From dc56cc0ff6dd924c98a61e4ffdbc41d8af413847 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: brackenhofer Date: Fri, 2 May 2025 18:42:02 +0200 Subject: [PATCH] Minimale Anpassungen in Abschnitt 2.1 und 2.2 --- 02-Jordan.tex | 20 ++++++++++---------- 1 file changed, 10 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/02-Jordan.tex b/02-Jordan.tex index c536218..3471d9a 100644 --- a/02-Jordan.tex +++ b/02-Jordan.tex @@ -9,7 +9,7 @@ \sideremark{Vorlesung 2}Wir hatten im letzten Kapitel ein Beispiel~\ref{bsp:1.1} für einen Endomorphismus gesehen, der nicht diagonalisierbar ist. Aus der Traum. In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass es aber stets eine Basis gibt, -sodass die zugehörende Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest, +sodass die dazugehörige Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest, solange wir über den komplexen Zahlen arbeiten. Genauer gesagt: wir werden zeigen, dass es eine Basis gibt, sodass die Matrix „Jordansche Normalform“ hat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie Ennemond @@ -62,7 +62,7 @@ auch eine Menge Videos auf \end{bsp} \begin{defn}[Jordansche Normalform] - Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl. Eine $n ⨯ n$-Matrix $A = + Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl. Eine $(n ⨯ n)$-Matrix $A = (a_{ij})$ hat \emph{Jordansche Normalform}\index{Jordansche Normalform}, falls $A$ Blockgestalt hat, wobei auf der Diagonalen Jordanblöcke stehen und alle anderen Blöcke gleich Null sind. @@ -110,13 +110,13 @@ Das Ziel dieses Kapitels ist jetzt, den folgenden Satz zu beweisen. \begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF}% Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Dann gibt es eine angeordnete Basis - $\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche + $B$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform hat. \end{satz} \begin{notation} Situation wie in Satz~\ref{satz:JNF}. Eine - \emph{Jordanbasis}\index{Jordanbasis} ist eine angeordnete Basis $\mathcal{B}$ + \emph{Jordanbasis}\index{Jordanbasis} ist eine angeordnete Basis $B$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform hat. \end{notation} @@ -139,7 +139,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. \begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}% Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$ - \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ + \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls eine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert, sodass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von $f$}\index{Nilpotenzindex!Endomorphismus}. @@ -148,7 +148,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. \begin{defn}[Nilpotente Matrizen] Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $( n⨯ n)$-Matrix mit Werten in $k$. Nenne die Matrix $A$ - \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert, + \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls eine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert, sodass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von $A$}\index{Nilpotenzindex!Matrix}. \end{defn} @@ -165,7 +165,7 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. \begin{beobachtung} Matrizen, die ähnlich zu einer nilpotenten Matrix sind, sind selbst nilpotent. - Genauer: Sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N := + Genauer: Sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ GL(n, k)$, sodass $N := SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$. Dann ist $$ 0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}. @@ -272,7 +272,7 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der 0 & A \end{array}\right). $$ - Es ist $χ_f(t) = (t-λ)·χ_A(t)$ und deshalb ist $λ$ eine $(r-1)$-fache + Es ist $χ_f(t) = (λ-t)·χ_A(t)$ und deshalb ist $λ$ eine $(r-1)$-fache Nullstelle des Polynoms $χ_A$. @@ -355,7 +355,7 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der \begin{align*} \vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1} & \quad \text{eine Basis von } W_1 \\ \vec{v}²_1, …, \vec{v}²_{r_2} & \quad \text{eine Basis von } W_2 \\ - … \\ + \vdots \\ \vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} & \quad \text{eine Basis von } W_k. \end{align*} Dann ist $\mathcal{B} := \{\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1}, \vec{v}²_1, …, @@ -404,7 +404,7 @@ Jordansche Normalform zu zeigen. Die Korollare~\ref{kor:2-2-11} und die Matrix $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$ Jordansche Normalform hat, genügt es, eine Basis zu finden, sodass die Matrix $N_i$ der nilpotenten Abbildung $f|_{W_i} - λ_i·\Id_{W_i}$ Jordansche - Normalform hat (… denn dann hat auch $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i$ Jordansche + Normalform hat (…denn dann hat auch $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i$ Jordansche Normalform) \end{enumerate}