}
\item den Äquivalenzklassen nilpotenter Matrizen bezüglich der
Äquivalenzrelation ``ähnlich'', und
Äquivalenzrelation „ähnlich“, und
\item den Partitionen von $\dim V$.
\end{itemize}
@ -385,15 +384,16 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
\begin{prop}\label{prop:2-3-4}
In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$. Dann gilt
folgendes.
Folgendes.
\begin{enumerate}
\item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$
\item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass
$\vec{v} ∈ V^p ⇔ f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$.
\item\label{il:2-3-4-3} Setze $V⁰ = \{\vec{0}\}$. Dann gilt alle Indizes $p > 1$: die Abbildung
$f$ induziert eine injektive Abbildung zwischen den Quotientenvektorräumen,
\item\label{il:2-3-4-3} Setze $V⁰ = \{\vec{0}\}$. Dann gilt alle Indizes $p >
1$: Die Abbildung $f$ induziert eine injektive Abbildung zwischen den
Quotientenvektorräumen,
\[
\begin{tikzcd}
\overline{f} : \factor{V^p}{V^{p-1}} \ar[r] & \factor{V^{p-1}}{V^{p-2}}
@ -403,13 +403,13 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
\end{prop}
\begin{beobachtung}
Eigenschaft~\ref{il:2-3-4-2} zeigt insbesondere, dass
$f (V^p ) ⊆ V^{p-1}$ und $f^{-1}( V^{p-1}) = V^p$ ist.
Eigenschaft~\ref{il:2-3-4-2} zeigt insbesondere, dass $f (V^p ) ⊆ V^{p-1}$ und
dass $f^{-1}( V^{p-1}) = V^p$ ist.
\end{beobachtung}
\begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:2-3-4}]
\video{3-4}. Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$ auf
Repräsentantenniveau zu definieren. Was müssen Sie genau zeigen, um
\video{3-4}. Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$
auf Repräsentantenniveau zu definieren. Was müssen Sie genau zeigen, um
Wohldefiniertheit zu erhalten. Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern
in Klausur und mündlichen Prüfungen stelle?
\end{proof}
@ -422,11 +422,11 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
$(m_1, m_2, …)$ eine Partition von $\dim V$.
\end{beobachtung}
Partitionen wurden schon in Beobachtung~\vref{rem:2-3-2} diskutiert. Jeder Leser
von Kriminalromanen erkennt sofort, dass das kein Zufall sein
Partitionen wurden schon in Beobachtung~\vref{rem:2-3-2} diskutiert. Jeder
Leser von Kriminalromanen erkennt sofort, dass das kein Zufall sein
kann.\sideremark{Vorlesung 4} Allerdings ist die Partition $(m_1, m_2, …)$ noch
nicht die, von der in Beobachtung~\ref{rem:2-3-2} die Rede war: wir müssen erst
zur ``dualen Partition'' übergehen.
nicht die, von der in Beobachtung~\ref{rem:2-3-2} die Rede war: Wir müssen erst
zur „dualen Partition“ übergehen.
\begin{defn}[Duale Partition]\label{def:dualePart}
\index{Partition!duale}\index{duale Partition}Es sein $n ∈ ℕ$ eine Zahl
@ -469,13 +469,12 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
Abbildung~\ref{fig:part} kann ihnen dabei helfen.
\end{bemerkung}
\begin{prop}[Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen]\label{prop:JNF}
In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$ und
$m_p := \dim (V^p/V^{p-1})$. Es sei $P$ die Partition $P = (m_1, m_2, …)$ von
$\dim V$ und es sei $P^* := (n_1, n_2, …, n_l)$ die zu $P$ duale
Partition. Dann gibt es eine angeordnete Basis
$\mathcal{B} := \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, … \}$ eine (angeordnete) Basis von
$V$, so dass die Matrix von $f$ die folgende Form hat,
\begin{prop}[Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen]\label{prop:JNF}%
In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$ und $m_p := \dim
(V^p/V^{p-1})$. Es sei $P$ die Partition $P = (m_1, m_2, …)$ von $\dim V$ und
es sei $P^* := (n_1, n_2, …, n_l)$ die zu $P$ duale Partition. Dann gibt es
eine angeordnete Basis $\mathcal{B} := \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, … \}$ eine
(angeordnete) Basis von $V$, sodass die Matrix von $f$ die folgende Form hat,
\begin{equation}\label{eq:sdfg}
\Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f) =
\begin{pmatrix}
@ -483,25 +482,25 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
& J(0, n_2) & \\
& & \ddots \\
0 & & & J(0, n_l)
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}.
\end{equation}
\end{prop}
\begin{proof}
Der Beweis ist von der Notation her ein wenig aufwändig. Daher werde ich den
Beweis nur im Spezialfall aufschreiben, wo die Partition $P$ die Form
$P = (5,5,4,2,2,1)$ hat. Der Beweis funktioniert natürlich für jede beliebige
Beweis nur im Spezialfall aufschreiben, wo die Partition $P$ die Form $P =
(5,5,4,2,2,1)$ hat. Der Beweis funktioniert natürlich für jede beliebige
Partition. Ich habe den Beweis in mehrere Schritte unterteilt.
\paragraph{Schritt 1, Konstruktion}
Es sei $q$ der Nilpotenzindex von $f$, so dass $V^q = V$ ist.
Es sei $q$ der Nilpotenzindex von $f$, sodass $V^q = V$ ist.
Proposition~\ref{prop:2-3-4} liefert eine Kette von Abbildungen
\[
\factor{V^q}{V^{q-1}} \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V^{q-1}}{V^{q-2}} \xrightarrow{\overline{f}} ⋯ \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V¹}{V⁰}
\factor{V^q}{V^{q-1}} \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V^{q-1}}{V^{q-2}} \xrightarrow{\overline{f}} ⋯ \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V¹}{V⁰}.
\]
Jetzt wählen wir (auf relativ komplizierte Weise) für jeden Index $p$ genau $m_p$ Vektoren
aus $V$ und konstruieren damit ein Diagramm von
Vektoren, das ausschaut wie die graphische Darstellung der Partition aus
Jetzt wählen wir (auf relativ komplizierte Weise) für jeden Index $p$ genau
$m_p$ Vektoren aus $V$ und konstruieren damit ein Diagramm von Vektoren, das
ausschaut wie die grafische Darstellung der Partition aus
Abbildung~\ref{fig:part}. Nämlich so:
\[
\begin{array}{c|cccccc}
@ -520,16 +519,16 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
\item Die Vektoren aus der $p$.ten Spalte kommen aus dem Vektorraum $V^p$.
\item Die Restklassen der Vektoren aus der $p$.ten Spalte bilden eine Basis
des Quotientenvektorraumes $\factor{V^p}{V^{p-1}}$.
des Quotientenvektorraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$.
\end{itemize}
Wir konstruieren das Diagram induktiv, Spalte für Spalte, wobei wir mit der
Wir konstruieren das Diagramm induktiv, Spalte für Spalte, wobei wir mit der
rechten Spalte beginnen.
\paragraph{Schritt 1.1, Induktionsstart, Konstruktion der rechten Spalte}
Wähle Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$, so dass die Restklassen
$[\vec v^q_1], …, [\vec v^q_{m_q}]$ eine Basis des Quotientenraumes
Wähle eine Folge von Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$, sodass die
Restklassen $[\vec v^q_1], …, [\vec v^q_{m_q}]$ eine Basis des Quotientenraums
$\factor{V^q}{V^{q-1}}$ bilden. Die Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$
bilden die rechte Spalte. Nach Konstruktion bilden die Restklassen dieser
Vektoren eine Basis von $\factor{V^q}{V^{q-1}}$.
@ -543,16 +542,16 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
\[
\overline{f} : \factor{V^{p+1}}{V^p} → \factor{V^p}{V^{p-1}}
\]
injektiv ist. Insbesondere sind die Bilder
$\overline{f}([w_1]), …, \overline{f}([w_a])$ linear unabhängige Vektoren des
Quotientenraumes $\factor{V^p}{V^{p-1}}$. Nach dem Basisergänzungssatz können
wir jetzt aber Vektoren $\vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a}$ aus $V$ finden, so dass
injektiv ist. Insbesondere sind die Bilder $\overline{f}([w_1]), …,
\overline{f}([w_a])$ linear unabhängige Vektoren des Quotientenraums
$\factor{V^p}{V^{p-1}}$. Nach dem Basisergänzungssatz können wir jetzt aber
Vektoren $\vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a}$ aus $V$ finden, sodass
\[
\overline{f}([\vec w_1]), …, \overline{f}([\vec w_a]), [\vec v^p_1], …,
[\vec v^p_{m_p-a}]
\]
eine Basis des Quotientenraumes $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden. Schreibe
jetzt die Vektoren
eine Basis des Quotientenraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden. Schreibe jetzt
die Vektoren
\[
\overline{f}(\vec w_1), …, \overline{f}(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec
v^p_{m_p-a}
@ -592,7 +591,7 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
\[
\dim W^p = \dim \factor{V^p}{V^{p-1}} + \dim \ker γ.
\]
Außerdem ist per Induktionannahme $V^{p-1} ⊆ W^p$, also
Außerdem ist per Induktionsannahme $V^{p-1} ⊆ W^p$, also
\[
\ker γ = V^{p-1} \quad \text{und} \quad \dim W^p = m_p + \dim V^{p-1} = \dim V^p.
\]
@ -602,8 +601,8 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
\paragraph{Schritt 3, Ende des Beweises}
Nach Schritt 2 wissen wir, dass die Elemente des Diagrammes eine Basis von
$V^q=V$ bilden. Nummeriere die Elemente des Diagrammes jetzt wie folgt:
Nach Schritt 2 wissen wir, dass die Elemente des Diagramms eine Basis von
$V^q=V$ bilden. Nummeriere die Elemente des Diagramms jetzt wie folgt:
\[
\begin{array}{c|cccccc}
n_1 & \vec v_1 & \vec v_2 & \vec v_3 & \vec v_4 & \vec v_5 & \vec v_6 \\
@ -626,23 +625,23 @@ Proposition~\ref{prop:JNF} den Beweis von Satz~\ref{satz:JNF}. Der nächste
Abschnitt fasst den Beweis noch einmal zusammen.
\section{Beweis von Satz~\ref*{satz:JNF} (``Jordansche Normalform'')}
\section{Beweis von Satz~\ref*{satz:JNF} („Jordansche Normalform“)}
\label{ssec:pjnf}
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und
es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus. Weiter seien $λ_1, …, λ_k$ die
es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Weiter seien $λ_1, …, λ_k$ die
Eigenwerte von $f$. Nach Korollar~\ref{kor:2-2-11} schreiben wir
\begin{equation}\label{eq:dfgd}
V = \bigoplus_{i=1}^k \Hau_f(λ_i).
\end{equation}
Für jeden Index $i$ betrachte
\[
g_i := \bigl(f-λ_i·\Id_V\bigr)|_{\Hau_f(λ_i)} : \Hau_f(λ_i) → V
g_i := \bigl(f-λ_i·\Id_V\bigr)|_{\Hau_f(λ_i)} : \Hau_f(λ_i) → V.
\]
Nach Punkt~\ref{il:2-2-10-3} von Satz~\ref{satz:2-2-10} wissen wir schon, dass
$g_i$ den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ in den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ abbildet. Wir
können $g_i$ also als Endomorphismus $g_i ∈ \End\bigl(\Hau_f(λ_i)\bigr)$
auffassen. Per Definition von ``Hauptraum'' ist jeder Endomorphismus $g_i$
auffassen. Per Definition von „Hauptraum“ ist jeder Endomorphismus $g_i$
nilpotent. Das erlaubt, Proposition~\ref{prop:JNF} anzuwenden; dies liefert uns
für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis
\[
@ -663,7 +662,7 @@ handelt. Damit ist Satz~\ref{satz:JNF} bewiesen. \qed
Der Beweis von Satz~\ref{satz:JNF} ist so konkret, dass sich daraus eine
praktisch nützliche Methode zur Berechnung einer Jordanbasis ergibt. Es sei
also $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und es
sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus. Um eine Jordanbasis zu finden, gehe wie
sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Um eine Jordanbasis zu finden, gehe wie
folgt vor.
\begin{enumerate}
@ -678,8 +677,8 @@ folgt vor.
\item Für jeden Index $i$ bestimme den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ von $f$ zum
Eigenwert $λ_i$ --- Punkt~\ref{il:2-2-10-1} von Satz~\ref{satz:2-2-10}
(``Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität'') sagt, wie das
geht: der Hauptraum ist gegeben als
(„Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität“) sagt, wie das geht:
Der Hauptraum ist gegeben als
\[
\Hau_f(λ_i) = \ker \bigl( (f - λ_i·\Id)^{r_i} \bigr).
\]
@ -693,14 +692,14 @@ folgt vor.
\[
P^*_i = (n_{i,1}, n_{i,2}, …, n_{i,l_i})
\]
dazu muss man mit LA1-Methoden die Dimensionen der Räume
$W^p_i := \ker(g^p_i)$ ausrechnen und dann die Dimensionen der
Quotientenvektorräume bestimmen. Um die duale Partition auszurechnen,
empfiehlt es sich, ein Bild wie in Abbildung~\ref{fig:part} zu malen.
dazu muss man mit LA1-Methoden die Dimensionen der Räume $W^p_i :=
\ker(g^p_i)$ ausrechnen und dann die Dimensionen der Quotientenvektorräume
bestimmen. Um die duale Partition auszurechnen, empfiehlt es sich, ein Bild
wie in Abbildung~\ref{fig:part} zu malen.
\end{enumerate}
Falls Sie nur daran interessiert sind, wie die Jordansche Normalform des
Endomorphismus $f$ aussieht, sind sie jetzt fertig: die Jordansche Normalform
Endomorphismus $f$ aussieht, sind sie jetzt fertig: Die Jordansche Normalform
von $f$ hat Blockgestalt,
\[
\begin{pmatrix}
@ -725,9 +724,8 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben.
\begin{enumerate}
\item Schauen Sie sich den Beweis von Proposition~\ref{prop:JNF} noch einmal an
und erkennen Sie, dass Sie die Schritte dort konkret nachvollziehen können.
Finden Sie so für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis
$\mathcal{B}_i = \{ \vec{w}_{i,1}, …, \vec{w}_{i,r_i}\}$, so dass die Matrix
von $g_i$ die Form
Finden Sie so für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis $\mathcal{B}_i = \{
\vec{w}_{i,1}, …, \vec{w}_{i,r_i}\}$, sodass die Matrix von $g_i$ die Form
\[
\begin{pmatrix}
J(0, n_{i,1}) & & & 0 \\
@ -739,10 +737,9 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben.
hat.
\end{enumerate}
Wie wir oben gesehen habe, ist
$\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, \vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …,
\vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, \vec{w}_{k,r_k} \}$ dann eine
Jordanbasis.
Wie wir oben gesehen haben, ist $\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …,
\vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …,
\vec{w}_{k,r_k} \}$ dann eine Jordanbasis.
\subsection{Beispiele}